2024年排列組合高二數(shù)學寒假練習

第12講排列組合

、【考點目錄】

知識點1排列與組合【知識梳理】

一般地，從〃個不fr/vq按照一定的順序排成一列，叫做從幾個不

同元素中取出m個元素的一個排列.兩個排列相同的充要條件是：兩個排列的元素完全相同，且元素的排

列順序也相同.

(2)排列數(shù)

從n個不同元素中取出機。彷〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元

定義及表示

素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號組表示.

全排列的概念n個不同的元素全部取出的一個排列.

階乘的概念正整數(shù)1到九的連乘積，用〃！表示.A2=九！,0!=1.

一1)(〃一2)…一"+1).

排列數(shù)公式

(",m<n).一九!

際乘式4—z\..

kn—m)!

(3)組合：一般地，從w個不同元素中取出相。彷〃)個元素作為一組，叫做從w個不同元素中取出機個元

素的一個組合.

(4)組合數(shù)

從n個不同元素中取出相(加9)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個

定義及表示

不同元素中取出加個元素的組合數(shù),用符號冊表示.

組合Ann(一一1)(〃-2)…(〃一徵+1)

乘積式J—4Tm!_

數(shù)公

n!

階乘式cm=--------=--------

式〃m!(n—m)!'

兩個性質(zhì)1口〃-—("^n~m?

性質(zhì)性質(zhì)25C/+n1———J—im十與一.

3.A=(n—m+l)A=nA；

(n+1)!-n!-n-n!.

4.kC=nC；C=C+C+...+C.

知識點2有約束條件的排列問題

一般有以下幾種基本類型與方法：①特殊元素優(yōu)先考慮；②對于相鄰問題采用“捆綁法”，整體參與排序

后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對于不相鄰問題，采用“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空

檔；④對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列數(shù).

知識點3解組合問題時要注意

①分類時不重不漏；

②注意間接法的使用，在涉及“至多”“至少”等問題時，多考慮用間接法(排除法);

知識點4分堆與分配問題

平均分配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數(shù)的全排列.分堆到位相當于分堆后各堆再全排

列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：平均，黑般位置.對于分堆與分配問題應注意：①處理分配

問題要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名額”等則是相同元素，不適用)，位置也應是不同

的(如不同的“盒子”)；③分堆時要注意是否均勻，如6分成(2,2,2)為均勻分組，分成(1,2,3)為非均勻分

組，分成(4,1,1)為部分均勻分組.

4【考點剖理”問題

(-)全排列問題

1.(2023秋?天津紅橋?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)字1,2,3,4,5.

(1)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)；

(2)可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù).

【答案］⑴120

(2)48

【分析】(1)將5個數(shù)進行全排列，利用排列數(shù)公式即可得出答案.

(2)先排個位數(shù)，從2,4中選一個數(shù)排在個數(shù)，其余的位置即剩下的4個數(shù)進行全排列即可得出答案.

(1)

由題意可得：將5個數(shù)進行全排列，即A；=5x4x3x2x1=120個.

(2)

先排個位數(shù)，從2,4中選一個數(shù)排在個數(shù)有：C；=2個，

其余的位置即剩下的4個數(shù)進行全排列，即A：=4x3x2xl=24個,

所以可以組成C；A：=48個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù).

2.(2023春?遼寧沈陽?高二校聯(lián)考期末)若把英語單詞“四"”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤有

種.

【答案】23

【分析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.

【詳解】因為64,廠”四個字母組成的全排列共有A：=4x3x2x1=24（種）結(jié)果，其中只有排列“pew”

是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現(xiàn)錯誤的共有24-1=23（種）.

故答案為：23.

3.（2023秋?廣東佛山?高二統(tǒng)考期末）某同學有2本不同的語文書，3本不同的數(shù)學書，2本不同的英語書，

如果要將全部的書放在一個單層的書架上，且不使同類的書分開，則不同的放法種數(shù)是（用數(shù)字作

答）

【答案】144

【分析】將同一類型的書做全排列，再三類書做全排列，即可得答案.

【詳解】由題設，A；A；A；A；=2x6x2x6=144種.

故答案為：144

4.（2023秋?江蘇蘇州?高二蘇州中學?？计谀┯幸粋€“國際服務”項目截止到2022年7月25日還有8個名

額空缺，需要分配給3個單位，則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是

【答案】12

【分析】首先確定3個單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可

得結(jié)果.

