2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 數(shù)列的基本知識(shí)與概念 (原卷版)

專題23數(shù)列的基本知識(shí)與概念

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照二定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每二個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，川）

為定義域的函數(shù)%=/（〃）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法.

2.數(shù)列的分類(lèi)

（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無(wú)限分:

遞增數(shù)列:anA>an

遞減數(shù)列：a,>a

（2）按單調(diào)性來(lái)分:i+1n

常數(shù)列：（常數(shù)）

擺動(dòng)數(shù)列

3.數(shù)列的兩種常用的表示方法

（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)與序號(hào)〃之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛%｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與

它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

【方法技巧與總結(jié)】

（5n=l

（1）若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，通項(xiàng)公式為%,則%=|'*

[s“-S,T，n>2，n&N

注意：根據(jù)S"求凡時(shí)，不要忽視對(duì)”=1的驗(yàn)證.

（2）在數(shù)列｛q｝中，若氏最大，貝,若%最小，貝』""'"i.

a

[n2a?+i[an<an+1

【題型歸納目錄】

題型一：數(shù)列的周期性

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

題型五：數(shù)列的最值問(wèn)題

【典例例題】

題型一：數(shù)列的周期性

例1.已知無(wú)窮數(shù)列｛q｝滿足?！?2Ta“+i-aJ（xeN*）,且q=l,a2=x（xeZ）,若數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)中

有100項(xiàng)是0,則下列哪個(gè)不能是x的取值（）

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

~2~

例2.若國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知?！ǘ獂lO"，b、=a、

_7_

bn=a?-10a?_,(7ieN,,H>2),貝ljb2m9二（)

A.2B.5C.7D.8

1+凡

例3.數(shù)列｛%｝滿足4=2,%+]=其前〃項(xiàng)積為則幾等于（）

1-冊(cè)'

A.-B.--C.6D.-6

66

例4.若數(shù)列｛4｝滿足6=2七=2,且%+2=|%+i，則｛%｝的前100項(xiàng)和為()

A.67B.68C.134D.167

2a?,0<a?<1,

例5.數(shù)列｛%｝滿足%+1=<]右％=彳,則的021等于（）

-乙

A.12八3

B.—C.—D.-

5555

例6.已知數(shù)列｛g｝滿足，〃〃=<3/>1）,若生￡（2,3）且記數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為5n,

若鼠=2019,則S2019的值為（

6057C6055

B.3028D.3029

,2

例7.（2022?廣東汕頭?三模）已知數(shù)列｛〃〃｝中，a1=~f當(dāng)”1時(shí)，，則"2022=（）

a

4n-\

144

A.—B.—C.5D.—

455

例8.（2022?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，%-=，*4—1+1(">2),q=2,則〃I。等于()

A.—B.—C.-1D.2

22

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

mn~9,n>10

例9.（2022?四川達(dá)州?二模（理））已知單調(diào)遞增數(shù)列｛。"｝滿足為=■（2m八十“，則實(shí)數(shù)加的取值

1—+11/1-21,n<10

范圍是()

A.[12,4w)B.(1,12)C.(1,9)D.[9,+oo)

例10.（2022.河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)元）=]（：["）尤:"V7,若數(shù)列｛%｝

滿足%=/⑺（〃eN*）且｛《,｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

4.件3）B.[|,3]C.（2,3）D.[2,3）

例1L（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)為。1=1,a2=a9且〃用+%=2〃+1（幾N2,〃￡N*）,

若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則〃的取值范圍為（）

A.\<a<2B.2<a<3

例12.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知等比數(shù)列｛4｝前”項(xiàng)和S“滿足S“=l-A-3".（AeR）,數(shù)列也“｝是

遞增的，且b.=A/+加，則實(shí)數(shù)B的取值范圍為（）

A.B.[-1,+co)C.(一1收)D._]+<?

