2023年北京中考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：四邊形 含詳解

2023年北京中考數(shù)學(xué)一模分類匯編一一四邊形

1.(2023?海淀區(qū)一模)如圖，在四邊形ABCQ中，ZA=ZC=90°,過點(diǎn)B作

交C￡＞于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為A。邊上一點(diǎn)，AF=BE,連接EF.

(1)求證：四邊形ABEF為矩形；

(2)若AB=6,BC=3,CE=4,求的長.

2.(2023?西城區(qū)一模)在△ABC中，AO是BC邊上的中線，點(diǎn)E在線段AO上，點(diǎn)尸在

線段A。的延長線上，CE//FB,連接BE,CF.

(1)如圖1,求證：四邊形8FCE是平行四邊形.

(2)若NABC=NACB,

①依題意補(bǔ)全圖2；

②求證：四邊形BFCE為菱形.

圖1圖2

3.(2023?東城區(qū)一模)如圖，在平行四邊形ABCQ中，BQ平分NA8C.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)連接AC交30于點(diǎn)。，延長8c到點(diǎn)E,在NOCE的內(nèi)部作射線CM,使得NECM

=15°,過點(diǎn)。作。凡1CM于點(diǎn)立若/ABC=70°,DF=娓,求/ACC的度數(shù)及

BD的長.

AD

0

M

BCE

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,

尸在8。上，AE//CF,連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

(2)若NE4O+/CFD=180°,求證：四邊形AECF是矩形.

5.(2023?豐臺區(qū)一模)如圖，在團(tuán)ABC。中，ZACB=90°,過點(diǎn)。作。E_LBC交BC的

延長線于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ACEC是矩形；

(2)連接BF,若NABC=60°,CE=2,求8F的長.

6.(2023?石景山區(qū)一模)如圖，在△ABC中，BC=2AB,D,E分別為BC,4c的中點(diǎn),

過點(diǎn)A作AF//BC交DE的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ABZJF是菱形；

(2)若AB=2,ZB=60°,求AE的長.

AF

E

BDC

7.(2023?通州區(qū)一模)已知在△ABC中，/AC8=90°,點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC中點(diǎn),

連接CD,DE,延長QE到點(diǎn)F,使得EF=Z)E,連接AF,CF.

(1)求證：四邊形AFCC是菱形；

(2)如果sin/CAF&，且AC=8,求AB的長.

5

8.(2023?平谷區(qū)一模)如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是8C中點(diǎn).點(diǎn)F是AO中

點(diǎn).連接AE、CF、EF,EF平分/4EC.

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形;

(2)連接AC,與EF交于點(diǎn)。，連接OD若AF=5,sinNFAC=^，求0。的長.

5

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)如圖，在菱形4BC￡＞中，于E,DFLBC^F.

(1)求證：四邊形BEOF是矩形;

(2)連接8。，如果tanNBQE=2,BF=\,求A8的長.

BFC

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，回ABC。中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,在BO上截取OE

—OF=OA.

(1)求證：四邊形AECF是矩形；

(2)若AE=AF,求證：AC平分NBA。.

11.(2023?延慶區(qū)一模)如圖，在平行四邊形ABC。中，連接AC,NBAC=90°.點(diǎn)M

為邊A。的中點(diǎn)，連接CM并延長，交54的延長線于點(diǎn)E,連接。E.

(1)求證：四邊形ACZJE是矩形；

(2)若8E=10,DE=12,求四邊形BCDE的面積.

12.(2023?大興區(qū)一模)如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、B。的交于點(diǎn)O,延長CB

到E,使得BE=BC.連接AE.過點(diǎn)B作B/〃AC,交AE于點(diǎn)尸，連接。尺

(1)求證：四邊形AFB。是矩形；

(2)若/ABC=60°,BF=1,求OF的長.

EBC

13.(2023?順義區(qū)一模)如圖，團(tuán)A8C。的對角線AC,2。相交于點(diǎn)O,將對角線8。向兩

個(gè)方向延長，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F,且使BE=￡>F.

(1)求證：四邊形4ECF是平行四邊形；

(2)若。尸=。4求證：四邊形AECF是矩形.

