9.5 多項(xiàng)式的因式分解-蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊同步課件

第9章整式乘法與因式分解9.5多項(xiàng)式的因式分解因式分解公因式提公因式法分解因式運(yùn)用平方差公式分解因式運(yùn)用完全平方公式分解因式因式分解的一般步驟知識點(diǎn)因式分解11.定義把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.整式乘法與因式分解的關(guān)系(1)整式乘法與因式分解一個(gè)是積化和差，另一個(gè)是和差化積，是兩種互逆的變形.即：多項(xiàng)式整式的積.(2)可以利用整式乘法檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果的正確性.特別解讀：①分解的結(jié)果一定是積的形式；②每個(gè)因式必須是整式；③各因式要分解到不能再分解為止(它與分解因式所要求的數(shù)集有關(guān)，本節(jié)的分解因式僅限于有理數(shù)范圍內(nèi)).

A真題1解題秘方：緊扣因式分解的定義進(jìn)行識別.解法提醒：識別因式分解的兩個(gè)關(guān)鍵詞：●“多項(xiàng)式”說明等式的左邊是多項(xiàng)式，即分解的對象是多項(xiàng)式.●“整式的積”說明右邊的結(jié)果是整式的積.一句話：因式分解是整式的和差化積的變化過程.

B真題2思路點(diǎn)撥：還沒有學(xué)習(xí)因式分解的方法，要判斷因式分解的正確性，可以通過逆向變形(整式乘法)檢驗(yàn)因式分解是否正確.解題秘方：根據(jù)因式分解與整式乘法之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.解：利用整式的乘法法則將各選項(xiàng)中等式的右邊展開，與等式的左邊相比較，左右兩邊相等的只有選項(xiàng)B.知識點(diǎn)公因式21.定義一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.●●●●●特別解讀：1.公因式可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．2.若多項(xiàng)式各項(xiàng)中含有互為相反數(shù)的因式，則可將互為相反數(shù)的因式統(tǒng)一成相同的因式.2.公因式的確定方法(1)確定公因式的系數(shù)：若多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，則取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)確定字母及字母的指數(shù)：取各項(xiàng)都含有的相同字母作為公因式中的字母，各項(xiàng)相同字母的指數(shù)取其中次數(shù)最低的．3.注意：若多項(xiàng)式各項(xiàng)中含有相同的多項(xiàng)式因式，則應(yīng)將其看成一個(gè)整體，不要拆開，作為公因式中的因式.如3x(x-y)+x2(x-y)的公因式是x(x-y).例1指出下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式：(1)3a2y-3ya+6y；解：3，6的最大公約數(shù)是3，所以公因式的系數(shù)是3；有相同字母y，并且y的最低次數(shù)是1，所以公因式是3y.

(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；解：觀察發(fā)現(xiàn)三項(xiàng)都含有x-y，且x-y

的最低次數(shù)是2，所以公因式是(x-y)2.(4)-27a2b3+36a3b2+9a2b.解：此多項(xiàng)式的第一項(xiàng)含有“-”號，應(yīng)將“-”號提取變?yōu)?(27a2b3-36a3b2-9a2b).多項(xiàng)式27a2b3-36a3b2-9a2b

各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是9；各項(xiàng)都有a、b，且a的最低次數(shù)是2，b的最低次數(shù)是1，所以多項(xiàng)式-27a2b3+36a3b2+9a2b

各項(xiàng)的公因式是-9a2b.解題秘方：緊扣公因式的定義求解.方法點(diǎn)撥：找準(zhǔn)公因式要做到“五看”，即：一看系數(shù)：若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；二看字母：公因式的字母是各項(xiàng)相同的字母；三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；四看整體：如果多項(xiàng)式中含有相同的多項(xiàng)式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；五看首項(xiàng)符號，若多項(xiàng)式中首項(xiàng)符號是“-”號，一般情況下公因式符號為負(fù).知識點(diǎn)公因式31.提公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號外，把多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示為ma+mb+mc=m(a+b+c).2.提公因式法的一般步驟(1)找出公因式，就是找出各項(xiàng)都含有的公共因式；(2)確定另一個(gè)因式：另一個(gè)因式即多項(xiàng)式除以公因式所得的商；(3)寫成積的形式.特別解讀：1.提公因式法實(shí)質(zhì)上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積的形式，其中的一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是多項(xiàng)式除以這個(gè)公因式所得的商.下列因式分解正確的是()A.12abc-9a2b2=3ab(4-3ab)B.3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2)C.-x2+xy-xz=x(x+y-z)D.a2b+5ab-b=b(a2+5a)B例2解題秘方：提取公因式,就是要提各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母或因式的最低次冪的積.因此,提取時(shí)有兩個(gè)要點(diǎn)：(1)確定系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)找相同字母或因式的最低次冪.解：A選項(xiàng)中公因式3ab找對了,但括號內(nèi)的因式不對,故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，3m2n-3mn+6n=3n(m2-m+2),正確；C選項(xiàng)中,首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),應(yīng)該是-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中,括號內(nèi)最末一項(xiàng)剩下的系數(shù)“-1”漏掉了,應(yīng)該是a2b+5ab-b=b(a2+5a-1)，故錯(cuò)誤.解法提醒：當(dāng)多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)先提出“-”號，但要注意，此時(shí)括號內(nèi)各項(xiàng)都要改變符號.知識點(diǎn)運(yùn)用平方差公式分解因式41.平方差公式法用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).文字描述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.特別解讀：1.因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.(a+b)(a-b)

