2023年考研數(shù)學二真題(含答案及解析)

2023年考研數(shù)學二

一、選擇題，1?10題，每題5分，共50分.

1.曲線.v=、ln(e+二))的斜漸近線方程為

()

A?「

A.y=x+eB.y=v+C.y=xD.y=x—

-7---------?XW0

2.函數(shù)/(、?)=)\/l+x2的一個原函數(shù)為

()

1(x+l)cosx.X>0

4-x2-x).4W。Infyl+42-x)+l.冥W0

A.F(x)=,B.F(x)=<

(x+Dcosx-sinx,x>0(x+Dcosx-sinx.x>0

In(/l+x2+x).xWOln(Ji+x2+x)+1.xW0

C.F(x)=<D.F(.v)=,

(x+1)sinx4-COSA.x>0(.r+1)sinx+cosx.x>0

=sin.%?弘n?=y^(n=1.2.則當n8時.

3.已知{xn},{yn}滿足：=v)=?

)

A.xn是yn的高階無窮小B.yn是xn的高階無窮小

C.xn與ya是等價無窮小D.xn與％是同階但不等價的無窮小

4.若微分方程y"+ay』by=0的解在(-o,+a)上有界，則)

A.a<0.b>0B.a>0,b>0C.a=0.b>0D.a=O,bvO

v2/|/1

5.設(shè)函數(shù)產(chǎn)f(x)由>一確定，則

)

i—|r|sin/

A.f(x)連續(xù)，f(O)不存在B.f(O)存在，f(x)在x=0處不連續(xù)

C.f(x)連續(xù)，fXO)不存在D.f)(O)存在，P(x)在x=0處不連續(xù)

r+8?

6.函數(shù)/(a)=/，福X=ao處取得最小值，貝！Jaa=()

hK(hlK)aT

10

AIn(ln2)B~，n<ln2)匚航D.ln2

7.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2+a)e*,若f(x)沒有極值點，但曲線y=f(x)有拐點，則a的取值范圍是

()

A.(0,l)B.(l,+o)C.(l,2)D.(2,+o)

AE

8.設(shè)AB為n階可逆矩陣，E為n階單位矩陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，則

oa

\A\B*-B'A'

A.

O\B\A-\B\A*

\B\A'-B'A'-A,B*

D.

O\MB'Mir

222

9.二次型f(Xi,x2,x3)=(X1+x2)+(Xi+x3)-4(X2-X3)的規(guī)范形為

)

c,v?+y"4HD.4+V-K

10.已知向量如=5()若丫既可由ana/性表示，也可由

9/kb

濟區(qū)線性表示，貝丁y()

⑶3

V:/feRkcR2eR

二、填空題，11?16題，每題5分,共30分.

11.當?4-0時，函數(shù)f(x)=ax+bx2+ln(l+x)與g(x)=e2-cosx是等價無窮小，則

ab

12曲線dt的弧長為

A2-

13.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由e^xzMZx-y確定，則?

dx2(i.n

14.曲線3x三y5+2y3在x=l對應點處的法綿斜率為______3

」/(.V+2)-f(x)=x.I/(v)dv=0,f(x)dx=

15.設(shè)連續(xù)函數(shù)Kx)滿足.J。

則

ax\+力=I

a0IaI

"…2'"有解，其中a,b為常數(shù)若

16.已知線性方程組I2a

Xj+2X2+UXy=0

a則“b0

uxi+hx2=2

三、解答題，17?22題，共70分.

17.(本題滿分10分)

設(shè)曲線L:y=y(x)(x>c)經(jīng)過點?,()),L上任一點P(x,y)至!Jy軸的距離等于該點處的切線

在y軸上的截距

⑴求y(x);

⑵在L上求一點，是該點處的切線與兩坐標軸所圍三角形的面積最小，并求此最小面積

2

18.、(個。猛力叫、)

求函數(shù)f(x.y)H*廣，+y的極值.

19.14遇潛力以力■?

