2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第23講 函數(shù)的對(duì)稱性和周期性訓(xùn)練 含解析

第23講函數(shù)的對(duì)稱性和周期性專題訓(xùn)練

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：函數(shù)常見對(duì)稱性結(jié)論

①若函數(shù)/(%)對(duì)于任意的X均滿足f(a+x)^f(b-x),則函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線

X=S*二D=空2對(duì)稱.

22

②若函數(shù)/(X)對(duì)于任意的X均滿足f{a+Λ)+f(α-x)=28則y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(α,與對(duì)稱.

考點(diǎn)二：函數(shù)常見周期性結(jié)論

若函數(shù)對(duì)于任意的X都滿足了(x+T)=∕(x),則T為f[x}的一個(gè)周期，且

/(x±"T)=∕(x)

幾個(gè)常見周期性結(jié)論

①若函數(shù)y=∕(x)滿足f(x+m)=-f(x),則丁=2根.

②若函數(shù)y=/(x)滿足/S÷∕%)=±—!—,貝∣JT=2m.

?(?)

③若函數(shù)y=/(x)滿足f(x+〃。=~⑷,則T=2m.

1+f(χ)

④若函數(shù)y=/(x)滿足/(x+α)=/(x+8)，則T=M—4.

⑤若函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于直線x=α,x=b都對(duì)稱，則/(x)為周期函數(shù)且2∣8-α∣是它

的一個(gè)周期.

⑥函數(shù)y=/(x)(XWR)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A(〃，%)、B(h,y0)都對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是以

2∣8-4∣為周

⑦函數(shù)y=∕(x)(XER)的圖象關(guān)于4〃，%)和直線x=b都對(duì)稱，則函數(shù)y=∕(x)是以

4∣b-α∣為周期的周期函數(shù).

⑧若函數(shù)、=/(幻滿足/(》+〃7)=8衛(wèi)也，則函數(shù)f(x)是以4機(jī)為周期的周期函數(shù).

1-f(χ)

【典型例題】

題型一：利用周期性求函數(shù)值

【例1】(2022?安徽?高三開學(xué)考試)己知奇函數(shù)/(X)滿足A-x)=∕(x+2),當(dāng)xe[0,l]時(shí),

/(x)=2x2,貝打⑺=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)用已知等式確定函數(shù)的周期性，然后由周期性、奇偶性求函數(shù)值.

【詳解】f(x)是奇函數(shù)，則/(x+2)=∕(τt)=-∕(x),

所以/(x+4)=—/(x+2)=∕(x),函數(shù)f(χ)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，

/(7)=/(-1)=-/(D=-2×I2=-2.

故選:A.

【例2】(2023山東?臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試)已知/(x)是R上的奇函數(shù),

且〃x+2)=—/(x),當(dāng)XW(0,2)時(shí)?，f?x)=jc+2x,則”15)=()

A.3B.-3C.255D.-255

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知f(x)是周期函數(shù)，根據(jù)周期以及奇函數(shù)即可求解.

【詳解】由/(x+2)=-"x)可得,f(x+4')=-f(x+2)=f(x),故〃x)是以4為周期的周

期函數(shù)，i?/(15)=/(-1)=-/(1)=-3,

故選：B

【例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)xe[0,2)時(shí)，

3X2-X,0<X≤1則/(-|)=(

/(χ)=")

2-x,l<x<2

A.-1B.1C.?D.-

24

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，化簡得到/(-|)="-|+3)=/.(5，代入即可求解.

【詳解】因?yàn)镕(X)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)xw[0,2)時(shí)，/")=

2-x,l<x<2

則/(-∣)=∕(-→3)=∕φ=3×(∣)2-???.

故選：D.

