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文檔簡介
教學(xué)設(shè)計課題名稱5.3.2第1課時函數(shù)的極值課時計劃:課時第課時授課日期:教學(xué)目標(biāo)1.了解函數(shù)極值的概念,會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件.重點難點掌握函數(shù)極值的判定與求法;根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)問題。教學(xué)方法教師講授、師生互動、學(xué)生主導(dǎo)科組模式板書設(shè)計作業(yè)布置課后反思教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(可附帶學(xué)生活動)【導(dǎo)入新課】問題1同學(xué)們,上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的單調(diào)性,知道了導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖象的變化趨勢,古詩云“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”,我們函數(shù)圖像也是有各種高低變化,有高峰也有低谷,問題來了,同學(xué)們,高峰一定是最高點嗎?低谷也一定是最低點嗎?提示高峰不一定是最高點,低谷也不一定是最低點。它們是那個局域的高點和低點,也就是所謂的“極值”,這就是我們這節(jié)課需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容(設(shè)計意圖:回顧上節(jié)課知識內(nèi)容,同時引導(dǎo)學(xué)生們進一步學(xué)習(xí)函數(shù)圖像變化特征,引出本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容,吸引同學(xué)們注意力和探究學(xué)習(xí)興趣)【講授新課】一、函數(shù)極值的概念問題2同學(xué)們,觀察下面圖像,如圖是某處群山的截面圖,請問有誰能指出山峰、山谷呢?提示在x1,x3,x5處是山峰,在x2,x4處是山谷.問題3我們知道了山峰和山谷后,那誰能描述一下在各個山峰、山谷附近的特點嗎?提示我們以山峰x=x1處為例,在x=x1處,它附近的函數(shù)值都比它小,且在x=x1處的左側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞增的,即f′(x)>0,在x=x1處的右側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞減的,即f′(x)<0,函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的,f′(x)的變化也是連續(xù)不斷的,并且有f′(x1)=0.(設(shè)計意圖:通過設(shè)置問題,讓同學(xué)們對函數(shù)的圖像特征有個直觀認識,對山峰和山谷有個直觀印象和理解。)知識梳理極值點與極值的概念(1)極小值點與極小值函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點處的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,則把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點與極大值函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點處的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,則把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.注意點:(1)極值點不是點;(2)極值是函數(shù)的局部性質(zhì);(3)函數(shù)的極值不唯一;(4)極大值與極小值兩者的大小不確定;(5)極值點出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,端點不能是極值點;(6)若f′(x0)=0,則x0不一定是極值點,即f′(x0)=0是f(x)在x=x0處取到極值的必要不充分條件,函數(shù)y=f′(x)的變號零點,才是函數(shù)的極值點.例1如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷:①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時,函數(shù)有極小值;③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)時,函數(shù)有極大值.則上述判斷中正確的是()A.①② B.②③ C.③④ D.③【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在圖像中的正負,判斷函數(shù)的單調(diào)性,并判斷是否存在極值.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖像,可知在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)小于0,此時函數(shù)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)大于0,此時函數(shù)單調(diào)遞增,所以①錯誤.當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,所以在時,函數(shù)有極大值,所以②錯誤.當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,所以③正確.當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,所以不是函數(shù)的極值,所以④錯誤.綜上,只有③正確,故選:D(設(shè)計意圖:通過本例,同學(xué)們可以對函數(shù)變化趨勢有了深刻認識和理解,知道函數(shù)單調(diào)性與極值間的關(guān)系。)方法總結(jié)解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的,對于導(dǎo)函數(shù)的圖象,重點考查在哪個區(qū)間上為正,哪個區(qū)間上為負,在哪個點處與x軸相交,在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的,若是由正值變?yōu)樨撝?,則在該點處取得極大值;若是由負值變?yōu)檎担瑒t在該點處取得極小值.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)的定義域為,導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)極大值點的個數(shù)與極小值點的個數(shù)之和為.
【答案】【分析】設(shè)導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的四個零點為,,,,且滿足,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點.【詳解】設(shè)導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的四個零點為,,,,且滿足,從而根據(jù)圖象得到,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.于是是函數(shù)的極大值點,而是函數(shù)的極小值點,因此函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)極大值點的個數(shù)與極小值點的個數(shù)之和為.故答案為:二、求函數(shù)的極值例2求下列函數(shù)的極值.(1);(2).【答案】(1)極小值為-22,極大值為10(2)極大值為,無極小值【分析】確定函數(shù)定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)數(shù)的正負情況,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為R,且.令,得.當(dāng)x變化時,與的變化情況如下表:x-13+0-0+增10減-22增由表可知,是函數(shù)的極大值點,極大值為;是函數(shù)的極小值點,極小值為.(2)函數(shù)的定義域為,且,令,即,得,當(dāng)x變化時,,y的變化情況如下表:xe+0-y增減由表可知,當(dāng)時,函數(shù)的極大值是,無極小值.(設(shè)計意圖:通過本例,讓學(xué)生對函數(shù)極值的求解有個直觀認識和理解,同時規(guī)范解題過程。)方法總結(jié)函數(shù)極值和極值點的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符號,來判斷f(x)在這個根處取極值的情況.跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的極值.(1);(2).【答案】(1)極小值為-2,無極大值(2)極小值為-6,無極大值【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)數(shù)的正負情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求得答案.【詳解】(1)由題意得,,令,解得.因為當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以函數(shù)在處有極小值,且,無極大值.(2),,令,解得.所以當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:x01-0+0+極小值無極值所以當(dāng)時,函數(shù)取得極小值,且,無極大值.三、由極值求參數(shù)的值或范圍例3已知函數(shù)在時取得極大值4,則.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,待定系數(shù)計算并驗證即可.【詳解】由題意可知,因為函數(shù)在時取得極大值4,所以,解之得,檢驗,此時,令或,令,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即滿足題意,故.故答案為:(2)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為:和,單調(diào)遞減區(qū)間為:(2)或【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并化簡為,,再討論的取值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)極值點的個數(shù),從而求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,定義域為
令,得或,
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為:和,單調(diào)遞減區(qū)間為:(2)①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故只有一個極小值點,與條件矛盾,故舍去.
②當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故有兩個極值點a和,與條件相符.
③當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故有兩個極值點a和,與條件相符.
④當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,無極值點,舍去.
⑤當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故只有一個極大值點,與條件矛盾,故舍去.
綜上可得:或(設(shè)計意圖:通過本例,讓同學(xué)們能夠根據(jù)極值點和極值求參數(shù),提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力。)方法總結(jié)已知函數(shù)的極值求參數(shù)的方法(1)對于已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,解題的切入點是極值存在的條件:極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,極值點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.注意:求出參數(shù)后,一定要驗證是否滿足題目的條件.(2)對于函數(shù)無極值的問題,往往轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,即轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,此時需注意不等式中的等號是否成立.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù),.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)見解析(2).【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo),然后求和的解,即可求出的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)根據(jù)(1)中結(jié)論即可求解.【詳解】(1)由題意可得,,當(dāng)時,或;當(dāng)時,;所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
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