高中數(shù)學(xué)-3 楊輝三角 （以楊輝三角為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）原卷版

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題3楊輝三角

（以楊輝三角為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，

它揭示了（“+?'（〃為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.由此可得圖中

第1（）行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（）

A.256B.512C.1024D.1023

2.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年

所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，

比楊輝要晚近四百年.在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第

3個數(shù)字為外,第3行的第3個數(shù)字為的,……,第22）行的第3個數(shù)字為4-則

4++°3+,??+49=()

莒

0一

丁

莒11

1一

丁

莒

2一121

丁

和33

3一11

丁

和

4一464

丁

莒

5一55

丁1010

A.165B.120C.220D.96

3.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的

表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就在楊輝三角中，若去除所有為1的

項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……則此數(shù)列的前46項和為

()

1

121

1331

1464

1510105

A.4080B.2060C.2048D.2037

4.如圖所示是一個類似楊輝三角的遞推式，則第"行的首尾兩個數(shù)均為（）

33

565

711117

91822189

A.2〃B.2n—1C.2〃+2D.2n+\

5.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的

表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第〃行的所有數(shù)字

之和為2"T，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,

5,...則此數(shù)列的前56項和為（）

A.2060B.2038C.4084D.4108

6.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學(xué)

家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的

“楊輝三角''中，若第〃行中從左至右只有第12個數(shù)為該行中的最大值，則〃=

莒

0行

莒

1行

莒

2行21

莒

3行33

和

4行464

莒

5行5

1010

A.21B.22C.23D.24

7.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多

年，如圖是由“楊輝三角''拓展而成的三角形數(shù)陣，記耳為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,

10,…構(gòu)成的數(shù)列｛4｝的第〃項，則％。的值為（）

1

11

12

13,3’1

14,6/41

15時’1051

????????????

A.1225B.1275C.1326D.1362

8.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多

年，如圖是由“楊輝三角''拓展而成的三角形數(shù)陣，記為為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,

10,…構(gòu)成的數(shù)列｛%｝的第〃項，則［。的值為（）

I

I2I

1331

14641

I5101051

A.45B.55C.66D.67

9.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年

所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數(shù)是

A.21B.28C.36D.56

10.下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝三

角”，該表中第10行第7個數(shù)是（)

四

/i,rI-

十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

11.將三項式展開，得到下列等式:

(。2+〃+1)°=1

(/+4+1)1=/+〃+1

(a2+a+\)2=a4+2a3+3/+2。+1

(4z~+。+1)，=a"++6c廠+3a+1

廣義楊輝三角形

第。行

第1行1

第2行232

第3行36763

第4行14101619161041

觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其

構(gòu)造方法為：第0行為1,以下各行每個數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個數(shù)（不足3

個數(shù)時，缺少的數(shù)以0計）之和，第4行共有2左+1個數(shù).則關(guān)于x的多項式

（/+辦-3），+苫+1）5的展開式中，X8項的系數(shù)（）

A.15（/+。-1）B.15（a~+a+l）

C.15（/+2a+3）D.15（a2+2a-3）

12.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：

1,2,3,3,6,4,10,記這個數(shù)列的前〃項和為S（〃），則S（16）等于（）

1

A.144B.146C.164D.461

13.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年

所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，

比楊輝要晚近四百年.在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角''中（如圖），記第2行的第3

個數(shù)字為6,第3行的第3個數(shù)字為的，…，第〃（〃22）行的第3個數(shù)字為?！耙粍t

4+〃2+〃3++《0=（）

第。行

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15105

A.220B.186C.120D.96

14.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，這是

數(shù)學(xué)史上的一個偉大的成就，如圖所示，在“楊輝三角”中，前〃行的數(shù)字總和記作

S?.設(shè)“,,=J310g2（S,,+1）+1,將數(shù)列｛%｝中的整數(shù)項依次組成新的數(shù)列也｝,設(shè)數(shù)列

也｝的前〃項和記作，，則急的值為（）

A.6067B.5052C.3048D.1518

15.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于

1261年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)