【詳解】各單位名額各不相同，則8個名額的分配方式有{L2,5},{1,3,4}兩種，

對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個單位的方法有可種，

所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是2團=12種.

故答案為：12

（二）元素（位置）有限制的排列問題

5.【多選】（2023秋?江蘇揚州?高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有2名男同學與3名女同學排成一排，則（）

A.女生甲不在排頭的排法總數(shù)為24

B.男女生相間的排法總數(shù)為12

C.女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為48

D.女生甲、乙不相鄰的排法總數(shù)為72

【答案】BCD

【分析】A.利用排除法求解判斷；B.利用插空法求解判斷；C.利用捆綁法求解判斷；D.利用插空法求解判

斷.

【詳解】A.女生甲在排頭的排法有A：,所以女生甲不在排頭的排法總數(shù)為A；-A：=96,故錯誤；

B.2名男同學全排列為A；種，產(chǎn)生3個空，再將3名女同學排上有A；種，所以男女生相間的排法總數(shù)為

A；A；=12,故正確；

C.女生甲、乙相鄰看作一個元素，則A：種，女生甲、乙再排列有A；種，所以女生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為

A：Af=48種,故正確;

D.除女生甲、乙以外3人全排列有A；種，產(chǎn)生4個空，再將女生甲、乙排上有A；種，所以女生甲、乙不

相鄰的排法總數(shù)A；A：=72種，故正確

故選：BCD

6.（2023秋?遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末）甲、乙、丙、丁4名同學站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時

站在兩端，則不同排列方式共有。

A.4種B.8種C.16種D.20種

【答案】D

【分析】在四人全排的排法中，減去甲、乙同時站在兩端的排法，即可得解.

【詳解】利用間接法，將四人全排，共A：=24種不同的排法，

若甲、乙同時站在兩端，此時有A；A；=4種不同的排法.

因此，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有24-4=20種.

故選：D.

7.（2023秋?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末）5名學生，1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，

其中教師必須站在前排，那么不同的排法共有（）

A.30種B.360種C.720種D.1440種

【答案】B

【分析】先排教師的位置，再排5名學生，從而可得不同的排法.

【詳解】教師在前排，由3種排法，

5名學生，前排2位，后排3位，共有C；A；A；,

故不同的排法總數(shù)為3C；A；A；=360,

故選：B.

8.（2023秋?四川眉山?高二統(tǒng)考期末）某中學舉行的秋季運動會中，有甲、乙、丙、丁四位同學參加100米短

跑決賽，現(xiàn)將四位同學安排在1,2,3,4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲不在2跑道，乙不

在4跑道的不同安排方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，按甲是否在4道上分2種情況討論，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可

得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3個跑道上，有A；=6種排法，

②若甲不在4道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意安排在其他2個跑道上,

有2種安排方法，

止匕時有2x2x2=8種安排方法，

故共有6+8=14種不同的安排方法，

故選：B.

9.（2023秋?陜西西安?高二統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測，到達檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩

支正在等待檢測的隊伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【答案】C

【分析】對該問題進行分類，分成以下情況①3人到A隊伍檢測，②2人到A隊伍檢測，③1人到A隊伍檢

測，④。人到A隊伍檢測；然后，逐個計算后再相加即可求解；注意計算時要考慮排隊時的順序問題.

【詳解】先進行分類：①3人到A隊伍檢測，考慮三人在A隊的排隊順序，此時有A；=6種方案；

②2人到A隊伍檢測，同樣要考慮兩人在A隊的排隊順序，此時有A；=6種方案；

③1人到A隊伍檢測，要考慮兩人在8隊的排隊順序，此時有A；=6種方案;

④。人到A隊伍檢測，要考慮兩人在B隊的排隊順序，此時有A；=6種方案；

所以，甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有24種.

故選：C

10.（2023秋?廣西河池?高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且比1000大的四位偶數(shù)共

有（）

A.56個B.60個C.66個D.72個

【答案】B

【分析】分個位是。和不是0兩種情況，去求用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且比1000大的四位

偶數(shù)

【詳解】①末位是。時，滿足條件的偶數(shù)有A：=24個；

②末位不是0時，滿足條件的偶數(shù)有2A；A；=36個.

滿足條件的四位偶數(shù)的個數(shù)為24+36=60,

故選：B.

