2021年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）

上海市第三女子中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題

（含解析）

一、填空題（共12小題）.

1.若或=或，則片

2.半徑為1的球的表面積是.

3.在（X4）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.

x

4.有6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有種.（用數(shù)值表示）

5.面積為4的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體的側(cè)面積為.

6.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的大小

7.有四個(gè)運(yùn)動(dòng)員，報(bào)名參加三個(gè)比賽項(xiàng)目，若每人限報(bào)一項(xiàng)，且每項(xiàng)至少一人報(bào)名，共有

不同的報(bào)名方法.

8.已知一個(gè)長方體的長、寬、高的比為1：2：3,它的對角線長是2/五，則這個(gè)長方體的

體積為.

9.設(shè)某同學(xué)選擇等級考科目時(shí)，選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,

且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，則該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是

10.已知空間中兩條不同的直線以〃和平面a,給出三個(gè)論斷：①而丄〃；②〃〃a；③卬丄

a.請以其中兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題：若,

則.（填寫相應(yīng)序號）

11.在半徑為3的球面上有AB、C三點(diǎn)，N=90°,BA=BC,球心。到平面四。的距

離是返，則氏。兩點(diǎn)的球面距離是

2------

12.在正方體力版-45G"的所有棱中，若任取其中兩條，則它們所在的直線是異面直線

的概率為____________________

二、選擇題

13.已知a、B是兩個(gè)不同平面，勿為a內(nèi)的一條直線，則“卬〃B”是“a〃6”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

14.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)44是正四

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正四棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面矩形的一邊，

則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

15.下列四個(gè)命題中真命題是（）

A.空間中垂直于同一直線的兩條直線互相平行

B.經(jīng)過空間中的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

C.過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)

D.過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條

16.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

三、解答題

17.從某中學(xué)200名新生中隨機(jī)抽取10名進(jìn)行身高測量，得到的數(shù)據(jù)為：168、159、166、

163、170、161、167、155、162、169（單位：cm）,試估計(jì)該中學(xué)200名新生身高的平

均值和中位數(shù)，并求身高大于165cw的概率估計(jì)值.

18.已知二項(xiàng)式（*-2）"的展開式為a+a田魚07a/,其中a”a?滿足a?

=-3ai.

（1）求77；

（2）求a+ai+a2+…+a”的值.

19.如圖，在一個(gè)圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱（圓柱下底面在圓錐的底面上，圓柱上底面的圓在

圓錐的側(cè)面上），圓錐的母線長為4,AB、中是底面的兩條直徑，且/8=4,ABLCD,圓

柱與圓錐的公共點(diǎn)廠恰好為其所在母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是底面的圓心.

（1）求圓柱與圓錐的體積的比值；

（2）求異面直線。?,和0C所成角的大小.

20.從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字，用這四個(gè)數(shù)字組

成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合胴

（1）求集合材中不含有數(shù)字0的元素的個(gè)數(shù)；

（2）求集合〃中含有數(shù)字0的元素的個(gè)數(shù)；

（3）從集合"中隨機(jī)選擇一個(gè)元素，求這個(gè)元素能被5整除的概率.

21.如圖，在多面體四C-484中，44、BB、、總均垂直于平面相C,A4,=4,CG=3,做

=AB=AC=BC=2.

（1）求點(diǎn)/到平面4氏G的距離；

（2）求平面4%與平面48c所成銳二面角的大?。?/p>

（3）求這個(gè)多面體/a1-48G的體積.

參考答案

一、填空題

1.若《=或，則n=10

解：若C：=C：，則〃=6+4=10.

故答案為：10.

2.半徑為1的球的表面積是4n.

解：由題意，半徑為1的球的表面積是4n72=4”.

故答案為4n.

3.在（x4）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是20.

X

解:由Tr+i=C[?x&r,（丄）r=C：?x&2r.

L?1uX。

由6-2r=0,得r=3.

.??常數(shù)項(xiàng)是鳳=20.

故答案為：20.

4.有6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有240種.（用數(shù)值表示）

解：因?yàn)榧?、乙兩人相鄰，所以先將甲、乙兩人進(jìn)行捆綁，方法共有A2種，

再將甲、乙兩人看成整體進(jìn)行排序共有A?種排法，所以共有A2A"240種，

故答案為：240.

5.面積為4的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體的側(cè)面積為8”.