14.(2023?燕山一模)如圖，四邊形4BC。中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,AB=AD,

OB=OD,點(diǎn)E在AC上，且NCED=NECB.

(1)求證：四邊形EBCD是菱形；

(2)若BC=5,EC=8,sinZDA￡=2fi2,,求AE的長.

B

2023年北京中考數(shù)學(xué)一模分類匯編一一四邊形

參考答案與試卷解析

1.（2023?海淀區(qū)一模）如圖，在四邊形中，NA=NC=90°,過點(diǎn)B作

交CD于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為A。邊上一點(diǎn)，AF=BE,連接EF.

（1）求證：四邊形ABE尸為矩形；

（2）若AB=6,BC=3,CE=4,求EC的長.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定和矩形的判定解答即可;

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】（1）證明：,：BE//AD,AF=BE,

：.四邊形ABEF是平行四邊形，

：NA=90°,

平行四邊形ABEF是矩形；

（2）解：VZC=90°,BC=3,CE=4,

BE=VBC2-CE2=732+42=5，

???四邊形ABE尸是矩形，

：.ZBEF^ZAFE=90°,AB=EF=6,

：.NBEC+NFED=9Q°,NEFD=90°,

■:NCBE+NBEC=90°,

NCBE=NFED,

:NEFD=NC=90°,

:.ABCES^EFD,

?BEBC

''DE"EF'

即_§_旦

DE6

：.DE=\0.

【點(diǎn)評】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

解答.

2.(2023?西城區(qū)一模)在aABC中，AO是BC邊上的中線，點(diǎn)E在線段A。上，點(diǎn)尸在

線段AO的延長線上，CE//FB,連接BE,CF.

(1)如圖1,求證：四邊形BFCE是平行四邊形.

(2)若/ABC=/ACB,

①依題意補(bǔ)全圖2；

②求證：四邊形BFCE為菱形.

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)AAS證明△￡￡>(7與498全等，進(jìn)而利用平行四邊形的判定解答即可;

(2)①根據(jù)題意畫出圖形；

②根據(jù)菱形的判定解答即可.

【解答】(1)證明：是BC邊上的中線，

：.BD=CD,

,JCE//FB,

ZCED=ZBFD,NDBF=ZDCE,

在△￡>￡>(:與△FZM中，

，ZCED=ZBFD

<NDBF=/DCE，

BD=CD

:./XEDCm/XFDB(AAS),

：.ED=DF,

四邊形BFCE是平行四邊形；

(2)解：①如圖所示：

②由（1）可知：四邊形8尸CE是平行四邊形,

VZABC^ZACB,BD=DC,

：.ADLBC,

二平行四邊形BFCE是菱形.

【點(diǎn)評】此題考查四邊形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定

解答.

3.（2023?東城區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCO中，BD平分NABC.

（1）求證：四邊形A8CZ）是菱形；

（2）連接4c交8D于點(diǎn)O,延長BC到點(diǎn)E,在NOCE的內(nèi)部作射線CA7,使得NECM

=15°,過點(diǎn)D作DF±CM于點(diǎn)F.若NABC=70°,DF=^5,求NACQ的度數(shù)及

8。的長.

AD

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得/BOC=/O8C,則BC=CD,然后

由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得8。=。。，ZDCA=ZBCA^^ZBCD,ACVBD,AB//CD,再證

ZDCA=ZDCM,然后由角平分線的性質(zhì)得。。=。尸=遙，即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形A3。是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.NABD=ZBDC,

平分/ABC,

ZABD=ZDBC,

：.ZBDC=ZDBC,

；.BC=CD,

，12ABe。是菱形；

(2)解：由(1)可知，四邊形A8CQ是菱形，

：.BO=DO,NDCA=NBCA=L/BCD,ACLBD,AB//CD,

2

AZBCD=180°-NABC=180°-70°=110°,NDCE=NABC=70°,

/.ZDCA=AZBCD=55°,

2

；NECM=15°,

：.NDCM=NDCE-NECM=10°-15°=55°,

：.ZDCA=ZDCM,

\"DFLCM,BDLAC,

：.DO=DF=-/5>

：.BD=2DO=2y/5.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及角

平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，在平行四邊形A3CQ中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,