（三）相鄰問題的排列問題

11.（2023秋?福建泉州?高二福建省德化第一中學?？计谀┘住⒁?、丙3名數(shù)學競賽獲獎同學邀請2名指

導教師站在一排合影留念，若2名教師不相鄰，且教師不站在兩端，則不同的站法種數(shù)是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】利用分步計數(shù)原理即可求解.

【詳解】先安排2名同學在兩端，有段=6種方法，2名老師內(nèi)部全排有段=2種方法，

2名老師不相鄰，需剩余同學排兩個老師中間，

根據(jù)分步計數(shù)原理，共有6x2=12種方法，

故選:B

12.（2023秋?上海徐匯?高二期末）用1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求所有相鄰兩個數(shù)

字的奇偶性都不同，且1和2相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】B

【分析】利用分步計數(shù)原理分三步計算：第一步：先將3、5排列，第二步：再將4、6插空排列，第三步：

將1、2放到3、5、4、6形成的空中即可.

【詳解】解：依題意分三步完成，

第一步：先將3、5排列，共有A；種排法；

第二步：再將4、6插空排列，共有2A；種排法；

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C；種排法.

由分步乘法計數(shù)原理得共有A>2A；.C；=40（種）.

故選:B

13.（2023秋?上海靜安?高二?？计谀┯?名學生排成一排，甲、乙相鄰的排法種數(shù)為,甲不

在排頭，乙不在排尾的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】1008030960

【分析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列；

（2）可采用間接法得到；

【詳解】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外6人全排列，故有2用=10080種情況；

（2）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，

故有A；-2A；+A上30960種情況

故答案為：10080；30960

14.（2023秋?上海崇明?高二統(tǒng)考期末）某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，

恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有種.

【答案】120

【分析】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，另一輛看作另一個元素，這兩個元素

不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中.

【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有號=6種方法；

另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，有A；=20

種，

因此共有A；A；=120種.

故答案為：120

（四）不相鄰排列問題

15.（2023秋?河北唐山?高二?？计谀?個1和2個。隨機排成一行，則2個。不相鄰的方法有（）

A.5種B.6種C.A種D.20種

【答案】C

【分析】利用插空法計算可得，需注意4個1不需要排列；

【詳解】解：依題意利用插空法，4個1有5個位置可以放0,故方法有C；=10種；

故選：C.

16.（2023秋?貴州黔東南?高二統(tǒng)考期末）小紅，小明，小芳，張三，李四共有5名同學參加演講比賽，在

安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為（）

A.—B.-C.-D.-

10655

【答案】C

【分析】利用捆綁法和插空法進行求解即可.

【詳解】解：由題意得：

5名同學參加演講比賽出場順序總的方法：A?=120種；

將小紅小明捆在一起，然后張三李四兩個排列，再后小芳與小紅小明組插空，總的方法數(shù)有：2A；A；=24種

2A2A2241

在安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為七三=赤=￡

故選：C

17.（2023秋?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學?？计谀?個人隨機去坐連成一排的11個座位，由于受新冠疫

情影響，要求他們每兩人之間至少留有一個空位，則不同的坐法有種.

【答案】1680

【分析】利用插空法求解即可.

【詳解】4個人坐11個座位，有7個空位，7個空位產(chǎn)生8個空擋，選4個空擋給4個人坐，有A；=1680種

坐法.

故答案為：1680

18.（2023秋?陜西咸陽?高二?？计谀┈F(xiàn)有7位同學（分別編號為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍

照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D,E兩人也不相鄰，而凡G兩人必須相鄰，求不同的排法總數(shù).

【答案】240種

【分析】把A2，C排列，產(chǎn)生4個空位，然后將尸,G看作一個整體與RE插入到A,民C中可求解.

【詳解】解：因尸,G兩人必須相鄰，所以把尸,G看作一個整體有A；種排法.

又AB,C三人互不相鄰，。后兩人也不相鄰，所以把A,B,C排列，有A；種排法，產(chǎn)生了4個空位，再用插

空法.

（1）當DE分別插入到A民C中間的兩個空位時，有A；種排法，再把尸,G整體插入到此時產(chǎn)生的6個空

位中，有6種排法.

（2）當DE分別插入到AEC中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有C>C1A；=8種排法,

此時尸,G必須排在A,2,C中間的兩個空位的另一個空位，有1種排法.

所以共有A]ANA16+C；C-A；）=240.