（、—an+2,H>8/.\

例13.（2022?全國(guó),高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列｛%｝滿足。“二（3）（〃￡N*）,若對(duì)于任意〃cN

0nt,n<8

都有％〉%+i，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

人?陷艮四仁

例14.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為%=川+加，若數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則

實(shí)數(shù)6的取值范圍為（）

A.（—2,+oo）B.[—2,+co）C.(-3,+8)D.(-00,-3)

【方法技巧與總結(jié)】

解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的3種方法

作差比較法根據(jù)。，中一?！钡姆?hào)判斷數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)4巴&>0或?yàn)?lt;0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

作商比較法

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

題型三：數(shù)列的最大（小）項(xiàng)

例15.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,且％=則?！钡淖钚≈凳牵ǎ?/p>

A.\B.1

C.2D.3

例16.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1。，""「%=2,則%的最小值為（）

nn

A.2^/10-1B.—C.—D.—

234

例17.已知數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和S“，且S-1）?,bn=—,則數(shù)列也,｝的最小項(xiàng)為（）

A.第3項(xiàng)8.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)。.第6項(xiàng)

例18.已知數(shù)列｛"“｝的前n項(xiàng)和S“=2/-12%數(shù)歹！J｛|。.|｝的前?項(xiàng)和卻則"的最小值

n

例19.數(shù)列,n=l,2，,中的最小項(xiàng)的值為.

【方法技巧與總結(jié)】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)/（x）當(dāng)尤GN*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/（X）的類(lèi)型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,

或利用求函數(shù)最值的方法，求出了（元）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng).

%"4I,（"22）確定最大項(xiàng)，利用/卬，5N2)

（2）通過(guò)通項(xiàng)公式％研究數(shù)列的單調(diào)性，利用

aa

?2an+1n44+1

確定最小項(xiàng).

（3）比較法：若有4+]-%=/（〃+1）-f（〃）>0或4>0時(shí)3>1,則%+1>%,則數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)

an

列，所以數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)為q=/(I);若有4+1-4=/(?+1)-/(?)<0或%>0時(shí)<1,則an+l<an,

則數(shù)列｛""｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為0=/（I）?

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題

例20.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以?。┍?/p>

示第"幅圖的蜂巢總數(shù)，則/（4）=（）；/（?）=（）.

A.353?2+3n—1

B.363n2-3n+l

2

C.373n—3H+1

2

D.383n+3H—1

例21.由正整數(shù)組成的數(shù)對(duì)按規(guī)律排列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,

（4,1）,（1,5）,（2,4）,….若數(shù)對(duì)（加,力）滿足（裙-2）.1-2=2021,m,neN*,則數(shù)對(duì)排在（）

A.第386位B.第193位C.第348位D.第174位

例22.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,則第68個(gè)“整

數(shù)對(duì)”為（）

A.（1,12）B.（3,10）C.（2,11）D.（3,9）

例23.將正整數(shù)排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

則圖中數(shù)2020出現(xiàn)在

A.第64行3列B.第64行4列C.第65行3列D.第65行4列

題型五：數(shù)列的最值問(wèn)題

例24.（2022?北京市第十二中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛%｝滿足+三，則數(shù)列｛見(jiàn)｝的最小值為（）

n

c.8A/2D.12

例25.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝,%=1,，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列沒(méi)有最大項(xiàng)B.此數(shù)列的最大項(xiàng)是。

C.此數(shù)列沒(méi)有最小項(xiàng)D.此數(shù)列的最小項(xiàng)是。

例26.（2022.河南.高三階段練習(xí)（理））在數(shù)列｛%｝中，4=1,an-an_x=n（neN+,w>2）,則冬斗的

最小值是（

例27.（2022?遼寧?高三階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿足q=2八",北=小「4，則北的最小值為（）

A.2-B.2-10D.2-12

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛4｝滿足％=13,an+l-an=n,則字的最小值為（）

D.13

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)q=-2^+13/1-16,則數(shù)列｛%｝中最大項(xiàng)的值為（

例30.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=1-11"+3,%是數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng),

n

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-40,-25]B.[^10,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?陜西.交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)“尤）定義如下表，數(shù)列｛玉｝（〃eN）滿足4=2,且對(duì)任意的

自然數(shù)〃均有x,+i=/（x"），則尤2022=（）

X12345

“尤）51342

A.1B.2C.4D.5

2.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（理））大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用

于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量

總和，其中一列數(shù)如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……按此規(guī)律得到的數(shù)列記為｛%｝,

其前〃項(xiàng)和為S“，給出以下結(jié)論：①%T=2/-2W；②182是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；③⑸=210；④當(dāng)w為偶