【例4】(2022?遼寧?遼陽市第一高級(jí)中學(xué)高二期末多選)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

/(T)="x)=∕(x+2),且當(dāng)x∈[0,l]時(shí),/(x)=x,則下列說法正確的是()

A."x)是偶函數(shù)B./(x)是周期函數(shù)

C./(?)=TD.x∈[-l,0]時(shí)，/(x)=X

【答案】AB

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與周期性，根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在xe[-LO)上的解析式，

最后根據(jù)周期性求出/(B]

【詳解】解：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)"%)滿足/(r)=∕(x),所以/(x)是偶函數(shù)，故A

正確；

又/(x)=∕(x+2),所以〃x)是以2為周期的周期函數(shù)，故B正確;

設(shè)x∈[T,0),則一Xe(0,1],所以"-x)=τ,又"X)是偶函數(shù),

則/(X)=—X,即當(dāng)x∈[T,0)時(shí)f(x)=—x,故D錯(cuò)誤;

O?,故C錯(cuò)誤;

故選：AB

【例5】(2022.黑龍江.大慶中學(xué)高二期末)/S)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足

“X—2)=∕(x+2),又當(dāng)x∈(0,l]時(shí)，/(x)=3',貝IJy(log∣]=.

【答案】弓9

O

【分析】依題意可得F(X)=/(x+4),即可得到/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)對(duì)

數(shù)的運(yùn)算及奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解:因?yàn)?(x-2)="x+2),所以f[(x+2)-2]=f[(x+2)+4],即/(x)="x+4),

所以〃x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又Iogll=?ɑg?72=Iog3(8×9)=log,8+Iog39=Iog38+2

372

(1、

所以/[log∣無1=川嗚8+2)=/[(現(xiàn)38+2)-4]=〃嘀8-2),

又/S)是定義在R上的奇函數(shù)，所以“r)=-∕(x),且當(dāng)x∈(0,l]時(shí),/(x)=3v,

所以心8修卜(1%8-2)=_〃2-臃38)=-4啕,=-3唱=_：

故答案為：-總9

O

【題型專練】

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/(x+2)=-f(x),當(dāng)

xe[0,l]時(shí)，/(Λ)=2Λ-1,則()

A./(6)<∕(-7)<∕(y)B./(6)<∕(y)<∕(-7)

C.Z(-7)<∕(y)<∕(6)D./(y)<∕(-7)<∕(6)

【答案】B

【分析】由題意可得函數(shù)的周期為4,結(jié)合奇偶性和題意可得答案.

【詳解】解：f(x+2)=-∕(x),

??"(x+4)=/[(x+2)+2J=-f(x+2)=/(x),

函數(shù)/W是周期為4的周期函數(shù)，

又當(dāng)Xwo,1]時(shí)，/(x)=2v-l,

所以/(6)="2)=?√(0)=0,/(H)=/(|)=-/(-?)=?(?)=√2-1,/(-7)=/(1)=1,

/(6)<∕(y)<∕(-7),

故選：B.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知/")是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+6)=∕(-x),若當(dāng)

Xe[-3,0]時(shí)，/(x)=6-v,貝IJy'(2021)=()

A.0B.1

C.6D.216

【答案】C

【分析】由/(x+6)=f(-X)可得函數(shù)周期為6,進(jìn)而/(2021)=/(337x6-1)=/(-1),最后

求出答案.

【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)/O)滿足門x+6)=f(-x),即/(x+6)=f(x),f(χ)是周期為6

的周期函數(shù)，則/(2021)=/(337X6-1)=/(—1),當(dāng)Xe[-3,0]時(shí),/(X)=，則/(-1)=6=6,

故/,(2021)=6

故選：C

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=∕(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且〃x+2)=-/(x),

當(dāng)x∈[T,0)時(shí)，/(x)=x,貝Ij/(2021)=()

A.2021B.1C.-1D.0

【答案】B

【分析】分析可知函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的性質(zhì)可

求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x+2)=-∕(x),所以〃x+4)=—"x+2)=∕(x),

即"x+4)=∕(x),所以函數(shù)F(X)的周期為4,

所以/(2021)=∕(4x505+l)=f⑴，

因?yàn)楹瘮?shù)y=∕(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)Xel-1,0)時(shí)，/(x)=X,

所以f(l)=—/(T)=-(T)=I,所以y(2021)=L

故選：B.

