考點(diǎn)鞏固卷13 復(fù)數(shù)（九大考點(diǎn)）（解析版）

考點(diǎn)鞏固卷13復(fù)數(shù)（九大考點(diǎn)）考點(diǎn)01 復(fù)數(shù)的分類1．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】0【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：02．若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則虛部為0，可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則有，解得.故答案為：.3．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及純虛數(shù)的定義判斷即可．【詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，；若，，則是純虛數(shù)，所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是且．故選：A．4．設(shè)，，若為實(shí)數(shù)，則m的值為______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.故答案為：.5．（多選）下列四個(gè)命題中，假命題為（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則D．若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，即可判斷A、B項(xiàng)；取特殊值，即可判斷C、D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)共軛為自身，可知A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則.因?yàn)椋?，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，取，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，取，，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：CD.6．已知，則“”是“為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求出，再根據(jù)充分必要的概念得答案.【詳解】當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，有，則，故“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件．故選：A.考點(diǎn)02 復(fù)數(shù)相等7．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）．(1)求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)；(2)若，求、的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出；（2）利用復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，即可解得、的值.【詳解】（1）解：，所以z的共軛復(fù)數(shù)．（2）因?yàn)?，即，也即，所以，解得?．已知，，（為虛數(shù)單位），則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.9．復(fù)數(shù)滿足，則________.【答案】【分析】設(shè)出，利用得到方程組，解方程組求出，的值，從而可求出.【詳解】設(shè)，則，所以則，所以，解得：，所以，故.故答案為：10．已知（a，，i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義求出，，再由模長(zhǎng)公式得出.【詳解】∵，∴，∴，解得，所以．故選:B．11．若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．-1 C．0 D．±1【答案】B【分析】設(shè)出純虛數(shù)，利用乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等列方程，求解即可.【詳解】設(shè)，由，可得，所以，解得.故選：B12．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)椋?，所以．所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D考點(diǎn)03 復(fù)數(shù)的幾何意義13．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，所以在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.14．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)，從而可求出其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D15．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫出復(fù)數(shù)，再得到其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，所以.故選：A16．已知復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，寫出一個(gè)滿足條件的__________.【答案】中的一個(gè)均可【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，進(jìn)而的一個(gè)滿足條件的的值.【詳解】復(fù)數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)復(fù)數(shù)對(duì)于點(diǎn)點(diǎn)位于第四象限，當(dāng)時(shí)，符合題意.故答案為：中的一個(gè)均可.17．（多選）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題意寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，則，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.18．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.考點(diǎn)04 復(fù)數(shù)模的計(jì)算19．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的模長(zhǎng)為______．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式可得.故答案為：20．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法法則和模的計(jì)算公式，即可化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.21．（i為虛數(shù)單位），則＝（

）A．5 B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，得，再可得.【詳解】由，得，，.故選：D22．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的模相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．±11 D．11【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，結(jié)合條件列方程可求的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，由已知，所以，故選：A.23．已知復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位），滿足，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】由求得共軛復(fù)數(shù)，再代入中求得，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗?，則，解得，.故選：A.24．已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】設(shè)出，，代入方程，化簡(jiǎn)得到，求出，并求出模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，，即，故，解得或，故，所以.故選：C．考點(diǎn)05 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算25．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．25 B．9 C．5 D．3【答案】C【分析】直接解方程組求出復(fù)數(shù)，從而可求出復(fù)數(shù)的模【詳解】由，得，解得，所以，故選：C26．復(fù)數(shù)的實(shí)部為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部為.故選：B27．復(fù)數(shù)，則的模為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，即可求解.【詳解】，故.故選：C28．是虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接化簡(jiǎn)計(jì)算即可【詳解】，故選：A29．（多選）復(fù)數(shù)，（，），下列說法正確的是（