19.（2023秋?河南安陽?高二統(tǒng)考期末）2022年央視春晚出現(xiàn)了很多優(yōu)秀的歌曲、小品、相聲等節(jié)目，現(xiàn)將

歌曲《你是我生命中的禮物》《我們的時代》《愛在一起》《春天的鐘聲》，冬奧主題歌曲《點亮夢》，小品《父

與子》《還不還》《喜上加喜》《發(fā)紅包》《休息區(qū)的故事》，相聲《歡樂方言》《像不像》這12個節(jié)目進行排

列，則冬奧主題歌曲《點亮夢》排在最后一位，相聲《歡樂方言》與《像不像》不相鄰，小品《喜上加喜》

與《發(fā)紅包》相鄰的概率是（）

,12-2-4

A.----B.-----C.—D.—

1651655555

【答案】B

【分析】基本事件的總個數(shù)是12個節(jié)目的全排列數(shù)，所求概率事件所含有的基本事件方法數(shù)用排列的知識

求解：冬奧主題歌曲在最后一位，先放好，其他的相鄰的用捆綁法作為一個元素，不相鄰的用插空法計算

可得，然后由概率公式計算.

【詳解】所求事件發(fā)生的概率為尸=卑/=之，

A；；165

故選：B.

20.（2023秋?湖南永州?高二永州市第一中學?？计谀〢,B,C,D,E,尸這6位同學站成一排照相，要

求A與C相鄰且A排在C的左邊，8與。不相鄰且均不排在最右邊，則這6位同學的不同排法數(shù)為（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】C

【分析】第一步：捆綁AC與除8、。以外的其他2位同學進行排列

第二步：B,D采用“插空法”；

然后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得到答案

【詳解】首先將A與。捆綁到一起，與除以。以外的其他2位同學共3個元素進行排列，有A；=6種排法,

再將8、。插空到除最右邊的3個位置中，有A；=6種排法，因此共有6x6=36種排法，

故選：C

（五）定序問題

21.（2023秋?上海金山?高二上海某中學?？计谀┠炒窝莩鲇?個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先

后順序已確定，則不同的排法有一種.

【答案】120

【分析】根據(jù)已知條件求出6個節(jié)目全排的種數(shù)，再求出甲、乙、丙3個節(jié)目全排的種數(shù)，二者相除即可

求解.

【詳解】演出中的6個節(jié)目全排列有A：=6x5x4x3x2x1=720.

甲、乙、丙3個節(jié)目全排列有A；=3x2xl=6,

所以演出中的6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有當=學=120,

A；6

故答案為：120.

22.（2023秋?安徽合肥?高二合肥市第十一中學校聯(lián)考期末）有3名男生與4名女生，在下列不同條件下，分

別求排法種數(shù)（要求用數(shù)字作答）.

（1）全體排成一排，女生必須站在一起；

（2）全體排成一排，男生互不相鄰；

（3）全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變.

【答案】（1）576；（2）1440；（3）840.

【分析】（1）相鄰問題采用捆綁法即可求出排法種數(shù)；

（2）不相鄰問題采用插空法即可求出排法種數(shù)；

（3）根據(jù)定序法即可求出排法種數(shù).

【詳解】（1）將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有A：種方法，再將4名女生進行全排

列，也有A：種方法，故共有A；xA：=576種排法；

（2）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應先排女生，有A：種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位

中任選3個空位排男生，有A；種方法，故共有A"A；=1440種排法.

（3）把3名男生與4名女生進行全排列，共有A；中排列方法，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變有

親=840種排列方法.

23.（2023秋.天津濱海新?高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考期末）在8所高水平的高校代表隊中，選

擇5所高校進行航模表演.如果M、N為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先"后N的次序（M、

N兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有.

【答案】1200.

【分析】首先從從8所高校中選出5所，除去V、N還需要選3所，再分M、N兩高校不相鄰和M、N

兩高校相鄰兩種情況即可求出結(jié)果.

【詳解】從8所高校中選出5所，除去M、N還需要選3所，選法是C：種，當M、N兩高校不相鄰時，

不同的表演順序有C：A：C；=720,當“、N兩高校相鄰時，不同的表演順序有C；A：=480,因此可選擇的

不同航模表演順序有720+480=1200種.

故答案為：1200.

24.（2023秋?全國?高二期末）某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標，計劃舉行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，

已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（）.

A.42B.56C.30D.72

【答案】B

【分析】利用倍縮法，先將8個節(jié)目排好，由于原來6個節(jié)目順序不變，則要除以原有的6個節(jié)目對應的

不同排法，即可得解.