4.(2023重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(可滿足

/(x+2)=-∕(x),∕(l)=3,貝IJy?(2023)=.

【答案】-3

【分析】由函數(shù)滿足"x+2)=-∕(x),推得函數(shù)F(X)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)

合函數(shù)的周期，即可求解.

【詳解】因?yàn)樵赗上的函數(shù)/(x)滿足"x+2)=-∕(x),且〃1)=3,

令x=l,有,l+2)=—/(l)n/(3)=—3,

又/(x+4)=f[(x+2)+2]=—/(》+2)=∕?(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以/(2023)=/(505×4+3)=/(3)=-3.

故答案為：-3.

5.(2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末(文))已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

F(X)滿足/(x+2)=一且當(dāng)Xe(1,3)時(shí),/(X)=IogX,則/(2020)+/(2022)的值為

f(x)2

【答案】1

【分析】由已知條件可得/(O)=O,函數(shù)的周期為4,再結(jié)合所給的解析式可求得答案

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/O)是定義在R上.的奇函數(shù)，

所以/(0)=0,

因?yàn)樾?2)=-總

1

所以/(x+4)=-

Tu+2)

所以f(x+4)=∕(x),

所以73的周期為4,

因?yàn)楫?dāng)Xe(1,3)時(shí)，/(x)≈Iog2Λ,

所以/(2020)+/(2022)

=/(4×505)+/(4×505+2)

=/(0)+/(2)

=0+Iog22=1,

故答案為：1

題型二：函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性綜合運(yùn)用

【例1】(2022?安徽蚌埠?一模)已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足"1—x)+f(l+X)=0,

若J(O)=3,則f(2022)+f(2023)=()

A.OB.-3C.3D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，由此可得

/(2022)=/(2)=-/(0)=-3,/(2023)-/(3)=-/(1),用賦值法求出/⑴的值，由此計(jì)

算即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)"x)滿足“l(fā)-x)+∕(l+x)=0,則〃τ)+*2+x)=0,

又由f(x)為偶函數(shù)，則有"x+2)=-"x),

則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

/(l-x)+∕(l+x)=0,令X=O可得/⑴=0.

/(2022)=/(2)=-/(0)=-3,/(2023)=/(3)=-/(1)=。，

所以/(2022)+∕(2023)=-3

故選：B

【例2】(2022?黑龍江?牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)是R上的奇函

數(shù)，且滿足"x+l)=∕(X-1),當(dāng)Xe(O』，/(x)=lnx,則下列關(guān)于函數(shù)"x)敘述正確的

是()

①函數(shù)F(X)的最小正周期為2

②函數(shù)f(x)在(0,2021)內(nèi)單調(diào)遞增

③函數(shù)f(x)相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2

④函數(shù)y=∕(x)+lnx在區(qū)間(0,2021)內(nèi)有IOll個(gè)零點(diǎn)

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)已知關(guān)系式通過賦值確定函數(shù)/(x)的周期，由此判斷①；由周期性、奇偶性和

函數(shù)在(0,l]H的解析式可得,f(x)圖象，通過圖象判斷②③；將y="x)+lnx零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

轉(zhuǎn)化為f(χ)與y=Tnx交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合判斷④，由此確定正確命題的個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-/(X),/(0)=0,

當(dāng)x∈(0,l]./(x)=lnx,

所以X∈[-1,0),/(x)=-ln(-x),

所以函數(shù)J(X)在[T,0)和(0,1]上都單調(diào)遞增,

由/(x+l)=∕(x-l)耳又χ=r+l可得/(f+2)=∕(f),

所以函數(shù)〃X)為周期函數(shù)，周期為2,

由以上條件可得F(X)大致圖象如下圖所示:

由圖象可得“X)最小正周期為2,①正確；

函數(shù)f(x)在(0,2021)內(nèi)不單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤；

