初中七年級數(shù)學 集合與不等式 基本不等式及其應用

努力的你，未來可期!

第一篇集合與不等式

專題1.04基本不等式及其應用

【考試要求】

1.掌握基本不等式/?>0)；

2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.

【知識梳理】

1.基本不等式：

⑴基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當。=6時取等號.

(3)其中審稱為正數(shù)a,8的算術平均數(shù)，癡稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個重要的不等式

(1)以+歷22,活(a,6GR),當且僅當a=b時取等號.

2

⑵踞(a,6GR),當且僅當《=人時取等號.

3.利用基本不等式求最值

己知於0,)20,則

(1)如果積町是定值p,那么當且僅當x=y時，x+y有最小值是2血(簡記：積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當x=y時，町有最大值是京簡記：和定積最大).

【微點提醒】

l.^+^>2(a,b同號)，當且僅當a=b時取等號.

3.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.

【疑誤辨析】

1.判斷下列結論正誤(在括號內打’7”或"x”)

(1)兩個不等式a2+bi>2ah與土受力/亞成立的條件是相同的.()

(2)函數(shù)y=x+：的最小值是2.()

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4

(3)函數(shù)/(x)=sinx+而7的最小值為4.()

(4)x>0且y>0是扌2的充要條件.()

【答案】(l)x(2)x(3)x(4)x

【解析】(1)不等式G+抗扌2ab成立的條件是a,b?R；

不等式，愛”茄成立的條件是“K),b>0.

(2)函數(shù)y=x+：的值域是(一8,-2]U[2,+oo),沒有最小值.

4

(3)函數(shù)/(.x)=sin.x+沒有最小值.

(4)x>0且y>0是的充分不必要條件.

【教材衍化】

2.(必修5P99例1(2)改編)若x>0,)>0,且x+y=18,則底的最大值為()

A.9B.18C.36D.81

【答案】A

【解析】因為x+y=18,所以而招工=9,當且僅當x=y=9時，等號成立.

3.(必修5P100練習T1改編)若x<0,則x+1()

A.有最小值，且最小值為2B.有最大值，且最大值為2

C.有最小值，且最小值為一2D.有最大值，且最大值為一2

【答案】D

【解析】因為x<0，所以一x>0,一X+±N241=2,當且僅當x=T時，等號成立，所以x+上一2.

【真題體驗】

1*7—2x-H11

4.(2019?浙江鎮(zhèn)海中學月考)已知兀0=二^—,則/U)在仁，3」上的最小值為()

14

A，2B.gC.-1D.O

【答案】D

X2—1I1

【解析】加)==^—=X+：-2N2-2=0,當且僅當即x=l時取等號.

又1出,31,所以於)在惇31上的最小值為0.

5.(2018?濟寧一中月考)一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,則這個矩形的長為

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m,寬為m時菜園面積最大.

【答案】15y

【解析】設矩形的長為/m,寬為ym.則x+2y=30,

所以5=個=上.(2、舄。/*)=^|^,當且僅當x=2y,即1=15,y=當時取等號.

6.(2018?天津卷)已知a,b&R,且a-36+6=0,則2“+1■的最小值為.

【答案】；

【解析】由題設知a—3b=-6,又2，>0,8心>0,所以2a+]N2、/2”.—=2?2"；憶),當且僅當2"=],

<Sbft/?248〃

即。=-3,b=\時取等號.故勿，+]的最小值為J

【考點聚焦】

考點一利用基本不等式求最值

角度1利用配湊法求最值

3

【例1—1】(1)(2019?樂山一中月考)設0<%令，則函數(shù)>=4x(3—2x)的最大值為.

(2)已知怎，則於)=4x-2+五片的最大值為.

9

【答案】(1)2(2)1

【解析】⑴y=4x(3—1Y)=2[2X(3—〃)長2[-------2----------J=],

3

當且僅當2x=3—2x,即尸;時，等號成立.

.?.函數(shù)y=4x(3—2x)(o<xV§的最大值為.

(2)因為x1,所以5—4x>0,則人x)=4x—2+3丄]=—(5—奴+5占0+3

W~~2、/(5—4x)~~1~3=—2+3=1.當且僅當5—4x=?」即x=l時，等號成立.

\]5—4x5—4x

故凡丫)=4》-2+]1的最大值為1.