a2b22.平方差公式法的特點(diǎn)(1)等號的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式，各項(xiàng)都是平方的形式且符號相反；(2)等號的右邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的積，其中一個(gè)二項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的和，另一個(gè)二項(xiàng)式是這兩個(gè)數(shù)的差.3.運(yùn)用平方差公式分解因式的步驟一判：根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)，判斷是否為平方差，若負(fù)平方項(xiàng)在前面，利用加法的交換律把負(fù)平方項(xiàng)交換放在后面.二定：確定公式中的a和b，除a和b

是單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母外，其余不管是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式都必須用括號括起來，表示一個(gè)整體.三套：套用平方差公式進(jìn)行分解.四整理：將每個(gè)因式去括號，合并同類項(xiàng)化成最簡的.例3分解因式：(1)4x2-25y2；解：4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)；(2)(a+2)2-1；(a+2)2-1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1)；

加法交換律(4)16(a-b)2-25(a+b)2.解：16(a-b)2-25(a+b)2=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)=(9a+b)(-a-9b)=-(9a+b)(a+9b).當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提取“-”號，使括號內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，且括號內(nèi)各項(xiàng)都要變號.特別提醒：1.確定公式中的“a”“b”時(shí)，不能只看表面，如4x2=(2x)2,“a”指的是2x；16(a-b)2=[4(a-b)]2，“a”指的是4(a-b).2.平方差公式可以連續(xù)運(yùn)用.如(3)題，必須做到每個(gè)因式不能再分解為止.3.運(yùn)用平方差公式分解因式時(shí)，若a、b都是多項(xiàng)式，先要添加括號，再去括號，然后化簡最后結(jié)果.解題秘方：先確定平方差公式中的“a”“b”，再運(yùn)用平方差公式分解因式.知識點(diǎn)運(yùn)用完全平方公式分解因式51.完全平方式形如a2±2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.完全平方式的條件：(1)多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式；(2)首末兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)(或式子)的平方且符號相同，中間項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式子)的積的2倍，符號可以是“+”，也可以是“-”.2.完全平方公式法用字母表示：a2±2ab+b2=(a±b)2.文字描述：兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.3.完全平方公式法的特點(diǎn)等號左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.特別解讀：1.當(dāng)首末兩項(xiàng)符號與中間的乘積項(xiàng)符號相同時(shí)，是和的平方；相反時(shí)，是差的平方.2.用完全平方公式分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.分解因式：(1)x2-14x+49；解：x2-14x+49=x2-2·x·7+72=(x-7)2；例4(2)-6ab-9a2-b2；解：-6ab-9a2-b2=-(9a2+6ab+b2)=-［(3a)2+2·3a·b+b2］=-(3a+b)2；首先把多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照字母a的指數(shù)從大到小的順序排列，然后提取首項(xiàng)“-”號.

(4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.解：(x2+6x)2+18(x2+6x)+81=(x2+6x)2+2·(x2+6x)·9+92=(x2+6x+9)2=(x+3)4.完全平方公式可以連續(xù)使用，因式分解的結(jié)果要徹底.解法提醒：運(yùn)用完全平方公式分解因式的關(guān)鍵是判斷每個(gè)多項(xiàng)式是否符合完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若符合，進(jìn)一步確定公式中的“a”“b”.注意當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，一般要先提出負(fù)號，括號內(nèi)多項(xiàng)式各項(xiàng)都要變號.如(2)題.解題秘方：先確定完全平方公式中的“a”“b”，再運(yùn)用完全平方公式分解因式.知識點(diǎn)因式分解的一般步驟6因式分解的一般步驟是“一提，二套，三檢查”.一提：即提公因式，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，首先看有沒有公因式，若有，則先提公因式；二套：即套用公式，在沒有公因式的前提下，則看多項(xiàng)式是否符合平方差公式或完全平方公式的特點(diǎn)，對符合公式特征的，直接套用公式分解因式；三檢查：即運(yùn)用“一提，二套”方法分解因式后，然后再檢查多項(xiàng)式，看能否再利用提公因式法，或套用公式法分解因式，檢查分解是否正確，分解是否徹底.巧學(xué)妙記：因式分解要注意，兩項(xiàng)式子平方差，三項(xiàng)完全平方式，如果還有公因式，提取出來莫忘記.例5分解因式：(1)-3a3b+48ab3；解：-3a3b+48ab3=-3ab(a2-16b2)=-3ab(a+4b)(a-4b)；先提取公因式再運(yùn)用平方差公式(2)x4-8x2+16；解：x4-8x2+16=(x2-4)2=[(x+2)(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2；先運(yùn)用完全平方公式再運(yùn)用平方差公式最后運(yùn)用積的乘方運(yùn)算性質(zhì)“(ab)n=anbn”(3)25x2(a-b)+36y2(b-a).解：25x2(a-b)+36y2(b-a)=25x2(a-b)-36y2(a-b)=(a-b)(25x2-36y2)=(a-b)(5x+6y)(5x-6y)