【詳解】解：增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有履種，

而原有的6個節(jié)目對應的不同排法共有4種，

所以不同的排法有與=56（種）.

故選：B.

（六）正難則反

25.（2023秋?吉林?高二校聯(lián)考期末）2022年6月17日，我國第三艘航母“福建艦”正式下水.現(xiàn)要給“福建

艦”進行航母編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每

側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（）

A.72B.324C.648D.1296

【答案】D

【分析】先排核潛艇，再分配3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦，用艦艇任意的分配數(shù)減去同側(cè)都是同種艦艇的分

配數(shù)，再根據(jù)分步乘法原理即可求得答案.

【詳解】由題意，2艘攻擊型核潛艇一前一后，分配方案有A；=2種，

3艘驅(qū)逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，任意分配有A。=720種，

同側(cè)的是同種艦艇的分配方案有2A；A；=72種，

故符合題意要求的艦艇分配方案的方法數(shù)為A；（A：-2A；A；）=2（720-72）=1296,

故選：D

26.（2023秋?全國?高二期末）某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支

教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種

A.9B.36C.54D.108

【答案】C

［分析】根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.

【詳解】從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的

選派方案有A；種，

選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有A；種，

所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有A；-A；=54種

故選：C

27.【多選】（2023秋?廣東清遠?高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學檢驗專家到A,B,C,D,

E五家醫(yī)院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）

A.所有可能的安排方法有125種

B.若A醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種

C.若專家甲必須去A醫(yī)院，則不同的安排方法有16種

D.若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種

【答案】AB

【分析】利用分步計數(shù)原理及排列知識逐項分析即得.

【詳解】對于A,每名專家有5種選擇方法，則所有可能的安排方法有53=125種，A正確；

對于B,由選項A知，所有可能的方法有9種，A醫(yī)院沒有專家去的方法有4,種，

所以A醫(yī)院必須有專家去的不同的安排方法有5,-4,=61種，B正確；

對于C,專家甲必須去A醫(yī)院，則專家乙、丙的安排方法有52=25種，C錯誤；

對于D,三名專家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有A；=60種，D錯誤.

故選：AB.

考點二組合的基本問題

(一)實際問題中的組合問題

28.(2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學?？计谀?如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的6x6方

格形道路網(wǎng)，其中A是道路網(wǎng)中的一點.今在道路網(wǎng)M,N處的甲、乙兩人分別要到處，其中甲每步

只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.

⑴求甲從M到達N處的走法總數(shù)；

(2)求甲乙兩人在A相遇的方法數(shù).

【答案】⑴924種

(2)50625種

【分析】(1)甲從M到達N需要走12步，結(jié)合分步計算原理即可得到方法數(shù)；

(2)分別求出甲經(jīng)過A的方法數(shù)，乙經(jīng)過A的方法數(shù)，即可得到甲乙在A相遇的方法數(shù).

【詳解】(1)甲從M出發(fā)走到N需要走12步，向右、向上各走6步，走法總數(shù)為C：z=924種.

(2)甲經(jīng)過A的方法數(shù)為=225種，乙經(jīng)過A的方法數(shù)為?)2=225種，

所以甲乙兩人在A相遇的方法數(shù)為225x225=50625種.

29.(2023秋?山東臨沂?高二統(tǒng)考期末)某校為落實“雙減”政策，在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興

趣小組活動.現(xiàn)有A,B,C,。四名同學擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項活動，由于受

個人精力和時間限制，每個人只能等可能的參加其中一項，則恰有兩人參加同一項活動的概率為()

96724824

A.D.?D.

125125125125

【答案】B

【分析】首先分析得到四名同學總共的選擇為54個選擇,然后分析恰有兩人參加同一項活動的情況為C：C；,

則剩下兩名同學不能再選擇同一項活動，他們的選擇情況為Aj,再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】解：,每人只能等可能的選擇參加五項活動中的一項活動，且可以參加相同的活動,

??.四名同學總共的選擇為5x5x5x5=54個選擇，

恰有兩人參加同一項活動的情況為C：C；,剩下兩名同學的選擇有A；種，

恰有兩人參加同一項活動的概率為翼盧

故選：B.