角度2利用常數(shù)代換法求最值

【例1一2](2019?濰坊調研)函數(shù)y=m-3>0,在1)的圖象恒過定點A,若點A在直線相x+〃y-1=0上，

且,，〃為正數(shù)，貝哈+；的最小值為.

【答案】4

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【解析】??,曲線y=air恒過定點A,x=l時，y=\,

1）.將A點代入直線方程町1=0（心0,〃>0）,

可得,“+"=1,..而+廠匕+?（〃?+〃）=2+記+/2+2勺//4,

當且僅當、=彳且《?+，1=1（，">0,〃>0）,即帆="=5寸，取得等號.

角度3基本不等式積S3與和m+方）的轉化

【例1—3】（經(jīng)典母題）正數(shù)”，人滿足姉=。+6+3,則姉的取值范圍是.

【答案】［91+oo）

【解析】'-a,b是正數(shù)，.,.<76=。+匕+322{7+3,解得即出侖9.

【遷移探究】本例已知條件不變，求的最小值.

【答案】見解析

【解析】'.'a>0,b>0,；.“區(qū)（“；0）,

即a+b+3w（丄乎），整理得（4+與2—4（“+/?）—1220,

解得a+b>6或〃+后一2（舍）做a+b的最小值為6.

【規(guī)律方法】在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，主

要有兩種思路：

（1）對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：折項法、變系數(shù)法、湊因子法、

換元法、整體代換法等.

（2）條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值.

【訓練1】（1）（2019?濟南聯(lián)考）若a>0,6>0且2a+6=4,則土的最小值為（）

A.2B./C.4D.；

（2）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5孫，則3x+4y的最小值為.

【答案】（1）B（2）5

【解析】⑴因為a>0,b>0,故2a+bN2仮取當且僅當2a=b時取等號）.

又因為2a+b=4,.,.2V2ab<4=>0<ab<2,

.?.白」，故白的最小值為上當且僅當a=l,b=2時等號成立）.

dD乙dU乙

⑵由x+3y=5xy可得所以3無+4y=（3x+4y）&+§=￡+|^+空弓=5（當且僅當卷=

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*即x=l,時，等號成立)，所以3x+4｝，的最小值是5.

考點二基本不等式在實際問題中的應用

【例2】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制509W00(單位：千米/時).

假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油(2+爲升，司機的工資是每小時14元.

(1)求這次行車總費用y關于尤的表達式；

(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.

【答案】見解析

【解析】⑴設所用時間為r=^(h),y=￥x2x(2+京，+14x半，xG[50,100].

所以，這次行車總費用y關于x的表達式是y=譬蟲+墻&、xd[50,100]

234013

(或—1-j^.r,[50,100]).

o130x18.2x130_*口m*130x182x130

+気-侖2即，當且僅當一^--^丁，

即x=18回時等號成立.故當x=1805千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為2啦元.

【規(guī)律方法】

1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

2.根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

3.在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解.

【訓練2】網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品

牌行車記錄儀支架銷售公司從2019年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據(jù)幾個月運

營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關系式x=3—為■.已知網(wǎng)

店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價

的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是萬元.

【答案】37.5

2

【解析】由題意知『=?一1(1。＜3),設該公司的月利潤為y萬元，

則y=(48+§x-32%-3-f=16x-3=3

=45.5-16(3—x)+--仁45.5—2灰=37.5,

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當且僅當x=?時取等號，即最大月利潤為37.5萬元.

考點三基本不等式與其他知識的綜合應用

【例3】（1）（2019.河南八校測評）已知等差數(shù)列｛〃“｝中，4=7,旬=以S“為數(shù)列｛%｝的前八項和，則%手

n

的最小值為.

（2）（一題多解）（2018?江蘇卷）在AABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,NA8c的平

分線交AC于點Q,且80=1,則4a+c的最小值為.

【答案】(1)3(2)9

1

【解析】(1)；%=7,a9=19,：.d=^^=\=2,

n(3+2〃+1)

??=%+(九-3)4=7+2(〃-3)=2n+1,??S“---------------------—n(n+2),

因此號=〃(**+丑=4(〃+D+*]

。“+12”+22L〃+1」

4x2、/(〃+I)3=3,當且僅當〃=2時取等號.故法^的最小值為3.

2〃十14〃十1

(2)法一依題意畫出圖形，如圖所示.