數(shù)時(shí)，S,+2-2S“M+S“=〃+2（〃€N）其中正確的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

3.（2022?河南.模擬預(yù)測(cè)（理））觀察數(shù)組（2,2）,（3,4）,（4,8）,（5,16）,（6,32）,…，根據(jù)規(guī)律，可得第8

個(gè)數(shù)組為（）

A.（9,128）B.（10,128）

C.（9,256）D.（10,256）

4.（2022?吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛%｝滿足（%-1）（%+1）+2=0,則數(shù)列｛%｝的前2022

項(xiàng)積為（）

A.—B.—C.—6D.二

632

5.（2022?江西臨川一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列｛%｝滿足％=2,。用=合二則囁2=（）

A.—B.1C.2D.一

32

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為為="+幺，貝是“數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增”的

n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛氏｝滿足“>5〃eN*且數(shù)列｛"/是單調(diào)遞增數(shù)歹"'

貝打的取值范圍是（）

A.g9]B.g+jC.（5,—）D.（1,4]

8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)歹弘加｝的前“項(xiàng)和Si="2—10"（“GN*）,則數(shù)列｛w”｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是

（）

A.第2項(xiàng)B.第3項(xiàng)

C.第4項(xiàng)D.第5項(xiàng)

9.（2022?上海普陀?二模）數(shù)列｛（｝的前〃項(xiàng)的和S“滿足Sm+S"="〃eN*）,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.數(shù)列｛。向+見(jiàn)｝是常數(shù)列

B.若見(jiàn)<；,則｛%｝是遞增數(shù)列

C.若％=-1,則512022=1。13

D.若4=1,則｛4｝的最小項(xiàng)的值為-1

10.（2022?北京四中三模）已知數(shù)歹！J｛。"｝的通項(xiàng)為%=/一2勿7,則“2<0”是“\Z〃eN*,2+1>4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

11.（2022?河北.衡水第一中學(xué)高三階段練習(xí)）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主

要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩

儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是180

C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為％“=2/D.此數(shù)列的前九項(xiàng)和為=",（"T）

2?！?網(wǎng)11

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛風(fēng)｝滿足。,+i=1，%=§,則數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)的值可能

2。〃一1，不<?！?lt;1

為（）

A.—B.2C.2D.-

335

13.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（

A.數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式是%=」一

3456n+1

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列

D.數(shù)列工是遞增數(shù)列

242n

14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知S”是｛《,｝的前〃項(xiàng)和，4=2,an=l--（n>2）,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的

A.。2021=2B.S2021=1012

C.=1D.｛q｝是以3為周期的周期數(shù)列

2%，?！?

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛即｝滿足。用=，72]，4=|，則數(shù)列｛即｝中的項(xiàng)的值可

2%-

能為（

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=%=則下列各數(shù)是｛%｝的項(xiàng)的有（）

2—冊(cè)

A.-2

17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中記錄了一種三

角形數(shù)表，稱之為“開(kāi)方作法本源”圖，即現(xiàn)在著名的“楊輝三角”.如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列

｛q｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成的，其中｛%｝是集合｛2、+2[0Vs<f，且s/eZ｝中所有的數(shù)從

小到大排列的數(shù)列，即％=3,%=5,%=6,%=9,“5=1。，…，則下列結(jié)論正確的是（）

B-3.2"T

A.第四行的數(shù)是17,18,20,24

D.400=16640

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開(kāi)始的正奇數(shù)，從第2行開(kāi)始每個(gè)數(shù)是

它肩上兩個(gè)數(shù)之和.則下列說(shuō)法正確的是（）

1357911...

48121620...

12202836...

A.第6行第1個(gè)數(shù)為192

B.第10行的數(shù)從左到右構(gòu)成公差為21°的等差數(shù)列

C.第10行前10個(gè)數(shù)的和為95x29

D.數(shù)表中第2021行第2021個(gè)數(shù)為6061*2皿。

19.（2022.河北?石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推

論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的

兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是182

C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為出“=2〃2D.此數(shù)列的前兀項(xiàng)和為

20.（2022?福建漳州?三模）已知數(shù)歹U｛%,｝的前咒項(xiàng)和為凡=11〃-/,則下列說(shuō)法正確的是（