30.（2023秋?河南信陽?高二統(tǒng)考期末）用紅、黃、藍，紫四種顏色隨機地給正四面體的四個頂點染色，則“恰

有一個面上的三個頂點同色”的概率為。

A.gB.-C.-D.—

23416

【答案】D

【分析】求得每個頂點各有四種涂色方法總數(shù)為“=256,再求得“恰有一個面上的三個頂點同色“包含的基

本事件個數(shù)機，結(jié)合古典擷型的概率公式，即可求解.

【詳解】用紅、黃、藍、紫四種顏色隨機地給正四面體的四個頂點染色，

基本事件總數(shù)〃=4"=256,

恰有一個面上的三個頂點同色“包含的基本事件個數(shù)根=C：C；C；=48,

貝產(chǎn)恰有一個面上的三個頂點同色”的概率為P='m=W48=737

n25616

故選：D.

31.（2023秋?上海閔行?高二?？计谀苌嫌?本不同的數(shù)學書,3本不同的語文書,4本不同的英語書.若

從這些書中取不同科目的書兩本，有一種不同的取法.

【答案】26

【分析】分三種情況討論即可求解.

【詳解】取兩本不同科目的書，可以分三種情況：

①一本數(shù)學書和一本語文書，有C；xC；=6種；

②一本數(shù)學書和一本英語書，有C；xC；=8種；

③一本語文書和一本英語書，有C；xC；=12種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+8+12=26種不同的取法.

故答案為：26

（-）代數(shù)中的組合計數(shù)問題

32.（2023春?四川攀枝花?高二統(tǒng)考期末）千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，2021年12月02日又是一個

難得的“世界完全對稱日“（公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學上把20211202這樣的對稱自

然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個（11,22,,99）,其中末位是奇數(shù)的11,33,55,77,99又叫做回文奇數(shù)，

則在（10,10000）內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為一.

【答案】1。5

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進行求解即可.

【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有11,33,55,77,99,共5個,

三位數(shù)的回文奇數(shù)有C?=50,

四位數(shù)的回文奇數(shù)有C；?%=50,

所以在（10,10000）內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為5+50+50=105,

故答案為：105

33.（2023春?江蘇南通?高二江蘇省如皋中學校考期末）從1,3,5,7中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6,8

中任取2個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）

【答案】1296

【分析】根據(jù)取出的數(shù)字是否含有零，分類討論，若不含零，則有四位數(shù)個，若含有零，則有四位

數(shù)團個，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求出.

【詳解】若取出的數(shù)字中不含零，貝U有四位數(shù)C：C：A：=6x6x24=864j；

若取出的數(shù)字中含零，則有四位數(shù)=6x4x3x6=432個；

所以，這樣的四位數(shù)有864+432=1296個.

故答案為：1296.

34.（2023秋?陜西西安?高二統(tǒng)考期末）若將4名志愿者分配到3個服務點參加抗疫工作，每人只去1個服

務點，每個服務點至少安排1人，則不同的安排方法共有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【分析】先選后排可得答案.

【詳解】將4名志愿者分配到3個服務點參加抗疫工作，每人只去1個服務點，每個服務點至少安排1人，

則不同的安排方法共有=36種.

故選：C.

（三）幾何組合計數(shù)問題

35.（2023春?上海楊浦?高二上海市楊浦高級中學?？计谀┰谡襟w的12條棱中任選3條，其中任意2條

所在的直線都是異面直線的概率為（）

A.±B,Ac.3D.A

55555555

【答案】B

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任

選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.

【詳解】如下圖，正方體中如：耳,G，中任意2條所在的直線都是異面直線，

這樣的3條直線共有8種情況，

82

任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為^r=—.

故選：B.

36.（2023春?黑龍江鶴崗?高二鶴崗一中?？计谀┮阎本€以+力-1=0（a，b不全為0）與圓f+y2=50

有公共點，且公共點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線有條.

【答案】72

【分析】確定圓上整點個數(shù)，過其中任兩點的直線去除過原點的直線，以及過整點的切線均符合題意，由

此可得結(jié)論.

【詳解】圓x2+V=50在第一象限內(nèi)有（1,7）,（5,5）,（7,1）三個整點，圓與坐標軸交點不是整點，因此共

有12個整點，過其中任兩點的直線有C[=66條，其中有6條過原點去除，另外過圓的任一整點還各有一

條切線，因此所求直線的條數(shù)為66-6+12=72.

故答案為：72.

