人教版高中數(shù)學必修二檢測1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1

第一章1.3A級基礎鞏固一、選擇題1．若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的eq\x(導學號09024157)(C)A．eq\r(2)倍 B．3倍C．2倍 D．5倍[解析]設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則由題意知，l＝2r，于是S側(cè)＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故選C．2．(2018·全國卷Ⅲ理，3)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是eq\x(導學號09025201)(A)[解析]觀察圖形可知，俯視圖為，故答案為A．3．(2018·大連海灣高級中學高一檢測)圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為eq\x(導學號09025146)(A)A．eq\f(3,4)π B．eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)π D．eq\f(4,3)[解析]球的半徑為1，圓柱的高的一半為eq\f(1,2)，設圓柱底面半徑為R，∴R2＋(eq\f(1,2))2＝12，∴R2＝eq\f(3,4)，故圓球的體積為πR2·h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3,4)π．4．(2018·本溪一中高一期末)已知某幾何體的三視圖如圖所示，主視圖和左視圖是腰長為a的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為a的正方形，則該幾何體的體積為eq\x(導學號09025147)(A)A．eq\f(1,6)a3 B．eq\f(1,3)a3C．eq\f(1,2)a3 D．eq\f(2,3)a3[解析]由三視圖可得幾何體為三棱錐，底面為等腰直角三角形，底面面積為eq\f(1,2)a2，三棱錐的高也為a，故三棱錐體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,6)a3．5．(2018·大連海灣高級中學高一檢測)如圖，點M，N分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點，用過點A，M，N和點D，N，C1的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖依次為eq\x(導學號09025148)(B)A．①③④ B．②③④C．①②③ D．②④③[解析]由三視圖性質(zhì)可得B．6．(2018·浙江卷，3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是eq\x(導學號09025202)(C)A．2 B．4C．6 D．8[解析]根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1,2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.選C．二、填空題7．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該幾何體的表面積為__24＋2eq\r(3)__.eq\x(導學號09024163)[解析]該幾何體是三棱柱，且兩個底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是全等的矩形，且矩形的長是4，寬是2，所以該幾何體的表面積為2×(eq\f(1,2)×2×eq\r(3))＋3×(4×2)＝24＋2eq\r(3)．8．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1、S2，體積分別為V1、V2，若它們的的側(cè)面積相等且S1∶S2＝9∶4，則V1∶V2＝__3∶2__.eq\x(導學號09024164)[解析]設甲圓柱底面半徑r1，高h1，乙圓柱底面半徑r2，高h2，eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，又側(cè)面積相等得2πr1h1＝2πr2h2，∴eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3).因此eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2)．三、解答題9．如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，求挖洞后幾何體的表面積是多少？(π取3.14)eq\x(導學號09024165)[解析]正方體的表面積為4×4×6＝96(cm2)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1≈6.28(cm2)則挖洞后幾何體的表面積約為96＋6.28＝102.28(cm2)．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2017·浙江，3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是eq\x(導學號09024166)(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3[解析]由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是eq\r(2)的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1．故選A．2．(2018·永春一中高一期末)已知某個幾何體的三視圖如圖(主視圖中的弧線是半圓)，根據(jù)圖中標出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是eq\x(導學號09025149)(B)A．8＋eq\f(2π,3)cm3 B．8＋πcm3C．12＋eq\f(2π,3)cm3 D．12＋πcm3[解析]由三視圖可知幾何體上半部分是半圓柱，下半部分是正方體，故此幾何體體積為V＝eq\f(π×12,2)×2＋2×2×2＝8＋π(cm3)．3．(2018·全國卷Ⅰ理，7)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如下圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\x(導學號09025203)(B)A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2[解析]根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B．4．(2017·全國卷Ⅰ理，7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為eq\x(導學號09024169)(B)A．10 B．12C．14 D．16[解析]觀察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個面中有2個梯形，且這兩個梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這些梯形的面積之和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝12．故選B．二、填空題5．已知圓柱OO′的母線l＝4cm，全面積為42πcm2，則圓柱OO′的底面半徑r＝__3__cm.eq\x(導學號09024170)[解析]圓柱OO′的側(cè)面積為2πrl＝8πr(cm2)，兩底面積為2×πr2＝2πr2(cm2)∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)∴圓柱的底面半徑為3cm．6．已知斜三棱柱的三視圖如圖所示，該斜三棱柱的體積為__2__.eq\x(導學號09024171)[解析]由三視圖可知，斜三棱柱的底面三角形的底邊長為2，高為1，斜三棱柱的高為2，故斜三棱柱的體積為V＝eq\f(1,2)×2×1×2＝2．C級能力拔高1．如圖在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為eq\r(3)的圓柱，求圓柱的表面積.eq\x(導學號09024172)[解析]設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S．則R＝OC＝2，AC＝4AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)．如圖所示易知△AEB∽△AOC∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝2eq\r(3)π．∴S＝S底＋S側(cè)＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π．2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，截下一個棱錐C-A1DD1，求棱錐C-A1DD1的體積與剩余部分的體積之比.eq\x(導學號09024173)[解析]設矩形ADD1A1的面積為S，