已知平面乂域D=|(x.y)|()WFW-.x2I

⑴求D的面積；

(2)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

20.(本題滿分12分)

設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線x?+y2-xy=l,x2+y2-xy=2與直線y二

43x,y=0圍亦計算ff-——；d.vdr.

JJn

21.(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在「a,a］上具有2階連續(xù)導數(shù).證明:

⑴若f(0)=0,則存在&G(-a,a),使得L(打=；［/(“)+/(-?)］

a2

出若六》在(七,公內(nèi)取得極值，則存在Ga,a),使得

1八科力白/⑷-

22.(本題滿分12分)

X?+必+X3

設(shè)矩陣A滿足：對任意均有八2x?-M+?巧

Xi,x,x

23X］一

⑴求A;

(2)求可逆矩陣P與對角矩陣A,使得PTAP=A.

3

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(㈡

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個選項

的斜漸近線方程是()

(A)y=x+e(B)”開！

.

(C)y=x

【答案】(B)

xln(c41)?

【解析】A=Im-=hm——--=liniln(e*-----卜I

1工.[

hhm(尸fcrHhm[jrln(.*'-)T=

AM*'????>V?*|

=hroilnllfI=hm-—=-

1<(x-l)-dx-l)<

所以斜躺線方程;為…t

⑶函數(shù)/”)?［點＞,*s°的原函數(shù)為()

[A)廣⑶?卜(后了T)JM°[B)田卜呻7""°

|(X4*hCMX-SmX.X>0

(C)即卜(Hr"⑼加卜卬臼山。

心.l)Bmx>cosx.x>GI(x?]“tax?cmJTj>0

【答案】(D)

【解析】當xWO時,

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學（-）

|/(xMr■JVl*i1)?€

當x>0時，

Jf(x)dx=f(x+l)cosxdx=[(x+l)dsinx=(x+l)sinx-Jsinxdx

=(x+1)sinx+cosx+C2

原函數(shù)在上吐X)內(nèi)連續(xù)，則在X=O處

lim3+.>?(?=(',IMI(X4I

所以C=l+C2,令C2=C,貝|JG=1+C,故

結(jié)合選項，令c=o,貝嶺)的一個原函數(shù)為

|(x4l)flfix>aHxvx>0

⑶},(y.}滿,足工1-1me-H07K)

(A)x,是y,的高階無窮小(B)y,是x,的高階無窮小

(C)x,是y,的等價無窮小(D)x,是y,的同階但非等價無

窮小

【答案】(B)

【蝌斤】在（嗚）忡,；jrvahx

故Jm.>-I,

r

J

啜小鋁金…（力刎9

‘if'故y,是x,的高階無窮小.

X.

202詐全國碩士研究生招生考試數(shù)學(二)

(4)已知微分方程y+ay，+by=O的解在(-o,+x)上有界，則&b的取值范圍

為()

(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0.b>0(D)a=0,b<0

【答案】(C)

【解析】微分方程y+ay'+by=0的特征方程為x?+a入+b=0,

當A=a2-4b〉0時，特征方程有兩個不同的實根3,3,則a,32至少有一個

不等于零，

若C,C2都不為零，則微分方程的解尸Ce+Ce在(工+x)無界；

當AKMb=O時，特征方程有兩個相同的實根，2

若G也則微分方程的解j^CeHCxe在(-0,+o)無界；

當AR4X0時，特征方程的根為九-個早，：

則Jfi解為尸，YGcrn工+(710,X),

此時，要使微分方程的解在(-0,+x)有界，則a=0,再由A=a24b<0,

知b>0

⑸設(shè)函數(shù)y=fi>)由八="'確定，則(,

(A)f(x)連續(xù)，f(0)不存在

(B)f(O)不存在，f(x)在x=0處不連續(xù)

(C)f(x)連續(xù)，f(0)不存在

(D)f"(0)存在，f(x)在x=0處不連續(xù)

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(-)

【答案】(C)

【解析…當區(qū)時，匕工名中I

當⑼時，仁，名苦二

卻=0時，因為/'.(0卜巴1/(*)：/(―,等=0；

所以f'(0)=0.