易知&A8D+S&BCD-S&ABC，

即;csin60o+^?sin600=jacsin120°,

**?-I-c~cic,-H-——1j

ac

4a+c=(4a+c)C+z)=5+?+yN9,

c4〃3

當且僅當'"，即。*，c=3時取

ac2

法二以8為原點，8。所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

則。(1,0),'：AB=c,BC=a,

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修坐1扇,一冬),

VA,D,C三點共線，：.Ab//Dt.

?4一9(一手，+乎痣T)=a

?*?cic~~ciH-c,I=1,

ac

/.4〃+。=(4〃+(?)&+：)=5+?+?29,

c4/73

當且僅當，器，即a=；,c=3時取“=”

【規(guī)律方法】基本不等式的應用非常廣泛，它可以和數(shù)學的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是:

1.先根據(jù)所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉化為用基本不等式求解，

這是難點.

2.要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉化為能利用基本不等式的形式.

3.檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題.

【訓練3】(1)(2019?廈門模擬)已知式x)=3u—也+1)3.、+2,當xdR時,於)恒為正值,則k的取值范圍是()

A.(—co,—1)B.(—oo,2>/2—1)

C.(—1?2色—1)D.(—2-^2—1,2吸—1)

(2)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，若則/一+3的最小值為_______.

2018

“2a2017Gog

【答案】(1)B(2)4

2

【解析】(1)由式戲>0得疝一(％+1)3?+2>0,解得A+lv3x+w.

92

又3,+狂2娘(當且僅當3?=日即x=log3橢時，等號成立).

所以1+1<2帀,即k<2位一1.

⑵.??｛%｝為等比數(shù)列，???43戸239=%8=江戶+六斗萬^=2屮=4.當且僅當宀=六,

20172019V2017201920172019

1?

即。,例9=2。2。17時，取得等號??1六+六的最小值為4

^2017〃2019

【反思與感悟】

1.基本不等式具有將“和式''轉化為"積式''和將"積式”轉化為"和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小

或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點.

a+b

2.對于基本不等式,不僅要記住原始形式,而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，例如：a區(qū)

2

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~~（?>0,/?>0）等，同時還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件.

【易錯防范】

1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

2.對使用基本不等式時等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)丫=、+?加>0）的單調性.

【分層訓練】

【基礎鞏固題組】（建議用時：35分鐘）

一、選擇題

Q2+/?2

1.（2019?孝感調研）是“而1^啲（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

“2+62

【解析】由a>Z?>0,可知42+歷>2",充分性成立，由一~■一，可知。處，a,0WR,故必要性不成立.

2.下列結論正確的是（）

A.當心>0且*1,lgx+j^>2

B.^v<l（xeR）

X2+]

C.當x>0時，x/xd■-^>2

屮

D.當0<爛2時，x—：無最大值

【答案】C

【解析】對于A,當0《<1時，lgx<0,不等式不成立；

對于B,當x=0時，有」r7=l，不等式不成立；

X2+1

對于C,當x>0時，，/+七當且僅當1時等號成立；

13

對于D,當（XE2時，y=x—：單調遞增，所以當x=2時，取得最大值，最大值為*

3.（2019?綿陽診斷）己知41,y>l,且Igx,2,Igy成等差數(shù)列，則x+y有（）

A.最小值20B.最小值200

C.最大值20D.最大值200

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【答案】B

【解析】由題意得2x2=lgx+lgy=lg（肛），所以孫=10000,則x+yN2，^=200,當且僅當x=y=100

時，等號成立，所以x+y有最小值200.

4.設a>0,若關于x的不等式x+，/5在（I,+oo）上恒成立，則a的最小值為（）

X—1

A.16B.9C.4D.2

【答案】C

【解析】在（1,+8）上，xH■―^~7=（x—1）H■—片+1

X—1X—1

（x-1）x-y-^YY-+1=2\[a+1（當且僅當x=l+W時取等號）.

由題意知23+整5.所以a>4.

5.（2019?太原模擬）若P為圓絃+>2=1上的一個動點,且4-1,0）,8（1,0）,則IPAI+IPB啲最大值為（）

A.2B,2帀C.4DAyj?.