尸在8。上，AE//CF,連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；

(2)若/E4O+NCF￡>=180°,求證：四邊形AECF是矩形.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得OA=OC,再證△4E0ZZXCF0(AS4),得。E=

OF,然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；(2)證NEAO=NCF。，再證OC=OF,

然后證AC=EF,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：(1)：四邊形A88是平行四邊形，

：.OA=OC,

"."AE//CF,

J.ZEAO^ZFCO,

?:NAOE=NCOF,

.?.△AEO絲△CFO(ASA),

：.OE=OF,

四邊形AECF為平行四邊形；

(2)VZEAO+ZCFD=180°,ZCFO+ZCFD=180°,

：.ZEAO=ZCFO,

'：ZEAO=ZFCO,

：.ZFCO^ZCFO,

OC=OF,

由(1)可知，OA=OC,OE=OF,

J.AC^EF,

平行四邊形AECP是矩形.

【點(diǎn)評】此題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)

以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

5.(2023?豐臺區(qū)一模)如圖，在同48C。中，/AC8=90°,過點(diǎn)。作￡>E_LBC交BC的

延長線于點(diǎn)E,連接AE交C。于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ACEO是矩形；

(2)連接BF,若NABC=60°,CE=2,求BF的長.

【分析】(1)由4C_LBC,DEA.BC,得AC〃DE,由四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E

在BC的延長線上，得AQ〃CE,則四邊形ACE。是平行四邊形，即可由/ACE=90°,

根據(jù)矩形的定義證明四邊形ACED是矩形；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得AE=CQ=AB,AF=EF,AD=CE=CB=2,

因?yàn)?A8C=60°,所以AABC是等邊三角形，則A8=AE=BE=2CE=4,NAFB=

90°,所以A4=/lE=2,即可根據(jù)勾股定理求得8>={AB2.AF2=2如?

【解答】(1)證明：?；NACB=90°,

：.AC±BC,

:DELBC,

J.AC//DE,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長線上，

J.AD//CE,

...四邊形ACEQ是平行四邊形，

VZACE=90°,

四邊形ACED是矩形.

(2)解：..?四邊形ACE。是矩形，四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AE=CD=AB,AF=EF,AD=CE=CB=2,

VZABC=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

：.BF±AE,AB=AE=BE=2CE=2X2=4,

：.ZAFB=90°,AF=LE=2X4=2,

22

BF=A/AB2-AF2=^42-22=2a，

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理等知識，證明AC〃DE及aABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?石景山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，BC=2AB,D,E分別為BC,AC的中點(diǎn),

過點(diǎn)A作AF//BC交DE的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形ABOF是菱形：

（2）若AB=2,ZB=60°,求AE的長.

【分析】（1）由三角形中位線定理可得。E〃AB,DE=1AB,可證四邊形A8QF是平行

2

四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）連接AQ,證△A8Q是等邊三角形，得AQ=BD=AB,再證AABC是直角三角形，

N24C=90°,然后由勾股定理得AC=2代，即可得出結(jié)論.

【解答】（I）證明：???點(diǎn)力、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

J.DE是AABC的中位線，BC=2BD,

：.DE//AB,DE=LAB,

2

又,：AFHBC,

：.四邊形ABDF是平行四邊形，

\"BC=2AB,BC=2BD,

：.AB=^BD.

平行四邊形A2OF是菱形：

（2）解：如圖，連接AQ,

由（1）可知，AB=BD,

VZB=60°,

是等邊三角形,

：.AD=BD=AB=CD=^BC,

2

：.BC=2AB=4,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,

???4C=VBC2-AB2=^42-22=2禽，

是AC的中點(diǎn)，

：.AE=^AC=yf3,

2

即AE的長為

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定

理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形

的判定和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?通州區(qū)一模)已知在△48C中，NAC8=90°,點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC中點(diǎn)，

連接CO,DE,延長。E到點(diǎn)F,使得EF=DE,連接AF,CF.

(1)求證：四邊形AFCD是菱形；

(2)如果sinNCAF=^，且AC=8,求AB的長.