）A．若為實(shí)數(shù)，則 B．若為實(shí)數(shù)，則C．若為純虛數(shù)，則 D．若為純虛數(shù)，則【答案】BCD【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)合實(shí)數(shù)的意義判斷AB；由共軛復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算及純虛數(shù)的意義判斷CD作答.【詳解】復(fù)數(shù)，（，），對(duì)于A，是實(shí)數(shù)，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是實(shí)數(shù)，則，B正確；對(duì)于C，是純虛數(shù)，則，此時(shí)，，即，C正確；對(duì)于D，是純虛數(shù)，則，此時(shí)，，即，D正確.故選：BCD30．已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可知，即可得其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.【詳解】由可知，，因此其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D考點(diǎn)06 的冪運(yùn)算31．__________.【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.32．（多選）若復(fù)數(shù)滿足：為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．B．C．在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．【答案】ABD【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則及冪運(yùn)算先化簡(jiǎn)得出復(fù)數(shù)，在寫出它的共軛復(fù)數(shù)然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.33．已知復(fù)數(shù)，其中.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若且是純虛數(shù)，求.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，求出的值，即可得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）復(fù)數(shù)，則，又，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的值是1.（2）復(fù)數(shù)，則，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.34．設(shè)復(fù)數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)得出，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，.故選：D.35．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方及除法運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：C36．復(fù)數(shù)的虛部為_______.【答案】1012【分析】根據(jù)錯(cuò)位相減法求和，復(fù)數(shù)乘除法，i乘方的周期性等相關(guān)知識(shí)直接求解.【詳解】由題意得，所以，所以，所以，所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012.故答案為：1012考點(diǎn)07 待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)37．已知為復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，且，則的虛部是（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的概念，直接求解.【詳解】因?yàn)榕c互為共軛復(fù)數(shù)，所以的虛部與的虛部互為相反數(shù).因?yàn)榈奶摬繛椋缘奶摬繛?故選：D.38．已知復(fù)數(shù)滿足．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)相等列式求解即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)，則由，得，即，則，解得，所以．（2）由（1）可知：，則，所以.39．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的求解可得復(fù)數(shù)，即可由模長(zhǎng)公式求解.【詳解】將看作是關(guān)于的一元二次方程的根，則，所以，故答案為：40．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一，四象限 D．第二、三象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算法則求出復(fù)數(shù)，再由其幾何意義選擇即可.【詳解】設(shè)，所以，所以，解得，所以，故選：D.41．已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)．(1)求；(2)若的實(shí)部小于零，且是關(guān)于的方程的根，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義，結(jié)合模長(zhǎng)公式，即可列方程求解，（2）利用復(fù)數(shù)相等的充要條件即可代入求解.【詳解】（1）設(shè)，則．因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且．又，所以．聯(lián)立方程得或故或．（2）由（1）和的實(shí)部小于零，得．因?yàn)槭欠匠痰母?，所以，即．所以解得所以?2．滿足，的一個(gè)復(fù)數(shù)__________．【答案】（或中的一個(gè)，答案不唯一）【分析】設(shè)，根據(jù)可得出或，分、兩種情況討論，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得復(fù)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，則，即或.當(dāng)時(shí)，即，由，解得或，此時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，即，由，解得，此時(shí)，.綜上所述，或.故答案為：（或中的一個(gè)，答案不唯一）考點(diǎn)08 復(fù)數(shù)模的幾何意義43．如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，又由表示圓上的點(diǎn)到的距離，所以的最大值為.故答案為：.44．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】方法一：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求解；方法二：利用不等式求解.【詳解】方法一：因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)的距離為4的點(diǎn)的集合，如圖所示．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是．

方法二：因?yàn)?，?所以．故答案為:.45．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知等式的幾何意義可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合軌跡可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則表示復(fù)平面上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，.故選：A.46．（多選）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，D錯(cuò).故選：ABC.47．已知虛數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)表示的幾何意義求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求的取值范圍.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，表示點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，即，如圖，

表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，分別取得最大值和最小值，點(diǎn)為切點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，，所以，即，，所以的取值范圍是.故選：B48．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時(shí)的復(fù)數(shù)z為（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【分析】復(fù)數(shù)的模轉(zhuǎn)化為距離，是單位圓上的點(diǎn)，是單位圓上點(diǎn)與的距離的最大值，可求解答案．【詳解】復(fù)數(shù)滿足條件，它是復(fù)平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點(diǎn)到的距離，要使此距離取最大值的復(fù)數(shù)，就是和連線和單位圓在第一象限的交點(diǎn)．點(diǎn)到原點(diǎn)距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．故對(duì)應(yīng)的