0

h；°*，=0=八0)；T/'⑸=@E'；'。=0=/,(0)

所以1吁/'3=/'(0);,即f(x)在x=0連續(xù).

a當，?。時，因為/?.⑼?J〃±￡9-5*空?]

了Ix73a9

/?.(o)-i5/史拜?沙―尸--2

所以f"(0)不存在.

(6)若函魏＞⑻“「焉k在a項處取得最小值，則％=()

(A)__L_(B)-In(In2)

⑹-白(D)In2

【答案】(A)

【解析】當"。時加)*『舟1嵩I一總一

施悵諦旃海上嫡j倘^膿髀寧?占

■4

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⑺設(shè)函數(shù)f(x)=(x￥a)e,若心)沒有極值點，但曲線y=f(x)有拐點，則

a的取值范圍是()

(A)(0,1)(B)(1,+x)

(C)(1,2)(D)(2,+x)

【答案】(C)

【解析】f(x)=(x2+a)e2,f(x)=(x2+a+2x)e2,f(x)=(x2+4x+a+2)e,由于

f(X)無極值點，所以4-4aW0,即a》l;由于f(x)有拐點，所以16-4(a+2)>0,

即a<2;綜上所述ae(l,2).

⑻設(shè)A,B為n階可逆矩陣，E為n階單位矩陣，M為矩陣M的伴隨矩陣，

網(wǎng)宵力]⑻呼溫)

【答案】(D)

【解析】結(jié)合伴隨矩陣的核心公式，代入(D)計算知

[oOM國卜！O\A\B8,,

?嗎￡WMT溫1故⑻

；；22

⑼二次型f(X,X2X)=(Xi+x2)4(X1+X,)-4(X2-X,)的規(guī)范形為()

(A)y2+y2(B)y2-y2

(C)yT+y2-4y?(D)y2+y2-y

【答案】(B)

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222

【解析】由已知f(x,x,X3)=2X-3X-3X+2XX2+2XX3+8X2X3,

(2II)

則其對應的矩陣1134

(l4-3J

4-2-1-I

由-IT?〃4*7)(4-3卜。,,得人的特征酗3,-7,0

-I-44*3

故選(B).

p'

(10)已知向」g八n,若丫既可由a,電線性表示,

也可由B,B線性表示，則y=()

(B)*5AiR

2

/1>

(D)-.

I

【答案】(D)

【解析】設(shè)r=x；ai+x2&=yB+LB,則xa^+x2a2-^B-y282=0.

p2-2-frl003

又⑷?2I-50010-1

bI-9-I,.001I

故(xiX2,yi,y2)}=c(-3,l,-l,iy,ceR

所加pP+cPz=c(-1,-5,⑹'=-c(1,5,8)=k(l,5,8)”，keR

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.

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(11)當X-0時，函數(shù)f(x)=ax+bx2+In(l+x)與g(x)=e2-cosx是等價無窮小，

則ab=_______

【答案】-2

【解析】由I她#織)用史1個號“，--]-+-/--?-+---邛X亨—+?力ri可用

a+l=0,人?_即a=-l,b=2,ab=-2

?T

(12)曲線月J3+at的弧長為

【答案】64

【解析】y=J3-x,由弧長公式可得，//工亦"&?代疝4rx.5

204cos:〃力

■4Rl-ca

(13)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由e+xz=2x-y確定，則J':

【答案】4

【解析】兩邊同時對x求導得：L<".:'孑:：-2-0①

ex

兩邊再同時對X求導得：，之.1一當.卻卻乂.”?(1②

Ac&M7隊

將x=l,y=l代入原方程得e2+z=l=z=0

代入①式得，.或+0+與=2_>蹙=1

draxax

代入②式得門

/rr*m*1

(14)曲線3x3=y5+2y3在X=1對應點處的法線斜率為

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(-)