解：面積為4的正方形邊長為2,

正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面半徑為2,母線長為2的圓柱,

所以該圓柱的側(cè)面積為SM=2nrl=2nX2X2=8Jt.

故答案為：8n.

6.如圖，圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的大小為

60°.

解：設(shè)圓錐的母線長為此底面半徑為八

貝lj：JiR=2nr,

*.R=2r,

母線與底面所成角的余弦值

R2

二母線與底面所成角是60°.

故答案為：60°.

7.有四個(gè)運(yùn)動(dòng)員，報(bào)名參加三個(gè)比賽項(xiàng)目，若每人限報(bào)一項(xiàng),且每項(xiàng)至少一人報(bào)名，共有36

不同的報(bào)名方法.

解：四個(gè)運(yùn)動(dòng)員分為3組共有C：種情況，將分好的3組分到三個(gè)比賽項(xiàng)目，共有種情

況，

有四個(gè)運(yùn)動(dòng)員，報(bào)名參加三個(gè)比賽項(xiàng)目，若每人限報(bào)一項(xiàng)，且每項(xiàng)至少一人報(bào)名，共有

C澗=3明1情況.

故答案為：36.

8.已知一個(gè)長方體的長、寬、高的比為1：2：3,它的對角線長是2舊，則這個(gè)長方體的

體積為48.

解：設(shè)長方體的長寬高分別為m,2m,3勿(/?>0),

由題意可得：m2+(2in)2+(3ro)2=(2V14)2):.爲(wèi)=4,/?=2,

長方體的體積：l/=niX2m'X3m—&ni=48.

故答案為：48.

9.設(shè)某同學(xué)選擇等級考科目時(shí)，選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,

且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，則該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是0獨(dú)

解：設(shè)某同學(xué)選擇等級考科目時(shí)，

選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,

且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，

.??該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是：

0=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.

故答案為：0.8.

10.已知空間中兩條不同的直線以〃和平面a,給出三個(gè)論斷：①必丄〃；②〃〃a；③/丄

a.請以其中兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題：若②③，則

①.(填寫相應(yīng)序號)

解：由ml.n,n//a,得m//a或"匸a或勿與a相交，相交也不一定垂直，故由①②

不能得到③；

由次丄〃，卬丄a,得〃〃a或〃ua,故由①③不能得到②；

由加丄a,得勿必垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線，又〃〃a,所以加丄"，故由②③可

得①.

故答案為：②③，①.

11.在半徑為3的球面上有/、B、C三點(diǎn)，N/J紀(jì)=90°,BA=BC,球心。到平面/寬的距

離是盟0,則反。兩點(diǎn)的球面距離是n.

2

解：根據(jù)題意，ZABC=90°,/C是小圓的直徑.

所以過球心。作小圓的垂線，垂足0'是4C的中點(diǎn)，

〃。=卄一(￥7=警AC=3近,

TT

貝UBC=OB=OC=3,則4B0C=一，

3

JT

故6、C兩點(diǎn)的球面距離丿=下-義3=n；

故答案為：

12.在正方體力鹼的所有棱中，若任取其中兩條，則它們所在的直線是異面直線

的概率為

解：正方體有12條棱，從中取兩條的方法數(shù)式C%，

其中異面直線的方法數(shù)：12X4+2=24,

12X4+2QA/

所以所在的直線是異面直線的概率為：—?2-=罷=之，

C126611

故答案為：

二、選擇題

13.已知a、B是兩個(gè)不同平面，m為a內(nèi)的一條直線，貝「卬〃B”是“a〃B”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

解：①若加〃B,/"為a內(nèi)的一條直線，則a〃B或a與B相交，.?.充分性不成立，

②若a〃B,如為a內(nèi)的一條直線，根據(jù)面面平行得性質(zhì)可得小〃8,...必要性成立，

:.mHB是a〃B的必要不充分條件，

故選：8.

14.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)44是正四

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正四棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面矩形的一邊，

則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是（）

解：由題意可知，以44為底面矩形的一邊，

則矩形可以為矩形44A8,矩形444。，

故陽馬可以為：&-A4BBC\-AADD,4-44山員D、-AA、0D,

C-C~AA\D\D,D~AA\B\B,D~AA\D\Di

所以陽馬的個(gè)數(shù)是8個(gè).

故選：B.

