《角的比較與運算》名師教案

.3角第二課時(張祖全)角的比較與運算一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角的大小的比較方法.2.掌握角的和差運算.3.理解角平分線的定義、表示及應(yīng)用.（二）學(xué)習(xí)重點1.掌握角的大小的比較方法.2.理解角平分線的定義.（三）學(xué)習(xí)難點1.從圖形中體會角的和差運算.2.角平分線的定義、表示及應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）角的大小比較方法（類比線段大小比較方法）①度量法：用量角器量出角的度數(shù)比較大小.②疊合法：移動一個角，使一條邊重合，看另一條邊所落的位置比較大小.（2）角的和、差：如圖，∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC-∠BOC．（3）從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.預(yù)習(xí)自測（1）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么∠A、∠B、∠C的大小關(guān)系為()A.∠A>∠B<∠C；B.∠A<∠B<∠C；C.∠B>∠A>∠C；D.∠C>∠A>∠B.【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：，，.【思路點撥】將角化成相同單位比較.【答案】B.（2）按圖填空：①∠POM=∠PON+_______；②∠POQ=________—______—______．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：①∠MON；②∠MOQ,∠MON,∠NOP.【思路點撥】由圖形觀察角的和差.【答案】①∠MON；②∠MOQ,∠MON,∠NOP.（3）如圖所示，如果∠1=∠2，則下列結(jié)論成立的是()A.OB平分∠AOC；B.OB、OC是∠AOD的三等分線；C.∠AOC=∠BOD；D.∠AOD=3∠BOC【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由于不知∠BOC與∠1的大小，故不能判定倍分關(guān)系，故A、B、D不成立；由等式性質(zhì)，可判定C成立.【思路點撥】由于不知∠BOC與∠1的大小，故不能判定倍分關(guān)系，由等式性質(zhì)，可判定C成立.【答案】C.（4）如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，且∠COD=25°，則∠AOB等于()A．25°B．50°C．75°D．100°【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由角平分線定義，∠AOB=2∠AOC=4∠COD=100°.【思路點撥】由角平分線定義直接判斷.【答案】D.(二)課堂設(shè)計1.知識回顧（1）角的表示方法有4種；角的度量單位是度、分、秒；，.（3）2.問題探究探究一探究角的大小比較方法★●活動①學(xué)生自主學(xué)習(xí)134、135頁.師問：線段大小的比較方法有幾種？分別是什么方法？學(xué)生舉手搶答：①度量法；②疊合法.師問：類比線段大小的比較方法，角的大小比較方法有幾種？分別是什么方法？學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：角的大小比較方法（類比線段大小比較方法）①度量法：用量角器量出角的度數(shù)比較大小.②疊合法：移動一個角，使一條邊重合，看另一條邊所落的位置比較大小.【設(shè)計意圖】通過類比思想，學(xué)習(xí)角的大小比較方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生遷移知識的能力.探究二探究新知★▲●活動①探究角的和差運算師問：類比線段和差運算，根據(jù)下圖，你會進(jìn)行角的和差運算嗎？(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC；(2)∠BOD=∠COD+∠BOC；(3)∠AOC=∠AOD—∠COD；(4)∠BOC=∠AOD—∠AOB—∠COD．學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：角的和差運算與線段的和差運算一樣，要結(jié)合圖形完成.【設(shè)計意圖】用類比思想學(xué)習(xí)角的和差運算.讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生遷移知識的能力.●活動②探究角平分線的定義及表示師問：你還記得什么叫線段中點嗎？如何表示？學(xué)生舉手搶答.師問：類比線段中點，你能給角平分線下定義嗎？能用符號表示嗎？學(xué)生舉手搶答.總結(jié)：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.用符號語言表示：如圖，OC平分∠AOB，則【設(shè)計意圖】用類比思想學(xué)習(xí)角平分線.教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生遷移知識的能力.探究三運用知識解決問題★▲●活動①學(xué)生自主學(xué)習(xí)133頁.師問：度、分、秒是如何定義的？學(xué)生舉手搶答.師問：度、分、秒之間有何關(guān)系？周角、平角、直角的大小如何量化？生答.總結(jié)：1°=60′，1′=60″；1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°；1周角=2平角=4直角.【設(shè)計意圖】掌握角的度量單位，及其之間的換算關(guān)系.●活動②例1.計算：（1）65°53′26″＋37°14′53″；（2）106°27′30″－98°25′42″；（3）23°25′24″×4；（4）102°48′21″÷3.