2023-2024學(xué)年重慶市高二下期第一次教學(xué)檢測數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市高二下期第一次教學(xué)檢測數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若數(shù)列滿足，則的值為（）A．1 B．C． D．【正確答案】D【詳解】因?yàn)閍n令n=1，可得2a2?1=1令n=2，可得2a3?4=1故選：D.2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A.0<f'2<f'3<f3?f2 B.【正確答案】B

【分析】此題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，掌握并會熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，另外還考查學(xué)生的讀圖能力，要善于從圖中獲取信息．

由題意已知函數(shù)f(x)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．

解：由函數(shù)f(x)的圖象可知：

當(dāng)x≥0時，f(x)單調(diào)遞增，且當(dāng)x=0時，f(0)>0，

∴f'(2)，f'(3)，f(3)?f(2)>0，

而x=3（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比x=2（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，

∴f'(2)>f'(3)，

又因?yàn)閒(3)?f(2)3?2∴由圖可知f'(3)<f(3)?f(2)<f'(2)故選：B3.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是上底面A1B1CA.24 B.23 C.【正確答案】B

【分析】

本題考查異面直線所稱的角，屬于基礎(chǔ)題．

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求解即可．

解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)，

所以AE=(?1,1,2)，BD1=(?2,?2,2)，

所以cos<AE，4.若函數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，計(jì)算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【詳解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x-4，∴f′（-1）＝-6,又，∴故選C．本題考查求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值，先求出導(dǎo)函數(shù)，給導(dǎo)函數(shù)中的x賦值是解題的關(guān)鍵．5.已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】求導(dǎo)，利用二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根即可由判別式求解.【詳解】∵，∴，∵函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，∴導(dǎo)函數(shù)有兩個不相等的變號零點(diǎn)，∴，即，解得或．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．6.下列三個圖中的多邊形均為正多邊形，A(B)是正多邊形的頂點(diǎn)，橢圓過A(B)且均以圖中的F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，設(shè)圖①，②，③中的橢圓的離心率分別為e1，e2，e3，則

(

)A.e1>e2>e3 B.【正確答案】B

【分析】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了正多邊形中的邊角關(guān)系，是中檔題．

由已知圖形把A(B)的坐標(biāo)用含有c的代數(shù)式表示，把A(B)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件分別求出離心率后比較得答案．

解：由圖①知，a=2c，∴e1=ca=12；

由圖②知，點(diǎn)B(c,2c)在橢圓x2a2+y2b2=1上，

∴c2a2+4c2b2=1，則c2a2+4c2a2?c2=1，整理得：c4?6a7.已知a=e2ln3，b=eA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a【正確答案】C【解題思路】函數(shù)fx=ex?1ln【解答過程】把a(bǔ)，b，c變形得a=e3?1ln3，所以構(gòu)造函數(shù)fx=ex?1ln令gx=lnx?1所以gx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)樗詅'x>0所以函數(shù)fx=e所以fe<f3故選：C.8.若x∈0,+∞,x2A．e B．2 C．1 D．e【正確答案】D【解題思路】先確定x=0時的情況，在當(dāng)x>0時，參變分離可得a≤ex?x2【解答過程】當(dāng)x=0時，1≤e當(dāng)x>0時，a≤ex?令fx=e因?yàn)閤>0時，ex所以當(dāng)0<x<1時，f'x<0，fx單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時，故fx所以a≤e?2，即實(shí)數(shù)a的最大值為證明當(dāng)x>0時，ex令gx=ex?x?1，則gx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以gx故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項(xiàng)，每選對一個得3分；若只有3個正確選項(xiàng)，每選對一個得2分．）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)A.(ln7)'=17

B.[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x【正確答案】BC

【分析】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

熟記求導(dǎo)公式，依次判斷各個選項(xiàng)即可．

解：(ln7)'=0，故A錯誤；

[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正確；

(x2ex)'=2x?10.函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．在處有最小值B．是的一個極值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增D．當(dāng)時，方程有兩異根【正確答案】AC

11.如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓(其直徑為前一個剪掉半圓的半徑)得圖形P3，P4，?，Pn，?，記紙板Pn的周長為LA.L3=74π+12 B.【正確答案】ABD

【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，屬于較難題．

根據(jù)題意可知，圖形Pn中被剪去的最小的半圓的半徑為(

解：根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，

L1=π+2，L2=π+π2+1=3π2+1，L3=π+π2+π4+12=7π4+12，故A正確；

S1=π2，S2=π2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程為___________.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.【詳解】切點(diǎn)為，，故切線方程為，即.故13.已知函數(shù)f（x）＝在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值區(qū)間是___【正確答案】【分析】轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立即可.【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，在上恒成立，，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為______.【正確答案】【分析】設(shè)，則，，根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】依題意設(shè)，則，，又，則，所以，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，即，所以，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)設(shè)曲線fx=ax2ex在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y=3(1)求a，b的值；(2)求fx在區(qū)間?3,3（1）由fx=a依題可得：f'1=又f1=3所以a=3，b=0.（2）由（1）知fx=3令f'x=0，解得x=0或2，令f令f'x<0，解得x<0所以fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,2又f?3=27e?3=27e故fx在區(qū)間?3,3上的最大值為max最小值為minf16.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【小問1詳解】∵，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，①，②①-②得即，∵，∴，∴，∴是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，∴；【小問2詳解】由上可知：，所以，，∴，∴.17.(17分)如圖，在斜三棱柱中，所有棱長均相等，O，D分別是的中點(diǎn)．(1)證明：OD∥平面；(2)若，且，求平面與平面所成角的余弦值．【正確答案】(1)證明見解析；(2)65【詳解】（1）連接A1B交AB1于點(diǎn)E，連接∵O，E分別是AB，AB1的中點(diǎn)，D為∴OE//∴四邊形OEC1D∵OD?平面AC1B1，C1E?平面（2）連接OC，∵∠BAA∴△BAA∴A1∵A1O⊥BC，且∴A1O⊥平面∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OA1，OC所在直線分別為x，y，設(shè)AB=2，則A1,0,0，A10,3,0由AC=A1則AC1=?2,3設(shè)平面A1AC∴AC1?令x=3∴m=設(shè)平面AC1B∴AC1?令a=3，∴n設(shè)平面A1AC1與平面則cosθ=即平面A1AC1與平面18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時，的面積是。（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由（1）依題意可得，設(shè)，由余弦定理可知：，所以，當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時的面積是，同時，聯(lián)立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為，所以，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當(dāng)時，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.19.(17分)已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性：（2）當(dāng)時，若方程有兩個不等實(shí)根，證明：．（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，令得，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．