/(x)的對(duì)稱中心為(左,。)僅wZ),則相鄰的對(duì)稱中心之間距離為1,③錯(cuò)誤；

y=∕(x)+lnx在區(qū)間(0,2021)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于/(x)與y=-lnx在(0,2021)內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出F(X)與y=-lnx大致圖象如下圖所示：

由圖象可知：f(x)與"-∣nx在區(qū)間(0,2)時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,在每個(gè)(2Z,2Z+2乂∕eN?)內(nèi)

都有1個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)小于2A+1,故兩個(gè)函數(shù)在(0,2021)內(nèi)有1011個(gè)交點(diǎn)，GP

y=∕(x)+lnx在區(qū)間(0,2021)內(nèi)有1011個(gè)零點(diǎn)，④正確.

故選：B.

【例3】(2022.湖北.高三開學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)/(χ)滿足/(x+1)=；/(x),且當(dāng)

2

x∈[0,l)時(shí)，/(x)=l-∣2x-l∣.若對(duì)DXWl>,+oo),都有f(x)≤—,則加的取值范圍是()

81

-ιo[「11)

A.旨+引B.旨+刃

^13)Γ14、

C.—,+∞D(zhuǎn).—+∞

【答案】B

【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進(jìn)行求解.

2x,0≤x<g?

【詳解】因?yàn)楫?dāng)XelO,1)時(shí),/(x)=1-|2x-l∣,所以/(X)=

2-2%,—≤Λ<1

2

故選：B.

【例4】(2022?福建?福州三中高二期末)設(shè)函數(shù)/B的定義域?yàn)镽,/G+D為偶函數(shù),

/(x+2)為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[l,2],/(x)=αr2+?,若/(0)+/(3)=6,則/(?)=()

9?75

A.B.C.D.

4222

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像變換以及奇偶性，可得函數(shù)的所有對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，進(jìn)而可得函

數(shù)的周期，以及所過的點(diǎn)，求得部分解析式，可得答案.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖像變換，由∕α+D為偶函數(shù)，∕ɑ+2)為奇函數(shù)，

直線χ=ι,(2,0)分別為函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心,

即函數(shù)〃外的對(duì)稱軸的方程為x=2"-l("∈Z)與對(duì)稱中心坐標(biāo)為(2多θ)("∈z),

易知"0)=0,函數(shù)/(x)的周期7=4,

由F(O)+/(3)=6,pl∣J/(3)=6,即"l)=-6,且/(2)=0,

?a+b=—6,?a=2八/、

可得方程：力八八，解得八,即當(dāng)"∈[1,2],/X=2x-8,

[4a+b=0[?=-8o'/

G卜《1+4卜圖=2、圖：-8="?

故選：C.

【例5】(2022?全國?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)/&)的定義域?yàn)镽,且滿足：

f(-x+2)=-f(x+2),又f(x+D為偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=ax2+2x+b,則

/(1)+/(3)+/(5)+/⑺的值為()

A.4B.-4C.0D.2

【答案】C

【分析】由F(T+2)=-F(X+2),可得F(I)+f(3)=0,再根據(jù)條件得到周期后即可求解.

【詳解】由A-X+2)=-f{x+2),可知函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱，即有∕ω=-∕(4-x);

由/(x+l)為偶函數(shù),可知函數(shù)/S)關(guān)于X=I對(duì)稱,即有/(χ)=∕(2-χ).

于是有/(2-x)=-∕(4-x),從而可得/(X)=/(4+x),因此可得函數(shù)/U)的周期為4.

所以/(5)=∕(1),/(7)=/(3).

再由f(-x+2)=?√(x+2),令χ=l,?/(1)=-/(3),BP∕(1)+/(3)=0.

所以/。)+/0)+/(5)+/⑺=/(D+/(3)+/(1)+/(3)=2(/(1)+/(3)]=0.

故選：C

【例6】(2022?河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意的

XGR,有"x+2)=2—"力，且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=l+l0g2(x+l),則“2023)=()

A.OB.IC.2D.3

【答案】A

【分析】由題意可得函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以/(2023)=f⑶，令x=3有

/(3)=2—/(1)=0,即可求出答案.

