2022-2023學(xué)年北京市順義區(qū)仁和中學(xué)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

仁和中學(xué)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，符合題意的只有7個.

1.已知3a=4伏。"。0）,則下列各式正確的是（）

a4a3aha4

A.-=—B.—=—C.—=—D.—=—

b3b4343b

2.2022年北京打造了一屆綠色環(huán)保的冬奧會.張家口賽區(qū)按照“滲、滯、蓄、凈、用、排”的原則，在古楊樹場

館群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度減少水資源浪費.將250000用科學(xué)記

數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.25x10sB.2.5xlO5C.2.5xlO4D.25xl04

3.已知點C是線段A3的黃金分割點，且AC>BC,AC=1.則A8的長為（）

A—1+石B.]+"C.2+百D.0.618

222

4.二次函數(shù)y=/—6x—1二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.1,-6,—1B.1,6,1C.0,—6，1D.0,6,—1

5.如圖，AD//BE//CF,直線4、4與這三條直線分別交于點A、B、。和。、E、F,若A8=6,BC=3,

DF=12,則?！甑拈L為（）

A.4B.6C.8D.9

6.二次函數(shù)>=--+5的圖像向上平移4個單位，再向右平移3個單位后的解析式（）

Ay=-（x-31+9B.y=-（x+3）2+9

C.y=-（x-3）2+4D.y=-（x+3『+l

7.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為（）

A.y=x?+2x-3B.y=x^-2x—3C.y——+2x一3D.y——x2—2.x+3

8.拋物線丁=以2+反+。的頂點為4（2,租），且經(jīng)過點8（5,0）,其部分圖象如圖所示.對于此拋物線有如下四個

結(jié)論：①ac<0；②。一人+c>0；③加+9a=0；④若此拋物線經(jīng)過點C（r,〃），則f+4一定是方程

G?+Z?X+C=〃的一個根.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.③④D.@@

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.分解因式：2，-2/=.

10.寫出一個開口向上，且對稱軸在丁軸左側(cè)的拋物線的表達(dá)式：.

11.將二次函數(shù)y=Y-2》+3寫成y=a（x-h）2+k的形式為.

12.如圖，在ABC中，A8=AC,點。在AC上（不與點A,C重合），只需添加一個條件即可證明ABC和

工5DC相似，這個條件可以是（寫出一個即可）.

D

BC

13.如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部5m的地面上，然后她沿著樹根

和鏡子所在的直線后退，當(dāng)她后退1m時，正好在鏡中看見樹的頂端.小英估計自己的眼睛到地面的距離為

14.點A(-1,yi),B(4,”)是二次函數(shù)尸(x-1)2圖象上的兩個點，則刀”(填“>”，或

“=”)

15.函數(shù)y=dt2+0x+c(04xW3)圖象如圖所示，則該函數(shù)的最小值是.

16.如圖，將等邊△A8C折疊，使得點C落在48邊上的點。處，折痕為EF,點E,尸分別在AC和8C邊上.若

AC=8,4力=2,則周長為,—的值為

三、解答題(本題共68分)

x-3(x-2)>-4

17.解不等式組：\2尤+1

x-l<-----

I3

18.已知二次函數(shù)y=/+4x+3.

（1）求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

（2）畫出此函數(shù)的圖象.

19.已知：如圖，ZkABCs/xACD,CD平分/ACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的長.

20.二次函數(shù)y=ax2+/zx+c（a。。）的圖象經(jīng)過（3,0）點，當(dāng)x=l時;函數(shù)的最小值為-4,求該二次函數(shù)的解析

式.

21.如圖所示，在4x4的正方形方格中，ABC和_/無廠的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

（2）判斷—ABC與1）及'是否相似？并證明你的結(jié)論.

22.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示:

X-3-2-101

y0-3-4-30

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象:

（3）當(dāng)-4VxVl時，直接寫出y的取值范圍.

23.如圖，在矩形ABC。中，E為8C的中點，DFLAE,垂足為F,A3=6，BC=4,求AE,。尸的長.

24.如圖，一塊草地是長80m、寬60m矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時草坪面積為

ym2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

25.拋物線的頂點。的坐標(biāo)為(1,T),且過點(2,-3),與x軸交于A,8兩點，與>軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求四邊形ABDC的面積.