37.（2023秋?全國?高二期末）如圖，已知面積為1的正三角形A3C三邊的中點分別為。，E,F,則從A,

B,C,D,E,產(chǎn)六個點中任取三個不同的點構成的面積為;的三角形的個數(shù)為（）

4

A.4B.6C.10D.11

【答案】c

【分析】分兩類；兩個中點和一個頂點構成的三角形，三個中點構成的三角形，由分類加法計數(shù)原理可求.

【詳解】從A,B,C,D,E,尸六個點中任取三個不同的點構成的面積為;的三角形有兩類：

4

第一類，兩個中點和一個頂點構成的三角形，共有C；C；=9（個）；

第二類，三個中點構成的三角形，共有c；=l(個),

由分類加法計數(shù)原理，知面積為!的三角形的個數(shù)為9+1=10.

4

故選：C.

考點三排列、組合的綜合問題

(一)分堆與分配問題

38.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高二?？计谀?現(xiàn)有6本不同的書，如果滿足下列要求，分別求分法種數(shù).

(1)分成三組，一組3本，一組2本，一組1本；

(2)分給三個人，一人3本，一人2本，一人1本；

(3)平均分成三個組每組兩本.

【答案】(1)60；

(2)360；

(3)15.

【分析】(D根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理直接計算可得答案；

(2)根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，再將分好的三組分給3人，由分步計數(shù)原理計算可得答

案；

(3)根據(jù)題意，由平均分組公式計算可得答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，第一組3本有C1種分法，第二組2本有C；種分法，第三組1本有1種分法，

所以共有C：C；xl=60種分法.

(2)根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，有C；C；xl=60種分法,

再將分好的三組分給3人，有A；=6種情況,

所以共有60x6=360種分法.

(3)根據(jù)題意，將6本書平均分為3組，有=15種不同的分法.

A；

39.(2023秋?河南南陽?高二鄧州市第一高級中學校校考期末)為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推

進疫苗接種進度，降低新冠肺炎感染風險，某醫(yī)院準備將2名醫(yī)生和6名護士分配到2所學校，設立疫苗

接種點，免費給學校老師和學生接種新冠疫苗，若每所學校分配1名醫(yī)生和3名護士，則不同的分配方法

共有種.

【答案】40

【分析】任選1名醫(yī)生和3名護士，將醫(yī)護人員分成兩組安排到2所學校即可.

【詳解】1、選1名醫(yī)生和3名護士的方法數(shù)為C；或種；

2、由第一步得到兩組醫(yī)護人員，將其安排到2所學校的方法數(shù)為辛種.

rlr3

所以不同的分配方法共有?用=40種.

故答案為：40

40.（2023春?北京?高二北京八中?？计谀橛拥?4屆冬季奧運會，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5

名學生擔任冰球、冰壺和短道速滑二個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人，每人只能安排到1個

項目，則所有排法的總數(shù)為（）

A.60B.120C.150D.240

【答案】C

【分析】結(jié)合排列組合的知識，分兩種情況求解.

【詳解】當分組為1人」人,3人時，有=10x6=60種，

當分組為1人，2人，2人時有?用=90種,

所以共有60+90=150種排法.

故選：C

41.（2023秋?安徽黃山?高二統(tǒng)考期末）某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學生社團的指導教師，

每個社團各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派

方案有（）

A.360種B.480種C.600種D.720種

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分三種情況：甲參加，乙不參加，或甲不參加，乙不參加，或甲不參加，乙參加，求出

分配的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果

【詳解】若甲參加，乙不參加，則丙參加，只需從剩余5人中選出2人，再分配即可，此時有：C，A：=240

種情況；

若甲不參加，乙不參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出4人，再分配即可，此時有：C1A：=12。種

情況;

若甲不參加，乙參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出3人，再分配即可，此時有：C〉A：=240種情

況；

故共有：240+120+240=600種情況.

故選：C.

42.（2023秋?陜西西安?高二統(tǒng)考期末）當前，國際疫情仍未得到有效控制，國內(nèi)防控形勢依然嚴峻、復雜.

某地區(qū)安排A,B,C,。四名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，每人只去一個

地區(qū)，且48兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（）

A.24種B.30種C.36種D.72種

【答案】B

【分析】分A和8各去一個地區(qū)，CD同去一個地區(qū)；A和C,。中的1人同去一個地區(qū)，8和另一人各去

一個地區(qū)；3和中的1人同去一個地區(qū)，A和另一人各去一個地區(qū)分別計算，再由分類加法原理求解

即可.