【詳解】/(x+2)=2-∕(x),用x+2代換X,有"x+4)=∕(x)恒成立，

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以“2023)="4X505+3)="3).

令x=3有/⑶=2-/⑴=(),所以“2023)=/(3)=().

故選：A

【例7】(2022?河南?鄭州四中高三階段練習(xí)(文))己知/(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足

/(x)=∕(x-4),/(x+2)=∕(2-x),當(dāng)0≤χ42時(shí)，/(x)=x2-x,則下列說法錯(cuò)誤的是

()

A.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)B.函數(shù)〃x)的最小正周期為4

C.當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為D.方程"x)=bg3∣x∣有IO個(gè)根

【答案】C

【分析】利用偶函數(shù)的定義判斷A；利用函數(shù)周期的定義判斷B：根據(jù)對(duì)稱性以及二次函數(shù)

的性質(zhì)可判斷C；利用數(shù)形結(jié)合的判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，

由"x+2)=f(2-x),則"x)=∕(4r),

又F(X)=J。-4),

所以/(4-X)=/(x-4),即/[-(x-4)]=/(Λ-4),

所以/(-x)=∕(x),所以函數(shù)"x)是偶函數(shù)，故A正確；

由/(x)=∕(x-4),根據(jù)周期的定義可知函數(shù)的最小正周期為4,故B正確；

當(dāng)0≤X≤2時(shí)，/(χ)=χ2-χ=(χ-g),

函數(shù)的最小值為==,

由/(x+2)=∕(2-x),所以x=2為對(duì)稱軸，

所以當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為故C不正確；

作出x>0時(shí)y=∕(x)與y=l0g3X的圖像，由圖像可知x>0時(shí)，函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，

又y=∕(χ)與y=bg3∣H為偶函數(shù)，

由對(duì)稱性可知方程F(X)=IOg3W有10個(gè)根，故D正確.

故選：C.

【例8】若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(%+〉)+/。一丁)=/(》)/(〉),/(1)=1,則

22

￡/W=()

λ=l

A.-3B.-2C.OD.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的

/(1),∕(2),,/(6)的值，即可解出.

【詳解】因?yàn)?(%+丁)+/(%—丁)=/(》)/(丁)，令*=1,丁=0可得，2/(1)=/(1)/(0),

所以“0)=2,令X=O可得，"y)+"-y)=2∕(y),即/(>)=〃—>)，所以函數(shù)/(χ)

為偶函數(shù)，令y=l得，/(x+l)+"x-l)=∕(x)∕(l)=√(x),即有

/(x+2)+∕(x)=∕(x+l),從而可知/(%+2)=_/(%-1),f(x-l)=-/(X—4),

故/(x+2)=∕(x-4),即/(x)=∕(x+6),所以函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)?2)=∕(I)T(O)=I-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=∕(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的“l(fā))+"2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/(%)=〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=1-1—2-1=一3.

k=?

故選：A.

【題型專練】

1.(2022?陜西?長安一中高一期末)已知函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為奇函數(shù)，

“2x+l)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的周期是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得〃r+2)=?√(x+2),由偶函數(shù)性質(zhì)可得/(—2x+l)=∕(2x+l),

化簡整理可得/(x+2)=-/(》)，即可求出周期.

【詳解】因?yàn)?(x+2)為奇函數(shù)，所以f(r+2)=-F(X+2),

因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(-2x+l)=∕(2x+l),則/(-x+l)=∕(x+l),

則/[-(x+l)+l]=?f(x+2),BP∕(-x)=∕(x+2),

所以/(r+2)=-∕(r),即“x+2)=-∕(x),則/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),

所以“x)的周期是4.

故選：C.

2.(2022?湖南?長沙一中高三開學(xué)考試)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x-l)為偶函

數(shù)，且當(dāng)0<x≤l時(shí)，/(x)=log22x,則/⑵)=()

A.-1B.0C.Iog23D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的性質(zhì)化簡可得/(同是以4為周期的函數(shù)，即可求出.

