新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修4習(xí)題第二章平面向量檢測(cè)

第二章檢測(cè)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列等式成立的是()A.B.a·0=0C.(a·b)c=a(b·c) D.|a+b|≤|a|+|b|答案:D2.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),A.PA+PB=C.PB+PC=解析:由BC+BA=2BP,可得P答案:B3.已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量ab的夾角為A.a=b B.|a|=|b|C.a⊥b D.a∥b解析:因?yàn)橄蛄縜+b與向量ab的夾角為所以(a+b)⊥(ab),即(a+b)·(ab)=0,所以|a|2|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(2,2),若A.5 B.5C.3 D.3解析:由已知,得∴∴AF∴答案:C5.設(shè)O,A,M,B為平面上四點(diǎn),OM=λOB+(1-λA.點(diǎn)M在線段AB上 B.點(diǎn)B在線段AM上C.點(diǎn)A在線段BM上 D.O,A,M,B四點(diǎn)共線解析:由題意可知即∴A,M,B三點(diǎn)共線.又λ∈(1,2),∴|AM|>|AB|,答案:B6.已知△ABC滿足AB2=AB·ACA.等邊三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形解析:AB故△ABC為直角三角形.答案:C7.已知C為△ABC的一個(gè)內(nèi)角,向量m=(2cosC1,2),n=(cosC,cosC+1).若m⊥n,則角C=()A.C.解析:由m⊥n,得(2cosC1)·cosC2(cosC+1)=0,即2cos2C3cosC2=0,解得cosC=-12或cosC=2(不符合題意,舍去).∵C∈(0,π),答案:C8.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()①②若a·b<0,則a與b的夾角是鈍角;③向量e1=(2,3),e2=④若a∥b,則a在b方向上的投影為|a|.A.1 B.2 C.3 D.4解析:AB+當(dāng)|a|=|b|=1且a與b反向時(shí),a·b=1<0,但a與b的夾角為180°,②不正確;因?yàn)閑1=4e2,所以e1∥e2,所以向量e1,e2不能作為基底,③不正確;若a∥b,則a與b的夾角為0°或180°,所以a在b方向上的投影為|a|·cosθ=±|a|,④不正確.故選A.答案:A9.已知O是△ABC外接圓的圓心.若3OA+5OB+7OC=A.解析:由O是△ABC外接圓的圓心,設(shè)|OA|=|OB|=|OC|=R,由3OA+5OB+7OC=0,可得答案:A10.已知k∈Z,AB=(k,1),ACA.解析:由|AB|≤10及k∈Z,知k若AB則2k+4=0,解得k=2;若CB則k(k2)3=0,解得k=1或3;若AC則AC·CB=0,(2,4)·(k2,3)=2即k=8,不符合題意,所以△ABC是直角三角形的概率是答案:C11.若非零向量a,b滿足|a|=223|b|,且(ab)⊥(3a+2b),則a與bA.解析:由(ab)⊥(3a+2b)知(ab)·(3a+2b)=0,即3|a|2a·b2|b|2=0.設(shè)a與b的夾角為θ,所以3|a|2|a||b|cosθ2|b|2=0,即3·223|b|2-223|b|2cosθ2|b答案:A12.如圖,四邊形ABCD是正方形,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使得DE=CD.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A,其中A.滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B.滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C.λ+μ的最大值為3D.λ+μ的最小值不存在解析:由題意可知,λ≥0,μ≥0,當(dāng)λ=μ=0時(shí),λ+μ的最小值為0,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,故D錯(cuò)誤;當(dāng)λ=1,μ=1時(shí),點(diǎn)P也可以在點(diǎn)D處,故A錯(cuò)誤;當(dāng)λ=1,μ=0,λ+μ=1時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)B處,當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的中點(diǎn)時(shí),λ=μ=12,亦有λ+μ=1.答案:C二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.設(shè)向量a=(x,3),b=(2,1).若對(duì)任意的正數(shù)m,n,向量ma+nb始終具有固定的方向,則x=.

解析:當(dāng)a與b共線時(shí),向量ma+nb始終具有固定的方向,所以x=6.答案:614.直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且與向量a=(2,3)垂直,則直線l的方程為.

解析:設(shè)直線l上的一點(diǎn)為A(x,y),則OA為直線l由題意,知OA·a=0,所以2x+3y=故直線l的方程為2x+3y=0.答案:2x+3y=015.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足解析:如圖,MN===∴x=答案:116.關(guān)于平面向量有下列四個(gè)命題:①若a·b=a·c,則b=c;②已知a=(k,3),b=(2,6),若a∥b,則k=1;③若非零向量a和b滿足|a|=|b|=|ab|,則a與a+b的夾角為30°;④解析:①中,a·b=a·c?a·(bc)=0,當(dāng)a=0時(shí)也成立,①不正確;②中,若a∥b,則k-2=36?k=1,②正確;③中,由已知可得a,b的夾角為60°,a與a+b的夾角為30°,答案:②③④三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)如圖,在?ABCD中,E,F分別是BC,DC的中點(diǎn),G為DE與BF的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,試以a解連接AE,AF,BD.DE=a+BF=b+因?yàn)镚是△CBD的重心,所以CG=218.(12分)設(shè)解設(shè)存在點(diǎn)M,且OM=λOC則∴(26λ)(36λ)+(53λ)(13λ)=0.∴45λ248λ+11=0,解得λ=∴∴存在點(diǎn)M(2,1)或19.(12分)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),點(diǎn)P滿足AP=AB+λ(1)當(dāng)λ為何值時(shí),點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖像上?(2)設(shè)點(diǎn)P在第三象限,求λ的取值范圍.解由已知,知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)依次是(2,3),(5,4),(7,10).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),則AB即由得(x12,y13)=(3+5λ,1+7λ).由此可得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5+5λ,4+7λ).(1)令5+5λ=4+7λ,可得λ=所以,當(dāng)λ=12時(shí),點(diǎn)P在正比例函數(shù)(2)因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限,所以解得λ<1,所以λ的取值范圍是(∞,1).20.(12分)如圖,在矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=(1)若AC=xe1+ye2,求x,y(2)求解(1)∵|AB|=4,|BC|=∴AC=AB+BC=4∴x=4,y=3.(2)BD=AD-AB=設(shè)AC與∵|AC|=|BD|=32+42=5,|e∴cosθ=21.(12分)在△ABC中,設(shè)(1)求證:△ABC為等腰三角形;(2)若|(1)證明因?yàn)樗杂諥B+BC所以(所以即AB=BC,故△ABC為等腰三角形.(2)解因?yàn)锽∈π所以cosB∈-12,1即a2+a2+2a2cosB=4,所以a2=所以BA·又cosB∈-所以22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿足(1)求證:A,B,C三點(diǎn)共線;(2)求(3)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),x∈0(1)證明∵∴即又AC,AB有公共點(diǎn)A,∴A,B,C三點(diǎn)共線.(2)解由(1)得∴∴∴(3)解AB=(1+cosx,cosx)(1,cosx∵x∈0∴cosx∈[0,1].∴|AB|=|cos∵∴∴3OC=2OB+OA=2(1+cosx,cosx)+(1,cosx∴∴f(x)==1+23cosx+cos=(cos