【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）65°53′26″＋37°14′53″=；（2）106°27′30″－98°25′42″=；（3）23°25′24″×4=；（4）102°48′21″÷3=；【思路點撥】加法：度與度相加，分與分相加，秒與秒相加，滿60向高一級單位進(jìn)1；減法：度與度相減，分與分相減，秒與秒相減，當(dāng)不夠減時，向高一級借1作60再相減：乘法：用乘數(shù)分別乘度、分、秒，然后從小到大滿60進(jìn)1；除法：用除數(shù)分別去除度、分、秒，若有余數(shù)，乘60后加到下一級單位再除，最后四舍五入精確到秒.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.練習(xí)：計算：填空：；；；.【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路點撥】加法：度與度相加，分與分相加，秒與秒相加，滿60向高一級單位進(jìn)1；減法：度與度相減，分與分相減，秒與秒相減，當(dāng)不夠減時，向高一級借1作60再相減：乘法：用乘數(shù)分別乘度、分、秒，然后從小到大滿60進(jìn)1；除法：用除數(shù)分別去除度、分、秒，若有余數(shù)，乘60后加到下一級單位再除，最后四舍五入精確到秒.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【設(shè)計意圖】掌握角的和差倍分計算，懂得“借位”與“進(jìn)位”的方法，培養(yǎng)學(xué)生計算能力.●活動③例2.如圖，OB是的平分線，OD是的平分線，如果，求的度數(shù).【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【數(shù)學(xué)思想】類比思想.【解題過程】解：因為OB是的平分線，OD是的平分線，所以所以【思路點撥】類比線段中點知識解決角平分線的問題.【答案】.練習(xí)：如圖所示，∠AOB=42°，∠BOC=86°，OD為∠AOC的平分線，求∠BOD的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：因為∠AOB=42°，∠BOC=86°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=42°+86°=128°因為OD為∠AOC的平分線，所以∠AOD=，所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=64°-42°=22°.【思路點撥】先由∠AOB、∠BOC計算∠AOC的度數(shù)，再由OD為∠AOC的平分線求∠AOD的度數(shù)，最后∠AOD-∠AOB即得答案.【答案】22°.【設(shè)計意圖】加強角平分線的理解與應(yīng)用，加強解題過程的書寫訓(xùn)練.●活動④例3.如圖，BD平分∠ABC，∠DBE=29°，且∠CBE比∠ABE的3倍還大18°，求∠CBD的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：設(shè)，則，∵BD平分，，∴，∵，∴，解得：，∴．【思路點撥】設(shè)，則，根據(jù)角平分線和得出，代入得出，求出即可．【答案】．練習(xí)：如圖，∠BOC=4∠AOB，OD是∠AOC的平分線，∠BOD=42°，求∠AOB的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)，則，．∵OD是∠AOC的平分線，∴，∴．∵∠BOD=42°，∴=42°，∴，即．【思路點撥】設(shè)，則．由OD是∠AOC的平分線，根據(jù)角平分線定義得出，于是．根據(jù)∠BOD=42°，列出方程=42°，解方程即可．【答案】．【設(shè)計意圖】在角的計算問題中，對有關(guān)角的平分線、倍分、比例等問題，常設(shè)未知數(shù)，利用方程求解.3.課堂總結(jié)知識梳理（1）掌握角的大小的比較方法.（2）掌握角的和差運算.（3）理解角平分線的定義、表示及應(yīng)用.重難點歸納（1）掌握角的大小的比較方法.（2）理解角平分線的定義、表示及應(yīng)用.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.若點P在∠MAN內(nèi)部，現(xiàn)有四個等式：∠PAM=∠NAP，∠PAN=∠MAN,∠MAP=∠MAN，∠MAN=2∠MAP，其中能表示AP是∠MAN的平分線的等式有()A.1個B.2個C.3個D.4個【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由角平分線的定義，四個等式都正確.【思路點撥】由角平分線的定義及符號表示進(jìn)行解答.【答案】D.2.如圖，已知∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，且∠BOC=15°則∠AOD=_________,∠AOB=_________,∠AOC=_________．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，則∠AOC=2∠BOC=30°,所以∠AOD=2∠AOC=60°，∠AOB=∠COB=15°.【思路點撥】由∠AOB=∠AOD,∠AOC=∠AOD，則∠AOC=2∠BOC,所以∠AOD=2∠AOC，∠AOB=∠COB，即可得到解答.【答案】60°，15°，30°.3.計算填空：（1）；(精確到）=___________；(3).【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）；（2）；（3）.【思路點撥】由角的度、分、秒計算.【答案】（1）；（2）；（3）.4.借助一副三角板，不能直接畫出下列度數(shù)的角是（）A.B.C.D.