【詳解】因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故可得"x)=-"τ),

乂/(X-1)為偶函數(shù)，故可得/(X-1)=∕(-X-1)=-∕(X+1),

則/(x)=—“X+2)=-[—/(X+4)]=/(x+4),故/(x)以4為周期，

故/(21)=∕(l)=bg22=L

故選：D.

3.(2023?江蘇?南京市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知定義域是R的函數(shù)/(x)滿足：VxeR,

/(4+x)+∕(-x)=0,f(l+x)為偶函數(shù)，"1)=1,則f(2023)=()

A.1B.-1C.2D.-3

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)具有周期性，根據(jù)周期可將“2023)="3)=?√⑴=T

【詳解】因?yàn)椤?+”為偶函數(shù)，所以"x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以"2r)=∕(x),

又由/(4+x)+∕(-x)=0,得/(4+x)=-y(-x),所以/(8+x)=-/(-4-X)=~√(6+x),

所以“x+2)=T(x),所以/(x+4)="x),故f(x)的周期為4,所以

/(2O23)="3)=-"1)=T.

故選:B.

4.(2022.廣西梧州.高二期末(理))已知"x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R,有

/(l+x)=-∕(l-x),當(dāng)XwO,1]時(shí)?，/(X)=X2+AT-2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.〃x)是以4為周期的周期函數(shù)

B./(2021)+/(2022)=-2

C.函數(shù)y=∕(x)T0g2(x+l)有3個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)x∈[3,4]時(shí),/(X)=Λ2-9X+18

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和奇偶性，可得/(x)的周期，即可判斷A的正誤，根據(jù)〃X)解

析式及周期，代入數(shù)據(jù)，可判斷B的正誤；分別作出y=l0g2(χ+i)和y=∕(χ)的圖像，即

可判斷C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D的正誤，即可得答案.

【詳解】因?yàn)椤╨+χ)=-∕(I-X),且/(χ)為偶函數(shù),

所以〃x+4)=〃l+x+3)=-/0-(x+3))=-“-2-x)=-4-(2+x))

=-∕(2+χ)=-∕(l+l+χ)=∕(l-(l+χ))=∕(-χ)=∕(χ).

故f(x)的周期為4,故A正確.

由〃力的周期為4,則42021)="1)=0,/(2022)=/(2)=-/(0)=2,

所以/(2021)+/(2022)=2,故B錯(cuò)誤；

令y=∕(χ)-iog2(x+i)=。，可得/(χ)=bg2(χ+1),

作函數(shù)y=log?(χ+1)和y=F(χ)的圖像如下圖所示，

由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；

當(dāng)xe[3,4]時(shí)，4-x∈[0,l],則“x)=∕Qx)=∕(4-x)=(4—幻2+(4_力_2=/_%+18,

故D正確.

故選：B.

5.(2022?吉林?長春十一高高二期末)己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意的x∈R,

有F(X)+f(-x)=2,y=f(-x+l)為偶函數(shù)，且當(dāng)xw[0,l]時(shí),/(x)=l+log2(x+l),則

/(2023)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】先判斷出函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性宜接求解.

【詳解】因?yàn)閥=/(—x+l)為偶函數(shù)，所以/(-x+l)=∕(x+l),用x-1代換X,可得：

/(x)"(r+2)①

對(duì)任意的x∈R,有f(x)+/(T)=2,把①代入有：/(-x+2)+∕(-x)=2,即

“x+2)+∕(x)=2②

在②式中，用一代換X,有"x)+∕(x-2)=2③.

②③對(duì)照可得：/(x+2)=∕(x-2),用χ+2代換X,有/(x)=∕(x+4)恒成立，

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以/(2023)=/(4×505+3)=/(3).

在③中，令x=3有/(3)+∕(3-2)=2,所以/(3)=_/(1)+2=_(1+1)+2=0,

所以42023)="3)=0.