26.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接。3，尸是邊BC上一點，連接。尸并延長，交AB的延長線于E，且

ZEDB^ZA.

c

(1)求證：&BDFs公BCD：

(2)如果8。=3E，BC=9,求M的值.

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在拋物線y=mx2+2以及兩點A(-3,m)和

(1)求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)若該拋物線經(jīng)過點A(-3.m),求此拋物線的表達(dá)式；

(3)若該拋物線與線段AB只有一個公共點，結(jié)合圖象，求m的取值范圍.

28.已知拋物線、=*一4依+2(arO)過A(-B(2,n),C(3,p)三點.

力

6?

5-

4-

3-

2-

1-

111I11.

-6-5-4-3-2-10123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(1)求拋物線與y軸的交點；

(2)求〃？，〃，P的值(用含有。的代數(shù)式表示);

(3)若mnp<0,求。的取值范圍.

仁和中學(xué)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個選項，符合題意的只有7個.

1.已知3a=4伏。"。0）,則下列各式正確的是（）

a4a3aba4

A.—=—B.—=—C.—=—D.

b3b4343b

【答案】A

【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)即可得到;的值，再進(jìn)行選擇即可.

b

【詳解】3。=4?,等式兩邊同時除以3從

得：

b4

故選：A.

【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解答本題關(guān)鍵.

2.2022年北京打造了一屆綠色環(huán)保的冬奧會.張家口賽區(qū)按照“滲、滯、蓄、凈、用、排”的原則，在古楊樹場

館群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度減少水資源浪費.將250000用科學(xué)記

數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.25x10sB.2.5xlO5C.2.5xlO4D.25xl04

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“義10"的形式，其中"為整數(shù).確定"的值時，要看把原數(shù)變成“

時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值

<1時，”是負(fù)數(shù).

【詳解】解：250000=2.5xlO5.

故選B

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中1W|a|<10,〃為整數(shù)，

表示時關(guān)鍵要正確確定〃的值以及〃的值.

3.已知點。是線段AB的黃金分割點，且AC>8C,AC=1,則AB的長為（）

A.一1+石B.C.2+君D.0.618

222

【答案】B

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，知AC為較長線段，則AC=）AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AB的值.

【詳解】解：C是線段A3的黃金分割點，且AC>BC,AC為較長線段，

AC=,

AC=l,

AR1+V5

2

故選：B.

【點睛】本題考查了黃金分割，用到的知識點是把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段

的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（與3叫做黃金比.

4.二次函數(shù)y=/-6x-l的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.1,—69—1B.1,6,1C.0,—6,1D.0,6,—1

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如丁=0?+法+或。、b、C是常數(shù)，4=0）的函數(shù)，叫做二次函

數(shù).其中X、》是變量，a、b、。是常量，。是二次項系數(shù)，8是一次項系數(shù)，。是常數(shù)項作答.

【詳解】解：二次函數(shù)y=d-6x-l,

，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1,-6.-1.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏

掉符號.

5.如圖，AD//BE//CF,直線4、右與這三條直線分別交于點A、B、。和。、E、F,若AB=6,BC=3,

DF=12,則OE的長為（）

【答案】C

AQnp

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出-=二二，再求出DE的長度即可.

【詳解】解：AD//BE//CF,

.ABDE

,,一,

ACDF

AB=6，BC=3,DF=T2,

6DE

----=——,

6+312

解得：DE=8,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵.

6.二次函數(shù)y=-/+5的圖像向上平移4個單位，再向右平移3個單位后的解析式()

A.y=—(x-3)'+9B.y=—(x+3)2+9

C.y=-(x-3)'+4D.y=-(x+3)-+l

【答案】A

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：二次函數(shù)y=-爐+5圖像向上平移4個單位，再向右平移3個單位后所得圖像的解析式為：

y=+5+4,即y=-(x-3)2+9.

故選：A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與幾何變換.正確掌握平移規(guī)律即：右移減、左移加、上移加、下移減是解題的

關(guān)鍵.

7.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為()

B.y-x2-2x-3C.y=—x2+2x-3D.y=-x2-2x+3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖像的對稱軸及與X軸的一個交點，則可以知道函數(shù)與X軸的另一個交點，再根據(jù)待

定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可.

