2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬卷（人教A版范圍空間向量與立體幾何直線與圓圓錐曲線數(shù)列）01（全解全析）

20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試全解全析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線，即，則直線的斜率，所以?xún)A斜角為.故選：C2．向量，，若，則（

）A．， B．，C．， D．【答案】B【解析】由題設(shè)，故.故選：B3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．190【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以，故選：B.4．已知表示的曲線是圓，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：C.5．已知直線l過(guò)定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，又直線的方向向量為，則，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，則，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：A．6．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】由焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為得；設(shè)在準(zhǔn)線上的射影為如圖,則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取得等號(hào)．所以所求最小值是4．故選：D．7．等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則滿(mǎn)足的n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】由題意得，所以，所以，令，整理得，解得，故選：A.8．已知為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，從而有，又，所以，又由，則，即，所以，所以．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，其中，則（）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線過(guò)定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，與無(wú)關(guān)，故直線過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．10．已知在等比數(shù)列中，滿(mǎn)足，，是的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，，，仍成等比數(shù)列【答案】AC【解析】依題意可知，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確.，所以，且，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確.，因?yàn)?，故?shù)列{}中，不成等比數(shù)列，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面C．三棱錐的體積為 D．直線與所成的角為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，在正方體中，,平面，平面，故平面，A正確；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接，，則,則，，則，，故，即,而平面，故平面，B正確；對(duì)于C，連接，三棱錐的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接EF，，則，故，即，由于異面直線所成角大于小于等于，故直線與所成的角為，D正確，故選：ABD12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線與準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于【答案】ACD【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，則，設(shè)直線，把代入，可得，令，則，同理，則，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，，由選項(xiàng)A知，，，，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知數(shù)列中，，，，則.【答案】【解析】由題意知，，，，，，，，易知是周期為6的數(shù)列，．14．以為圓心，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】圓心到切線的距離，所以圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.15．在空間直角坐標(biāo)系中，向量，分別為異面直線，方向向量，則異面直線，所成角的余弦值為.【答案】【解析】因?yàn)?，則，而異面直線所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.16．已知橢圓：的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，且的周長(zhǎng)為，則直線的斜率為．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，又因?yàn)?，即，則，可得，所以，①又因?yàn)椋傻?，②又因?yàn)?，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得為銳角，則，所以，即的斜率為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知點(diǎn)和直線．（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，求直線的方程；（2）若直線過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線，l的距離相等，求直線的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由直線l的方程可知它的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為2．又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為：，即．（2）點(diǎn)P到直線l的距離為：，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為：，點(diǎn)P到直線的距離為2，與已知矛盾；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為：，則，解得．所以，直線的方程為：．18．（12分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）.；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)?，解?所以，.由，可得.由，可得，聯(lián)立①②，解得，由此可得.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，，上述兩式相減，得.得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．（12分）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且滿(mǎn)足，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題可得，解得，所以橢圓的方程為．（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，由得，，因?yàn)椋?，即，所以，即，設(shè)，，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，所以，即，解得或（舍），所以直線的方程為，即直線l恒過(guò)定點(diǎn)，令，，則，當(dāng)時(shí)，最大值為．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．（1）求圓的方程；（2）若圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）4【解析】（1）曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為,，,．可知圓心在直線上，故可設(shè)該圓的圓心為，則有，解得，故圓的半徑為，所以圓的方程為；（2）的方程為．即圓D：，即兩圓方程相減，得相交弦AB所在直線方程為圓C的圓心到直線距離為，所以.21．（12分）平面上兩個(gè)等腰直角和，既是的斜邊又是的直角邊，沿邊折疊使得平面平面，為斜邊的中點(diǎn).（1）求證：.（2）求與平面所成角的正弦值.（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，又為的中點(diǎn)，，由，則，又為等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，（2）由（1）知，，又平面平面，是交線，平面，所以平面，即兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，即，設(shè)與平面所成角為，，即與平面所成角的正弦值為.（3）若存在N使得平面平面，且，，則，解得，又，則，，設(shè)是平面CNM的一個(gè)法向量，則，令b=l，則，，解得，故存在N使得平面平面，此時(shí).22．（12分）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的方程；（2）已知為的中點(diǎn)，作的平行線與雙曲線交于不同的