5

【分析】(1)由AE=CE,OE=FE先證明四邊形AFC。是平行四邊形，再證明ACLOF

即可得結(jié)論.

(2)在直角三角形AE尸中，AE=4,由sinNCA尸=旦，可求出4凡則

5

【解答】(1)證明：：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

又；EF=DE,

，四邊形AFCD是平行四邊形，

丁點(diǎn)。，E分別是邊A8,AC中點(diǎn)，

：.DE//BC,

：.ZAED=ZACB=90°,

C.ACLDF,

.??四邊形AFC。是菱形.

(2)???四邊形AFCQ是菱形,

：.AD=AF,AE=Lc=Lx8=4,

22

VsinZCAF=.2,

5

?EF2,

**AF=T

設(shè)EF=3x,則4尸=5x,

；?3、A/-EF2r(5x)2-(3x)2=以=4,

??x=1,

：.AF=5f

：.AD=5f

：.AB=2AD=2X5=\0.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理以及銳角三角

函數(shù)定義等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.(2023?平谷區(qū)一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC中點(diǎn).點(diǎn)F是A。中

點(diǎn).連接AE、CF、EF,EF平分NAEC.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)連接4C,與EF交于點(diǎn)、O,連接OD若AF=5,sin/FAC^，求。。的長.

5

【分析】(1)先證四邊形4EC尸是平行四邊形，再證尸EC=/AEF,得AE=

AF,即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得AO=OC,OE=OF,ACJ_E『，再解直角三角形得OF=3,AO=

4,然后由三角形中位線定理得C￡>=2OF=6,CD//EF,即可解決問題.

【解答】(1)證明：???四邊形A3。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

?.?尸是AD中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn),

J.AF//EC,AF=EC,

，四邊形AECF是平行四邊形,

平分NAEC,

NAEF=ZFEC,

\'AF//EC,

：.NAFE=NFEC=NAEF,

：.AE=AF,

平行四邊形AEC尸是菱形；

(2)解：如圖，

；四邊形AECF是菱形，

：.AO=OC,OE=OF,ACLEF,

：.ZAOF=90°,

*,,sinZFAC=T--A尸=5,

5AF

，0F=3,

?'MC>=VAF2-0F2=V52-32=4,

'：AO=CO,1為AD中點(diǎn),

OF是△AC。的中位線，

：.CD=2OF=6,CD//EF,

：.ZACD^ZAOF=90Q,

：OC=4,CD=6,

0D^VcO2-H3D2V42+62-2^^13-

即OD的長為205.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判

定、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)如圖，在菱形ABCQ中，BEYADTE,￡>F_LBC于F.

(1)求證：四邊形3EDF是矩形；

(2)連接80,如果tanNBOE=2,BF=\,求AB的長.

BFC

【分析】(1)由BE_LAO于E,DFA.BC^F,得NBED=NDFB=90°,由菱形的性質(zhì)

得CB//AD,則NEM=NAEB=90°,即可根據(jù)“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”

證明四邊形BEDF是矩形；

(2)由些=1211/2￡>￡：=2,DE=BF=\,得BE=2,SAE2+BE2=AB2,AE=AO-1=

DE

48-1,得(A8-1)2+21=AB2,則AB=S.

2

【解答】(1)證明：：BE_LA。于E,。尸_LBC于F,

；.NBED=NDFB=90°,

???四邊形488是菱形，

J.CB//AD,

:.NEBF=NAEB=90°,

四邊形BEDF是矩形.

(2)解：*：NBED=NAEB=90°,

.?圖=tan/8QE=2,AE2+BE2=AB2,

DE

?：DE=BF=l,

；.BE=2DE=2X1=2,

'：AD=AB,

：.AE=AD-\=AB-1,

(AB-1)2+22=AB2,

解得AB——,

2

：.AB的長為

2

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明NBEO

=/DFB=NEBF=90°是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，回ABCQ中，對角線AC、8。交于點(diǎn)。，在BD上截取OE

—OF=OA.