【詳解】根據(jù)題意，二次函數(shù)對稱軸為x=l,與X軸的一個交點為(—1,0),

則函數(shù)與x軸另一個交點為(3,0),

故設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ar2+bx+c,

函數(shù)另外兩點坐標(biāo)(—1,0)，(1,-4)

0=9a+3h+c

可得方程組，0=a-b+c,

-4=a+b+c

a=\

解得方程組得

c=-3

所以二次函數(shù)表達(dá)式為-2x-3.

故答案為B.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法和二次函數(shù)的對稱軸的問題，同時考查學(xué)生解方程組的知

識，是比較常見的題目.

8.拋物線y=+灰+，的頂點為A(2,〃Z),且經(jīng)過點3(5,0),其部分圖象如圖所示.對于此拋物線有如下四個

結(jié)論：①ac<0；@a-h+c>Q；③加+9。=0；④若此拋物線經(jīng)過點C(r,“)，則/+4一定是方程

ox?+Zzx+c=〃的一個根.其中所有正確結(jié)論的序號是()

C.③④D.@@

【答案】B

【分析】利由拋物線的開口方向和位置可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)

為(-1,0),代入解析式則可對②進(jìn)行判斷；由拋物線的頂點坐標(biāo)以及對稱軸可對③進(jìn)行判斷；拋物線的對稱性得

出點C(r,〃)的對稱點是C(4一,則可對④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：???拋物線開口向下,

??,拋物線與y軸交于正半軸，

：.c>0,

ac<09故①正確；

???拋物線,=公2+必+0的頂點為4（2,加），且經(jīng)過點3（5,0）,

二拋物線y=+Zu+c與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（-1,0）,

：.a-b+c=0,故②錯誤；

:拋物線的對稱軸為直線42,

b

**?----=2,即：b=-4a，

2a

,**CL—b^rC-0?

*.c-b-a--5a,

??,頂點A（2,m）,

,4QC_b~4<3,（_5a）一（_4w）~

??------=m,即Hn：_____\____L___\m，

4a4a

.\m=-9a,即：m+9a=0y故③正確；

V若此拋物線經(jīng)過點C（r,n）,拋物線的對稱軸為直線42,

...此拋物線經(jīng)過點C（4—r,〃），

a（4—/）'+Z?（4—r）+c="，

4一/一定是方程℃2+/yX+c-n的一、個根，故④錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)），=取2+-+。（對0）,二次項系數(shù)。決定拋物線的

開口方向和大?。寒?dāng)。>0時，拋物線向上開口；當(dāng)。<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)a共同

決定對稱軸的位置：當(dāng)〃與人同號時（即加>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與匕異號時（即"V0）,對稱軸在y軸

右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.分解因式：2/-2/=.

【答案】2（x+y）（x-y）

【分析】先提取公因式2,再根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次分解即可求得答案.

【詳解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）.

故答案為2（x+y）（x-y）.

【點睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹

底.

io.寫出一個開口向上，且對稱軸在y軸左側(cè)的拋物線的表達(dá)式：.

【答案】y=/+2x（答案不唯一）

【分析】由開口向上可知。＞0,由對稱軸在y軸右側(cè)可知6同號，據(jù)此寫出拋物線的解析式即可.

【詳解】解：寫出一個開口向上，并且對稱軸在y軸左側(cè)的拋物線的解析式，例如：y=f+2x,

故答案為：y=Y+2x（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)歹=52+區(qū)+C（QH（））中，。＞0時，拋物線

開口向上，a＜0時，拋物線開口向下是解題的關(guān)鍵.

11.將二次函數(shù)y=/-2》+3寫成y=a（x-h）2+k的形式為.

【答案】y=(x-l)2+2

【分析】根據(jù)題意利用配方法加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可.

【詳解】解：y=f—2x+3=（x—1『+2.

故答案為：y=(x-l)2+2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的一般式化為頂點式，解題的關(guān)鍵是掌握配方法.

12.如圖，在ABC中，AB=AC,點。在AC上（不與點A,C重合），只需添加一個條件即可證明，ABC和

qBDC相似，這個條件可以是（寫出一個即可）.