【答案】B

【解析】由題意知乙4尸8=90。，，IPAl2+IP8l2=4,

flP^l+lPBlY\PA\2±\PB\2

(2)-2=2（當且僅當IP4I=I尸81時取等號）,

A\PA\+\PB\<2>j2,二IPAI+IPBI的最大值為

6.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為玄天,

O

且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)

產(chǎn)品（）

A.60件B.80件C.100件D.120件

【答案】B

【解析】設每批生產(chǎn)產(chǎn)品x件，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是駕元，倉儲費用是?元，總的費用是（準+￡）

元，由基本不等式得迎+a2\/蜉+?=20,當且僅當陋=《即x=80時取等號.

XOVAOXO

1o

7.若實數(shù)a,Z?滿足公+石=，^,則必的最小值為（）

A.^/2B.2C.2陋D.4

【答案】C

【解析】依題意知a>0,b>0,則％沁羽=瑞,

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1?

當且僅當;=不即b=2〃時，成立.

因為；+戸婀，所以眄器，即止2A「（當且僅當a=2*,b=2麺等號成立），

所以他的最小值為26.

19

8.（2019?衡水中學質檢）正數(shù)m滿足公+石=1,若不等式。+效一12+41+18一相對任意實數(shù)x恒成立，則

實數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.[3,+oo）B.（—oo,3]

C.（—oo,6]D.[6,+oo）

【答案】D

【解析】因為a>0,Z?>0,

所以a+b=3+〃）（>+"=10+5+淮16,

當且僅當與=當,即。=4,6=12時取等號.

依題意，16>—X2+4x+18-/77?即X2—4k一2之一"7對任意實數(shù)X恒成立.

又x2-4x—2=（%—2）2—6,

所以X2—4X-2的最小值為一6,所以一6N—即m>6.

二、填空題

9.函數(shù)丫Y=2-皆4-9。>1）的最小值為

【答案】2帀+2

—

r1爲+2(x2—2x+1)+2r2+3

【解析】y==T=--------------;----------------

(X-1)2+2(X-1)+33

=(x-l)+—卜222^5+2.

X—1

a

當且僅當x-l=H，即x=，5+l時，等號成立.

10.某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤），（單位：萬元）與機器

運轉時間M單位：年）的關系為y=-x2+18x—25（xGN*）,則每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值

是萬元.

【答案】8

【解析】每臺機器運轉x年的年平均利潤用=18—1+專，而x>0,故長18—2?=8,當且僅當x=5

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時等號成立，此時每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤最大，最大值為8萬元.

11.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

【答案】6

【解析】因為x>0,>>0,所以9—(x+3y)=xy=$?(3y),?(二/。，當且僅當x=3y,即x=3,y=l時等

號成立.設x+3y=z>0,則庁+12，一108K),

所以(f—6)(，+18巨0,又因為00,所以侖6.故當x=3,y=l時;(x+3y)min=6.

12.已知直線iwc+ny-2=0經(jīng)過函數(shù)^(x)=logr/x+l(〃>0且存1)的定點，其中〃心0,貝哈+；的最小值為

【答案】2

【解析】因為函數(shù)g(x)=logx+l(a>0且分1)的定點(1,1)在直線町，-2=0上,

所以加+〃一2=0,即3+尹1.

當且僅當券=券，口卩用2="2時取等號,

所以的最小值為2.

【能力提升題組】(建議用時：15分鐘)

13.(2018?江西師大附中月考)若向量機=5-1,2),〃=(4,力，且加丄”，a>0,b>0,則地丄〃+log3/有()

3

A.最大值log35B.最小值log32

C.最大值log丄gD.最小值0

3

【答案】B

【解析】由in丄〃，得加?〃二(),即4(〃一l)+2b=0,

二2"+，=2,：.2>2yl2ab,二岫弓(當且僅當2a=b時，等號成立).

又1。瓦a+log31=log±a+log丄b=log丄(ab)>\osx|=log32,

3333

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故log丄?+10g3g有最小值為10g32.

3

14.(2019?湖南師大附中模擬)已知△ABC的面積為1,內切圓半徑也為1,若AABC的三邊長分別為a,b,c,

則福7+也的最小值為()

a-vbc

A.2B.2+V2C.4D.2+2>/2

【答案】D

【解析】因為AABC的面積為1,內切圓半徑也為1,

所以;(a+〃+c)xl=l,所以a+6+c=2,

sr4.a+b2(a+Z?+c)a+b,2c.a+b-?八六

所以——=-----77；-------+——