15.下列四個(gè)命題中真命題是（）

A.空間中垂直于同一直線的兩條直線互相平行

B.經(jīng)過空間中的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

C.過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有且只有一個(gè)

D.過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條

解：空間中垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故/錯(cuò)誤：

經(jīng)過空間中不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故6錯(cuò)誤；

過球的一個(gè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，故。錯(cuò)誤；

過空間任一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線，則所作的兩條直線確定一個(gè)平面，

過該點(diǎn)與所確定的平面垂直的直線有且只有一條，

故過空間任一點(diǎn)與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條，故，正確.

故選：D.

16.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

解：第一類：三局為止，共有2種情形；

第二類：四局為止，共有2XC§=6種情形；

第三類：五局為止，共有2XC：=12種情形；

故所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20種情形

故選：C.

三、解答題

17.從某中學(xué)200名新生中隨機(jī)抽取10名進(jìn)行身高測量，得到的數(shù)據(jù)為：168、159、166、

163、170、161、167、155、162、169（單位：cm）,試估計(jì)該中學(xué)200名新生身高的平

均值和中位數(shù)，并求身高大于165例的概率估計(jì)值.

解：將數(shù)據(jù)從小到大排序得155,159,161,162,163,166,167,168,169,170.

故其平均值為155+159+161+162+163+166+167+168+169+17（_164

''10

其中位數(shù)為16*166=164.5,

2

身高大于165例的概率估計(jì)值為3=三

102

18.已知力￡N,,刀23,二項(xiàng)式（x-2）"的展開式為為+8田及*+…+4/,其中囪，及滿足及

=~3句.

（1）求77；

（2）求a+團(tuán)+&+“+為的值.

解：（1）,.?〃￡“，〃23,二項(xiàng)式（x-2）"的展開式為選+4l+及*+，“+&/其中當(dāng),a2

滿足桀=-3句，

ACjj-2,（-2）""=-3C『?（-2）”7,解得〃=13.

（2）令x=L可得的+團(tuán)+選+…+a〃=（1-2）13=-1.

19.如圖，在一個(gè)圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱（圓柱下底面在圓錐的底面上，圓柱上底面的圓在

圓錐的側(cè)面上），圓錐的母線長為4,AB、徵是底面的兩條直徑，且4?=4,ABLCD,圓

柱與圓錐的公共點(diǎn)廠恰好為其所在母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是底面的圓心.

（1）求圓柱與圓錐的體積的比值；

（2）求異面直線行,和星所成角的大小.

解：（1）連接戶"則P0=JpA?-A02=也6-4=2a，

.?.圓錐的體積為：-7TX22X2V3=8^K;

33

?./是必的中點(diǎn)，且4?=4,

圓柱的底面直徑為2,

.。.圓柱的側(cè)棱長為遅，

27r：

.,.圓柱的體積為：71XIXA/3=V3

則圓柱與圓錐的體積的比值為8%兀=4；

8

(2)由題可知，OC,0B,伊三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x,y,z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則：

0(0,0,0),力(0,-2,0),戶(0,0,2巾，F(xiàn)0-1,?),C(2,0,0),

則而=(0,-1,V3)>PC=(2,0,-2^3)

?

所以cos<QF,黃>=9Pg亠二R

lOFl-lPCl2X44

20.從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字，用這四個(gè)數(shù)字組

成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合收

(1)求集合材中不含有數(shù)字0的元素的個(gè)數(shù);

(2)求集合"中含有數(shù)字0的元素的個(gè)數(shù);

(3)從集合."中隨機(jī)選擇一個(gè)元素，求這個(gè)元素能被5整除的概率.

【解答】(1)從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字為C%從2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字為C*

組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?C3A$864;

（2）從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字為C%必選0,所以從2、4、6、8中任取1個(gè)數(shù)字

為C：，0不排首位，先給0選個(gè)位置C；，剩余數(shù)字全排為A,；故含有數(shù)字0的元素的

個(gè)數(shù)為C，C卜或嗝=432；

（3）能被5整除分情況討論：

①選5不選0：C卜粛煙=108,

②選0不選5：C；?C：?Ag=72,

③0,5都選:C卜C：(AW；?A1)=120,

所以能被5整除得方法數(shù)：108+72+120=300,

25

所以能被5整除的概率

864+432108

21.如圖，在多面體四C-45G中，44、BB\、陽均垂直于平面四C,44=4,陽=3,能

=AB=AC=BC=2.

（1）求點(diǎn)力到平面48c的距離；

（2）求平面與平面48K所成銳二面角的大小;

（3）求這個(gè)多面體46C-46G的體積.

解：（1）以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，