【答案】ZA=ZCBDZABC=ZBDCsg——=——或?OC（答案不唯一）

BCDC

【分析】相似三角形的判定定理：①兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；②兩角對應(yīng)相等的兩個三角

形相似.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：???/C=NC

添加NA=NCBD或NABC=NBDC或—=—或BG=AC?DC.

BCDC

故答案為：或NA8C=NBOC或"=型或BG=AC?￡>C(答案不唯一).

BCDC

【點睛】此題考查了補充條件使兩個三角形相似.解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理，特別注意用對應(yīng)邊

成比例和一個角相等判定三角形相似的時候，其中相等的角一定要是這兩條邊的夾角.

13.如圖，為了測量操場上-一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離樹根部5m的地面上，然后她沿著樹根

和鏡子所在的直線后退，當(dāng)她后退1m時，正好在鏡中看見樹的頂端.小英估計自己的眼睛到地面的距離為

1.6m,則大樹的高度是m.

【答案】8

【分析】入射角等于反射角，兩個直角相等，那么圖中的兩個三角形相似，利用對應(yīng)邊成比例可求得樹高.

【詳解】如圖：

VZABC=ZDBE,ZACB=ZDEB=90°,

.".△ABC^ADBE,

/.BC：BE=AC：DE,

即1：5=1.6：DE,

/.DE=8m,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方

程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

14.點A(-1,yi),B(4,?)是二次函數(shù)y=(x-1)2圖象上的兩個點，貝ij?_____y2(填“>”，或

“=”)

【答案】(<當(dāng)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=（》一1）2的對稱軸為x=l,則x=—l時的函數(shù)值,和x=3的函數(shù)值相等，進(jìn)而根據(jù)

拋物線開口朝上，在對稱軸的右側(cè)》隨x的增大而增大即可判斷乂，必

【詳解】解：.?二次函數(shù)y=（x-1）2的對稱軸為x=l,

戶一1時的函數(shù)值％和x=3的函數(shù)值相等，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大

.?3<4

???M<%

故答案為：7<必

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握y=a（x-AY圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.函數(shù)丁=依2+法+?。4》<3）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的最小值是

【答案】-1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)圖象可知：二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（1,-1）,

:拋物線的開口向上，

該函數(shù)的最小值是：-1.

故答案是：-1.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，理解二次函數(shù)圖象的開口方向和函數(shù)的最值，是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，將等邊AABC折疊，使得點C落在A8邊上的點。處，折痕為EF,點E,尸分別在AC和BC邊上.若

CE

AC=8,AD=2,則△AEQ周長為,J的值為

CF

【答案】10

7

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：，DF+CF+CD=W,DF+BF+BD=BC+BD=14,再證明

AAED^/XBDF,由相似三角形周長的比等于相似比，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：△ABC是等邊三角形，

：.BC=AB=AC=S,NABC=ZACB=NBAC=60。，

'.'AD=2,

：.BD=6,

由折疊的性質(zhì)可知：CE=DE,CF=DF,NE￡>F=NC=60。，

：.AE+DE+AD=AC+AD=10,即△?!￡：￡>周長為10,

故答案為：10;

，DF+BF+BD=BC+BD=14,

NEDF=/BAC=ZABC=60°,

ZFDB+ZEDA=ZAED+ZEDA=i20°,

：.NFDB=ZAED,

VZB=ZA=60°,

/XAED^/XBDF,

.AEADED

"~BD~~BF~~DF

.AE+AQ+EQEDCE

?,BD+BF+DF~~DF~~CF

.CE105

"CF-14-7,

故答案為：—.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟

練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共68分）

x-3（x-2）>-4

17.解不等式組：\2x+\

無一1<-------

3

【答案】尤<4

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定

不等式組的解集.

【詳解】解不等式x-3(x-2)NT,得：

2尤+1

解不等式X—1<-----,得：x<4,

3

則不等式組的解集為x<4.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18.已知二次函數(shù)y=X2+4x+3.

(1)求此函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)畫出此函數(shù)的圖象.