【詳解】若A和3各去一個地區(qū)，CO同去一個地區(qū)，則共有A；=6種方案；若A和中的1人同去一

個地區(qū)，8和另一人各去一個地區(qū)，則共有C；A；=12種方案；

若B和中的1人同去一個地區(qū)，A和另一人各去一個地區(qū)，則共有C；A；=12種方案；由分類加法原理

可得共有6+12+12=30種方案.

故選：B.

43.（2023秋?福建莆田?高二莆田一中校考期末）現(xiàn)有5名師范大學畢業(yè)生主動要求到西部某地的甲、乙、

丙三校支教，每個學校至少去1人，則恰好有2名大學生分配到甲校的概率為。

23cl2

A.-B.—C.—D.—

55515

【答案】A

【分析】首先求分組分配后的方法種數(shù)，再求恰好有2名大學生分配到甲校的方法種數(shù)，再求概率.

【詳解】按1+1+3分組：C；=10種（1與1自然成堆），從而有盥？00=

按1+2+2分組：—=15種，從而有U^xA；=90,

A；A；

故所有的分配方法有60+90=150種，

甲校恰好分配到兩人的分配方法有C；C；A；=60種，則概率為尸=告=（.

故選：A.

44.（2023秋?福建福州?高二福建省福州延安中學校考期末）將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，

每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為.

【答案】30

【分析】先取2人一組且甲乙不在一組共有C：-1=5種，與剩余2人一起分配到3個不同的班級，再由分

步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】取兩個人一組，其中甲乙不在一組，共有C：-l=5種取法，

剩余的2人和這一組分別分到三個不同的班級共有A；=6種分法，

由分步乘法計數(shù)原理知，不同分法的種數(shù)為5X6=30種.

故答案為：30

45.【多選】（2023秋?吉林長春?高二長春吉大附中實驗學校?？计谀┈F(xiàn)有5名同學報名參加3個不同的課

后服務小組，每人只能報一個小組（）

A.若報名沒有任何限制，則共有5?種不同的安排方法

B.若報名沒有任何限制，則共有3,種不同的安排方法

C.若每個小組至少要有1人參加，則共有540種不同的安排方法

D.若每個小組至少要有1人參加，則共有150種不同的安排方法

【答案】BD

【分析】利用分步計數(shù)原理及排列組合分析即得.

【詳解】5名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組，

若報名沒有任何限制，則每人都有3種選擇，故共有出種不同的安排方法，故B正確，A錯誤；

若每個小組至少要有1人參加，則先分組后排列，

先將5名同學分為三組有C；+C空=25種方法，

再將分好的三組分到3個不同的課后服務小組有A；=6種情況，

所以每個小組至少要有1人參加，則共有25x6=150種不同的安排方法，故C錯誤，D正確.

故選：BD.

（-）數(shù)字排列問題

46.（2023秋?上海嘉定?高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谀?）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位

數(shù)？

（2）用0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？

【答案】（1）若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復，可組成120個四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復，可

組成625個四位數(shù)

（2）156個

【分析】（1）分數(shù)字重復和不重復討論，根據(jù)排列組合計算即可.

（2）偶數(shù)先確定個位數(shù)字為0或2或4,再分三類討論，最后根據(jù)加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】解：（1）①若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復，則可組成的四位數(shù)有：C>A；=5x4x3x2=120（個）

②若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復，則可組成的四位數(shù)有：54=625（個）

綜上所述，結(jié)論是：若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復，可組成120個四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重

復，可組成625個四位數(shù).

（2）滿足偶數(shù)按個位數(shù)字分成三類：個位是?；?或4,

①個位是0的，即需要從1,2,3,4,5這5個數(shù)中選出3個分別放在千、百、十位，

有C>C：C=5x4x3=60j；

②個位是2的，千位需要從1,3,4,5這4個數(shù)中選出1個有4種選法，從剩下的4個數(shù)字中選出2個分

別放在百位、十位，有C:C；=4x3=12個，所以個位是2的偶數(shù)有4x12=48個；

③個位是4的，也有48個；

綜上所述，用0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有60+48+48=156個.

47.（2023秋?吉林長春?高二統(tǒng)考期末）從2,4,6,8中任取3個數(shù)字，從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，

一共可以組成個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)（用數(shù)字作答）.

【答案】2880

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列組合，按位置分析法列式計算作答.

【詳解】先按給定條件取出偶數(shù)和奇數(shù)，有C：C；種方法，再從3個偶數(shù)中取1個放在個位，