律.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下

列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第

，

了

0彳

第

1Z了

ly

第

2z了

lx

第

3亍12I

iz

第

4Z亍1331

-4

第

5亍14641

第

6Z了15101051

1Z

第

7Z亍I61520156I

1/

第

8了

4XI7213535217I

—I8285670562881

A.C；+Cj+C；++Cf0=165

B.在第2022行中第1011個數(shù)最大

C.第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個

數(shù)

D.第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2：3

16.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形'’早了300多

年.如圖所示的是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,

10,…構(gòu)成數(shù)列｛為｝,記?！盀樵摂?shù)列的第〃項，則%=（）

1

1

121

1331

14641

15101051

A.2016B.4032C.2020D.4040

17.將楊輝三角中的每一個數(shù)C；都換成分?jǐn)?shù)品后，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角

形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在x使得

111

則”的值是<）

1

1

￡1

25“

1￡1

363

1111

41212廠

11111

1?——?‘

52030205

111111

6306060306

A.rB.r-1C.廠+1D.廠+2

18.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的

表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，第〃行的所有數(shù)字

之和為2〃一，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)歹U233,4,645,10,10,5,則此數(shù)列的

前35項和為（）

A.994B.995C.1003D.1004

19.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上

的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,

13,L,則下列選項不正確的是（）

，才.

//I

孑’，4,641

1051

廣615201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第〃（〃25）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第〃條斜線上，共有2"+l-（T）'個數(shù)

4

D.在第11條斜線上，最大的數(shù)是C；

20.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖

所示，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大的成就.在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成

的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前〃項和為S,,,設(shè)2=J51og”“+1）-1,將數(shù)列［bn］中

的整數(shù)項組成新的數(shù)列{c,},則Q。"的值為（）

A.5043B.5047C.5048D.5052

二、填空題

21.楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記

載.它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第

1

1行開始的每一個數(shù)C；都換成分?jǐn)?shù)所訶，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，

萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，請問“萊布尼茨三角形”

第9行第4個數(shù)是.

楊輝三角萊布尼茨三角形

第。行11第0行

11

第行第1行

11122

111

第2行121第2行

363

11

第3行1331第3行

412124

第訪1c多…。廠】1

22.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上

的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1,1,2,3,5,8,

13,…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為.

1^615201561

23.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖所示，在“楊輝三角”

中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行

的6為第3行中兩個3的和.若在“楊輝三角”中從第二行右邊的1開始按“鋸齒形”排

列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5,則在該數(shù)列

中，第35項是.

1

12-1

\

13-31

\

14-661

15-101051

24.楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫

的一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱為“開方做法本源”.現(xiàn)在簡稱為

“楊輝三角下圖是(a+b)"(〃eN*),當(dāng)"=123,4,5時展開式的二項式系數(shù)表示形

式.按這個規(guī)律，第9行第8個數(shù)為

(a+fe)111

(a+b)?121

(Q+bp1331

(Q+b>14A4

(a+fe)515〃105

25.在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)

化.“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋

數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654

年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成

就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望.如圖所示，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的

“楊輝三角中，第10行第8個數(shù)是.

0^一

1丁

14一

1丁

24一121

1丁

3X一33

I丁

44一464

1丁

54一

1丁

1010

26.楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)

直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.如圖所示的楊輝三角中，從

第3行開始，每一行除1以外，其他每一個數(shù)字都是其上一行的左、右兩個數(shù)字之

和，若在楊輝三角中存在某一行，滿足該行中有三個相鄰的數(shù)字之比為4：5：6,則

這一行是第行.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

27.將楊輝三角中的每一個數(shù)C：都換成麗，7,就得到一個如圖所示的分?jǐn)?shù)三角

111

形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出（〃+]”+（Q）E77r=而

iiii11

令。=