【答案】(1)對稱軸為直線％=-2,頂點(一2,-1)；

(2)見解析

【分析】(1)將解析式化為頂點式即可；

(2)令y=0,即％2+4犬+3=0,求出兩個根即可得出與x軸的交點坐標(biāo)，再結(jié)合頂點坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象.

【小問1詳解】

解：y=x2+4x+3=(x+2)2-1,

???對稱軸為直線％=-2,頂點(一2,-1)；

【小問2詳解】

解：令y=0,

即d+4x+3=0，

解得：西=-1,工2=-3,

即與X軸的交點坐標(biāo)為(—1,0),(—3,0),

結(jié)合頂點(—2,-1),畫圖如圖:

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、畫二次函數(shù)圖象、求解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性

質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

19.已知：如圖，AABCs^ACD,CD平分NACB,AD=2,BD=3,求AC、DC的長.

【答案】AC=M；DC=3.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解.

【詳解】證明：如圖

△ASCs/MCQ,

,ADAC

??N1=NJB,-

ACAB

XVCD平分NACB,

.*.Z1=Z2,

；.N2=NB,

：.BD=DC.

"：BD=3,

：.DC=3；

又；4￡>=2,80=3,

；.AB=5

ADAC

由u——=——

ACAB

得AC2=AD.AB

即AC2=2x5=10

???Ac=Vio.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)即角平分線性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及角平分線

的定義.

20.二次函數(shù)y=+&r+c(awO)的圖象經(jīng)過(3,0)點，當(dāng)％=1時，函數(shù)的最小值為~4,求該二次函數(shù)的解析

式.

【答案】y=x2-2x-3

【分析】由已知可設(shè)二次函數(shù)的頂點式，再把點(3,0)的坐標(biāo)代入頂點式中即可求得。的值，從而求得解析式.

【詳解】解：???當(dāng)x=l時，函數(shù)的最小值為：-4.即拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-4)

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-l)2-4,

把(3,0)代入y=a(x—l)2_4得：a(3-l)2-4=0,

解得：a=l,

y=(x-l)2-4,

y=x2-2x-3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的的解析式，屬于基本題型，熟練掌握求解的方法是關(guān)鍵.

21.如圖所示，在4x4正方形方格中，和.。瓦'的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

(1)填空：ZABC=,BC=:

(2)判斷一ABC與一。比'是否相似？并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)135°；272

(2)_ABC^_DEF，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出NA5C的度數(shù)，利用勾股定理即可求出線段的長；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應(yīng)邊成比例即可證明-46。與_￡>所相似.

【小問1詳解】

解：ZABC=900+45°=135°,

BC=^22+22=272；

故答案135°；272；

【小問2詳解】

解："BC:ADEF”

證明：在4x4的正方形方格中，

ZABC=135°,/￡)石產(chǎn)=90°+45°=135°,

：.ZABC=ADEF.

AB=2，BC=2V2>EF=2，DE=&

;.噌=焉=夜，型=逑=日

DEV2FE2

.ABBC

''~DE~~EF

???AABC:AD￡F.

【點睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出

兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系.

22.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：

X-3-2-101

y0-3-4-30

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象;

(3)當(dāng)-4<x<l時，直接寫出y的取值范圍.

*

【答案】(1)y=x2+2x-3；(2)見解析；(3)4^y<5.

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了勾股定理.

【詳解】(1)由題意可得二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為(-1,-4),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x+1)2-4,

把點(0,-3)代入y=a(x+1)2-4,得a=l,

故拋物線解析式為y=(x+1)2-4,即y=/+2x-3；

(2)如圖所示：

.?.當(dāng)x=-4時，y=(-4+1)2-4=5,

當(dāng)x=l時，y=0,

又對稱軸為x=-1.

.?.當(dāng)-4<x<l時，y的取值范圍是4Sy<5.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給

定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

23.如圖，在矩形A8CD中，￡為BC的中點，OELAE，垂足為尸，AB=6,BC=4,求AE,。尸的長.

AD

L

81―看—1c

【答案】AE=26，DF=—.

5

ADDF

【分析】由勾股定理可求AE的長，通過證明AZMFSA4￡B,可得——=——，即可求解.