【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：由三角板的角是角的倍數(shù)，故選B.【思路點撥】三角板的角是角的倍數(shù).【答案】B.5.如圖，OD、OE分別是∠AOC、∠BOC的平分線，∠EOD=60°，求∠AOB的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∵OD是∠AOC的平分線，∴∠AOC=2∠DOC，∵OE是∠BOC的平分線，∴∠BOC=2∠EOC，∴∠AOB=2∠DOE，∵∠EOD=60°，∴∠AOB=120°．故答案為120°．【思路點撥】根據(jù)角平分線的概念以及角的和的關(guān)系，找到∠AOB和∠EOD之間的關(guān)系是關(guān)鍵．【答案】120°．6.如圖，OD是∠AOC的平分線，且∠BOC﹣∠AOB=40°，若∠AOC=120°，求∠BOD的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∵OD是∠AOC的平分線，∠AOC=120°，∴∠DOC==60°．∵∠BOC+∠AOB=120°，∠BOC﹣∠AOB=40°，∴∠BOC=80°．∴∠BOD=∠BOC﹣∠DOC=20°.【思路點撥】先根據(jù)角平分線的定義求出∠DOC==60°，再由已知∠BOC﹣∠AOB=40°求出∠BOC的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.【答案】∠BOD=20°能力型師生共研1.如圖所示，已知直線AB和CD相交于點O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，若∠COF=26°，求∠BOD的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：∵∠COE=90°，∠COF=26°，∴∠EOF=∠COE﹣∠COF=90°﹣26°=64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=2×64°=128°，∴∠BOE=180°﹣128°=52°，∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°﹣52°=38°．【思路點撥】先求出∠EOF，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOE，再求出∠BOE的度數(shù)，由∠DOE=90°即可解答.【答案】38°.2.已知：如圖，BD平分∠ABC，BE分∠ABC為2∶5兩部分，∠DBE=24°，求∠ABE的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)，則，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC所以，解得，∴．【思路點撥】由角平分線的定義，則∠CBD=∠DBA，根據(jù)BE分∠ABC為2∶5兩部分這一關(guān)系列出方程求解．【答案】80°．探究型多維突破1.如圖，已知O為直線AB上一點，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE=，求∠BOE的度數(shù)．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】方程思想.【解題過程】解：設(shè)，則，∵∴∴∵OC平分.∴.∵∴∴，即,∴.【思路點撥】設(shè)，則，用含求出的表達(dá)式，然后根據(jù)列出方程即可求出的度數(shù)．【答案】.2.（1）如圖1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，則∠MON=°；（2）如圖2，已知∠AOB=90°，∠BOC=，OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，求∠BON的度數(shù)；（3）如圖3，∠AOB=，∠BOC=，仍然有OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，求∠MON．【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】解：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∵OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，∴，∵，∴；（2）∵ON平分∠BOC，∴∠BON=；（3）∵OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，∴∠MOC=，∠CON=，∴∠MON=∠MOC-∠CON=.【思路點撥】（1）根據(jù)OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC可知：∠MON=.（2）根據(jù)ON平分∠BOC，可知∠BON=；（3）根據(jù)OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC可知：∠MON=.【答案】（1）45°；（2）∠BON=；（3）∠MON=.自助餐1.兩個銳角的和()A.是銳角B.是直角C.是鈍角D.以上均有可能【知識點】角的比較與運算.【數(shù)學(xué)思想】分類討論.【解題過程】解：兩個銳角的和，可能為銳角、直角、鈍角，故選D.【思路點撥】考慮所有可能的情況作答.【答案】D.如圖所示，∠AOB、∠COD都是直角，下列結(jié)論：①∠AOC=∠BOD；②∠AOC+∠BOD=90°；③若OC平分∠AOB，則OB平分∠COD；④∠AOD的平分線與∠COB的平分線是同一條射線，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）．A.1B.2C.3D.4【知識點】角的比較與運算.【解題過程】解：由角平分線定義、角的大小比較容易判斷，①③④正確.【思路點撥】由角平分線定義