【答案】4

【解析】兩邊對球?qū)В?x2：z5y*.y，-^y2,y①

當x=l時，代入原方程得3=y8+2y3fy=l

將X=l,尸1代人①式璃爾+Wn八”廣W

所以曲線在x=l處的法線斜率為

(15)設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足：｛+2)-《)書(小由“。，則［小小

【答案】5

【解析】如f/(x>A+，/(x)A

={f}dx+{f(x+2Mx

■f加岫*f(/3)?X岫

={f(x)x+[f(c)dx+[xdx

Oo?一

9

=-I

1

(16)已知線性方程組'「心；r，二°有解，其中a,b為常數(shù)，若:

號+力4+皿產(chǎn)0

叫.g,2

IaI

貝412o-.

LAO

【答案】8

【解析】由己知r(A)=r(A,b)W3<4,故4,b|二0

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三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

(17)(本題滿分10分)

設(shè)曲線L:y=y(x)(x>e)經(jīng)過點0,0),L上任一點P(x,y)到y(tǒng)軸的距

離等于該點處的切線在y軸上的截距，

(I)求y(x).

(II)在L上求一點，使該點的切線與兩坐橫由所圍三角形面積最小,

并求此最小面積.

【解析】(D曲線L在點P(x,y)處的切線方程為Y-尸y(X-x),令x=0,

則切線在y軸上的截距為y=y-y',則問另，即：了->…,解得

y(x)=x(CTnx),其中c為任意常數(shù).

又y(e2)=0,則C=2,故y(x)=x(2-lnx).

(II)設(shè)曲線L在點(x,x(2-Inx)處的切線與兩坐標軸所圍三角形面積最小,

此時切線方程為

Y-x(2-lnx)=(l-lnx)(X-x).

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(二)

令丫二0,則令XK則丫稱

故切線與兩坐標軸所圍三角形面積為爭價［n"「，,

22lni-12(hjr-b

則s-(…M2mX:3),令s(x)=0,得駐點I=二

當…/時，SxM當：時，SYx)X),故S(x)fce處取得極小

值，同時也瞬小值，且最小面板e甩

(18)(本題滿分12分)

求函數(shù)H?…+：的極值.

【?Mfr"/*'二,3°-得駐點為：(飛,ku),其中k為奇數(shù)；(飛小)，

其中k為偶數(shù).

/：-?

則/：▼(，”)

=JBT*rSin2>4-?*?*(-€(?V)

?=/Z=|

代入(-b',kn),其中k為奇數(shù)，nB=/：P0AC-B2<0,故(電融)

c"=Y

不是極值點；

d=Z；=i

代入(-e,*,其中k為偶數(shù)，得，.=/：=o,AC-B2>0且A>0,故(-ejor)

是極小值點，；為極小值.

(19)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域

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(I)求D的面積.

(II)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

【解析】(I)由題設(shè)條件可知：

皿旋轉(zhuǎn)體體枳T"一廣島產(chǎn)F［>占卜3

(20)(本題滿分12分)

設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線x2+y2-xy=l,x2+y2-xy=2

與直線y=J3x,y=0圍成，計算°卜］一"

【解析】本題目采用極坐標進行計算

Ilf，

4呵匡而二占/4呵匡(3??，6

力而高而T圖第麗1nA

=1to2p-——p-------^”二加2^-7—dun；

2la<3*tan1cot1為(3+1*'磯

千詈卜粉。2

(21)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［-a,a］上具有2階連續(xù)導數(shù)，證明：

(I)若f(0)=0,則存在&￡Ga,a),使得./?(：,??。邸?)?〃-.)］

(II)若f(x)在(-a,a)內(nèi)取得極值，則存在n￡(-a,a),使得

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【解析】(I)證明：/(加/(OH/W+空八/W+空匕冊之間，

則/(?)=/仙