AEAB

【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，

.-.AD^BC^A,ZB=ZZMB=90°,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB，

E為BC的中點，

:.BE=CE=2,

：.AE=NAB?+BE。=。36+4=2加，

DFAE>

.?."融=々=90。，

/.A￡MF^AA￡B,

.ADDF

,,________一_____9

AEAB

4DF

"2屈~6，

,密述.

5

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，一塊草地是長8()m、寬60m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時草坪面積為

ym2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】y=x2-140x+4800(0<x<60).

【分析】可以把兩條互相垂直的小路平移到矩形兩邊上，這樣便于表達(dá)草坪的長(80-x)m,寬(60-x)m,列出函

數(shù)關(guān)系式.

【詳解】由題意得：

y=(80-x)(60-x),

=X2-140X+4800(0<x<60).

所以函數(shù)關(guān)系式為：

y=X?—140x+4800(0<x<60).

【點睛】考查二次函數(shù)的應(yīng)用，在列關(guān)系式時，將不規(guī)則的圖象轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵.

25.拋物線的頂點。的坐標(biāo)為(1,T),且過點(2,-3),與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求四邊形ABDC的面積.

【答案】(1)y=x~—2,x—3

(2)9

【分析】(1)根據(jù)拋物線的頂點。的坐標(biāo)為(LY),設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式：y=a(x-1>-4,將(2,-3)代入

y=a(x-l)2-4中求出。就可：

(2)利用-2%-3,求出的坐標(biāo)，再利用分割的思想，把求不規(guī)則的圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形

的面積.

【小問1詳解】

解：拋物線的頂點。的坐標(biāo)為0,Y),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式：y=a(x—l)2-4,

將(2,-3)代入y=a(x—l)2—4中,

-3=a(2-l)2-4,

解得：41=1>

y—(x_1)__4—f_2x_3；

【小問2詳解】

解：y=x2-2x-3=(x-3)(x+l)=(x-l)2-4,

.?.當(dāng)y=o時，X]=3,X,=-1,

當(dāng)x=（）時，y=-3,該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（1,-4）,

二點A的坐標(biāo)為（一1,0）點8的坐標(biāo)為（3,0）,點C的坐標(biāo)為（0,—3）,點。的坐標(biāo)為（1,-4）；

連接AC,CD,8200,如下圖所示,

點A的坐標(biāo)為（一1,0）,點3的坐標(biāo)為（3,0）,點C的坐標(biāo)為（0,-3）,點。的坐標(biāo)為（1,T）,

3x13x13x4

???四邊形ABDC的面積是：S.0c+S"+S&ol,H=^-+—+—=9.

【點睛】本題考查拋物線與*軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是明確題

意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

26.如圖，在平行四邊形A3CD中，連接Q8,尸是邊BC上一點，連接。尸并延長，交A3的延長線于E，且

ZEDB=ZA.

（1）求證：ABDFS^BCD；

（2）如果8。=36，BC=9,求防的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）5

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等可得NA=NC,又ZEDB=幺,等量代換可得NC=/ED8,再結(jié)合公

共角ZDBC=ZFBD,即可證明ABDF^ABCD；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列出比例式代入數(shù)值計算可得8b=5.

【小問1詳解】

證明：四邊形ABC。是平行四邊形，

ZA=NC,

ZEDB=ZA,

ZC^ZEDB,

又ZDBC=NFBD,

叢BDFs^BCD；

【小問2詳解】

解：4BDFs/\BCD，

BD_BF

BD=35BC=9,

BD2。灼2

BF=------=-----=5'

BC9

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在拋物線y=mx2+2以及兩點A（-3,m）和B（l,m）.

（1）求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）若該拋物線經(jīng)過點A（-3.m）,求此拋物線的表達(dá)式；

（3）若該拋物線與線段AB只有一個公共點，結(jié)合圖象，求m的取值范圍.

11

【答案】（1）（0,2）；（2）y--x9+2；（3）m=2或m4—.

44

【分析】（1）y=mx2+2是頂點式，可得到結(jié)論；

（2）把A點坐標(biāo)代入y=mx?+2得方程，于是得到結(jié)論；

（3）分兩種情況：當(dāng)拋物線開口向上或向下時;分別畫出圖形，找到臨界位置關(guān)系，求出m的值，再進(jìn)行分析變

化趨勢可得到結(jié)