(1)求證：四邊形4ECF是矩形；

(2)若AE=4凡求證：4c平分NB4O.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得O4=OC,而OE=OF,則四邊形AECF是平行四

邊形，再由OE=Q4,OF=OC,推導(dǎo)出AC=EF,則四邊形AECF是矩形；

(2)由AE=AF,OE=OF,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得ACLB。，則AC垂直平

分BD,所以AB=AO,則AC平分N8AD

【解答】證明：(1)?.?四邊形ABC。是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,

：.OA=OC,

'：OE=OF,

：.四邊形AECF是平行四邊形，

'：OE=OF=OA,

：.OE=OA,OF=OC,

：.OE+OF=OA+OC,

：.AC=EF,

四邊形AECr是矩形.

(2)"：AE=AF,OE=OF,

J.AOVEF,

：.ACLBD,

OB=OD,

垂直平分8D,

：.AB^AD,

；.AC平分NBAD.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等

腰三角形的“三線合一”等知識，證明AC=EF以及由AE=AF,OE=OF推導(dǎo)出AC,

8。是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?延慶區(qū)一模)如圖，在平行四邊形ABC。中，連接AC,/B4C=90°.點(diǎn)M

為邊AO的中點(diǎn)，連接CM并延長，交54的延長線于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形ACQE是矩形；

(2)若BE=10,DE=12,求四邊形BC￡)E的面積.

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AB〃C。，則NMAE=NMOC,而M4=M￡),即可

證明△MAE彩△MDC,得ME=MC,則四邊形ACDE是平行四邊形，因?yàn)镹ACD=N

BAC=90°,所以四邊形ACCE是矩形；

(2)由AE=CD,AB^CD,/AEZ)=90°,WDEYBE,AE=AB=CD=LBE=5,則

2

S四邊形8cOE=LX(5+10)X12-90.

2

【解答】(1)證明：???四邊形A2CD是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZMAE=ZMDC,

?點(diǎn)M為邊AO的中點(diǎn)，

：.MA=MD,

在△MAE和△MOC中，

，ZMAE=ZMDC

"MA=MD，

ZAME=ZDMC

：./\MAE^/\MDC(ASA),

:.ME=MC,

四邊形ACOE是平行四邊形，

VZACD=ZBAC=90°,

四邊形ACDE是矩形.

(2)解：；四邊形48CD是平行四邊形，四邊形ACDE是矩形，

：.AE=CD,AB=CD,ZAED=90°,

J.DELBE,

?.,"=10,DE=12,

.*.4E=AB=a)=」BE=」X10=5,

22

'."BE//CD,

???5四邊形5<7。￡=工X(5+10)X12=90，

2

，四邊形BCDE的面積是90.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、梯形的面積公式等知識，證明是解題的關(guān)鍵.

12.(2023?大興區(qū)一模)如圖，在菱形A8CQ中，對角線AC、8。的交于點(diǎn)。，延長CB

到E,使得BE=8C.連接AE.過點(diǎn)8作BF〃AC,交AE于點(diǎn)F,連接OF.

(1)求證：四邊形AF8O是矩形；

(2)若/ABC=60°,BF=\,求。尸的長.

【分析】(1)證四邊形AOBE是平行四邊形，再證4E_L4C,則/。4尸=90°,然后由矩

形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得OF=A2,OA=BF^\,則AC=2OA=2,再證△ABC是等邊三角

形，得AB=AC=2,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形48。是菱形，

：.AD//BC,AC.LBD,AD=BC,

?；BE=BC,

：.AD=BEf

???四邊形AOBE是平行四邊形，

J.AE//BD,

■:BF//AC,

，四邊形AFBO是平行四邊形，

'JACLBD,AE//BD,

J.AE1AC,

：.ZOAF=90°,

.??平行四邊形AFBO是矩形；

（2）解：???四邊形ABCD是菱形，

：.AB^BC,OA=OC,

由（1）可知，四邊形4FBO是矩形，

：.OF=AB,OA=BF=\,

；.AC=2OA=2,

VZABC=60Q,

」.△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=2,

.?.OF=AB=2,

即OF的長為2.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?順義區(qū)一模）如圖，團(tuán)ABCO的對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，將對角線BO向兩

個(gè)方向延長，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F,且使

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若。尸=。4求證：四邊形AECF是矩形.

【分析】（1）由四邊形ABCO是平行四邊形易知。4=OC,