故選：A

6.(2022?山西長治?高二期末)若定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足"2-x)=∕(x),在區(qū)間

(0,1)上，有(X-Λ2)[∕(XJ-∕(Λ2)]>0,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱

C.在區(qū)間(2,3)上,f(x)為減函數(shù)

D??O>∕∣1)

【答案】C

【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)可得“4-x)+∕(x)=0,結(jié)合對(duì)稱中心結(jié)論

“"LX)+∕(X+/)=2?,則/(x)關(guān)于1歲可成中心對(duì)稱理解判斷；對(duì)于B：根據(jù)對(duì)稱

軸的結(jié)論：/(m-x)=∕(x+w),則〃力關(guān)于X=誓成軸對(duì)稱，結(jié)合題意理解判斷；對(duì)

于C：根據(jù)題意可得：f(x)在(OJ)內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合軸對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相反理

解判斷；對(duì)于D：整理可得f(x+4)=∕(x),則/(x)的周期為4,結(jié)合單調(diào)性整理分析.

【詳解】/(4-x)=∕[2-(x-2)]=∕(x-2)=-∕(2-x)=-∕(%),即“4—x)+∕(x)=0,

故/(x)關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱，A不正確；

V∕(2-x)=∕(x),則/(x)關(guān)于x=l成軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

根據(jù)題意可得：/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增

.."(可關(guān)于x=l成軸對(duì)稱，(2,0)中心對(duì)稱,則J(X)在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞減:C正確；

又???f(x)=∕(2-x)=—f(x-2),則/(x+2)=—/(x)

.??/(x+4)=—4x+2)=∕(x),可知/(x)的周期為4

則()心卜嗚"錯(cuò)誤

故選：C.

7.(2022.廣東湛江.高二期末)已知函數(shù)/(力為R上的奇函數(shù)，g(x)=∕(x+l)為偶函數(shù),

則下列說法錯(cuò)誤的是()

A./(x)的圖象關(guān)于直線X=-I對(duì)稱

B.5(2023)=O

C.g(x)的最小正周期為4

D.對(duì)任意的x∈R都有"2-x)=∕(x)

【答案】C

【分析】由奇偶性知“X)的對(duì)稱中心為(0,0)、對(duì)稱軸為X=1,進(jìn)而推得F(4+χ)=f(χ),

即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由/(x)的對(duì)稱中心為(0,0),對(duì)稱軸為X=1,

則f(x)也關(guān)于直線x=—1對(duì)稱旦/(x)=∕(2τ),A、D正確，

由A分析知：/(jf)=∕(2-^)=-∕(-χ),故/(2+x)=—/(x),

所以/(4+幻=—八2+X)=f(X),

所以/(x)的周期為4,貝∣Jg(2023)=/(2024)=/(0)=0,B正確：

但不能說明"x)最小正周期為4,C錯(cuò)誤；

故選：C

8.(2022?海南?嘉積中學(xué)高二期末)F(X)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(X-A=/(x)f(y)，

9θ22

/(1)=1,則Ef(X)=()

k=i

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】C

【分析】令y=i,M∣J∕(χ+l)=∕ω-∕(χ-l),由此可推出f(χ+6)=-∕(χ+3)=∕(x),則/(X)

的周期為6,然后利用賦值法求出/(2)J(3)"(4),∕(5)J(6)的值，可求出一個(gè)周期上的6

2022

個(gè)函數(shù)值的和，從而可求出Z-(X)

i=l

【詳解】令y=i,則/(χ+D+F(D"(χ),Kp/(χ+D=/(%)-/(%-1),

所以/(x+2)=f(x+l)-∕(x),f(x+3)=/(x+2)-/(x+1),

所以/(x+3)=-/(X),

所以/(x+6)=-/(x+3)=f(x),

所以/(x)的周期為6,

令x=l,y=0,則/(I)+/⑴=f(l)xf(O),得/(0)=2,

因?yàn)?(X+1)=F(X-I),

所以J(2)=/(l)_J(O)=I-2=7,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-2+I=-I,

/(5)=/(4)-/(3)=-1+2=1,

/(6)=/(5)-/(4)=1+1=2,

所以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

2022

所