2022-2023學(xué)年安徽省合肥市一中高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題及答案

合肥一中2022—2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級階段性診斷考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=l+3i,則z=（）

n15?

A.1+zB.;C.-+-ZD.-----F—z

53333

y*_i_2

2.已知集合4={犬|JpO},B={x|x(x-1)'0},則40|8=()

A.{x|0<x<l}B.{x|Oxs.l)C.{x|Ox<l}D.{x|0<^.1)

3.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，a4=10,3a2+。3=19,則。5=()

A.9B.11C.13D.15

(1

4.已知a=-8=3.1。,，c=log12,則Q,b,c的大小關(guān)系是(

120)

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.h>a>c

5.在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又

割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將

一個(gè)圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個(gè)等腰三角形（如圖所示）,當(dāng)〃越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓

的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到sin5。的近似值為（）

71

A.—B.—

7248

6.已知cos(a-^)=——,aG(0萬）.則下列結(jié)論正確的是（）

410

Acosasina-1

B.cosa—sina=——

55

3、兀、24

tana=——D.cos(2a----)——

4225

7.在平行四邊形4BCD中，AB=2,AD=1,=60".對角線4c與8。交于點(diǎn)O,E是線段0。的中

點(diǎn)，AE的延長線與CO交于點(diǎn)尸.設(shè)而=匕而=3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

f1T

A.EF=-AEB.AF=-a+b

33

-?->7

D.AF-AB=-

3

高三數(shù)學(xué)第1頁，共4頁

8.已知a>l,b>\,且但VH=1—Igb,則已gal0+log600的最小值為()

913

A.-B.9C.—D.13

22

9.設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,函數(shù)f(x+l)為偶函數(shù)，函數(shù)/(%+2)-1為奇函數(shù)，若/(0)+f(3)=8,則

f(2023)=()

A.11B.9C.7D.5

jrex,x<\

10.已知函數(shù)f(x)=d,若關(guān)于％的方程[/(%)]2-2a/(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取

方與

值范圍是()

11.已知函數(shù)/(x)=3sin(2x-(1-2cos+把函數(shù)f(x)的圖象向左平移看個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)

的圖象，若2、%是關(guān)于》的方程g(X)=a在1°，會內(nèi)的兩根，則cos(%i+上)的值為()

A3A/WRM「初n3廂

10101010

12.已知函數(shù)/(%)=x+alnx,g(x)=x"-[，若不等式/(x)之g(x)對任意xe(1,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)

e

a的最小值是()

A.-eB.-e2C.--D.」

ee'

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量4=(-6,1),b=(5,-2),且①+相萬)||(3&-萬)，則血=________.

14.記S,為等比數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和.若S4=4,58=6,則S16=.

15.已知幕函數(shù)/'(x)=(--3m-3)/m-5在g+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)=/+

VXiG[-1,2],3X2G[1,2],使得了(當(dāng))g(w)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.已知正三角形ABC的邊長為2,點(diǎn)￡>,E,F分別在線段AB,BC,C4上，且。為線段A8的中

點(diǎn).若。尸，則三角形DEF面積的最小值為.

高三數(shù)學(xué)第2頁，共4頁

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)，(x)=2cosx(gsinx+cosx).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和對稱中心坐標(biāo)；

(2)討論/⑶在區(qū)間［0,|］上的單調(diào)性.

18.(本小題滿分12分)

若S”是公差不為0的等差數(shù)列伍“｝的前鹿項(xiàng)和，且52,S&成等比數(shù)列，S2=4.

(1)求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)或=」—，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和7；.

44川

19.(本小題滿分12分)

且/3夕,3，、,0.0.八r八41

已矢口向量4=(cos—,sin—),bf=(cos—,-sm—),,

22223

(1)若求9的值；

(2)求上“的最大值和最小值.

\a+b\

高三數(shù)學(xué)第3頁，共4頁

20.(本小題滿分12分)

在AA8C中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,sin2A+sin2B=(sinC-sinAsinB)sinC.

(1)求角C；

(2)若?=■/而，邊A8上的中線C￡>=E,求邊a,b的長.

2

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=Zn(l+3x)-ax(a>0)

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

1

(2)證明：(1+1)(1+L)...(1+-7)<“(e為自然對數(shù)的底數(shù)，nwN*).

4164

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù),/(X)=3炭sinx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求f(x)圖象在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(2)記g(x)=f(x)-ac,0<a<9,試討論g(x)在(0,乃)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù)：e2?=4.8)

高三數(shù)學(xué)第4頁，共4頁

高三

數(shù)學(xué)參考答案

題號123456789101112

選項(xiàng)ACCDCBCACBCA

一、選擇題

9.:f(x+D為偶函數(shù),7(久+2)-1為奇函數(shù)，

.?./(X)既關(guān)于直線X=1對稱，又關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，且/(2)-1=0,

:.f(O)=f(2)=1,/(3)=2-/(1)=7,

/(x)=f(2-x)且/(x)+f(4-工)=2,

:./(2—x)+f(4—x)=2,:.T=4,

A/(2023)=/(3)=2x^-8-7.故選：C.

10.解關(guān)于X的方程[八刈2_2勾(丫)=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

<=>關(guān)于x的方程/(x)"(x)-24]=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

<=>關(guān)于X的方程〃x)-2a=0有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根，

<=>函數(shù)y=/(X)與y=2a有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)x。0，

4e2

結(jié)合圖象可得：-y<2a<—sSj2a>e,

e4

所以a的取值范圍是g,j)5；,+?>).

e82

11.函數(shù)/(%)=3sin(2x——cos(2x—^)=V10sin(2x——0),

其中，cos0=^,sin9=a，

把函數(shù)/(x)的圖象向左平移巳個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)=VI5sin(2x-。)的圖象，

6

%6[0?時(shí)，2%—0G[―O,TT-6]9所以(2/一。)+(2%2—。)=幾，所以％i+亞=。+多

所以cos(xx+%2)=一sin。=-嚕.

12.當(dāng)a=0時(shí)，x+2—1>0顯然成立，下面討論a<0時(shí)

ex

即％+±>-aZnx+xa,

ex

考察函數(shù)%(x)=x+2

/1'。)=1一已知/1(?在(0,+8)為增函數(shù).

alnx)——alnx+ealnx--alnx+elnxa=—alnx+xa.

即/i(X)之九(-Q"當(dāng)a<0,x>1,A—alnx>0,

等價(jià)于％>—alnx

試題

高三

vInx>0Aa>———.

Inx

考察9(町=一日，9'。)=一/品9(久)在區(qū)間(1，e)是增函數(shù)，在區(qū)間(e,+8)上是減函數(shù),

g(x)的最大值為g(e)；—=-e,CL之一e,??.Q的最小值為一e.

Ine

二、填空題：

..152373

I1f3.m=——114—15.a<-216.J--------

322

16.解：根據(jù)題意,設(shè)NBDE=6,0°?90°,

DEBDDFAD

在兇DE和A/DF中，由正弦定理知

sin60°sin(120°-6>)sin600-sin(300+6))

百百

化簡得DE=——2——，DF=——%——

sin(60°+。)sin(30°+9)

故SgEF=*DF=3

8sin(60o+19)sin(30°4-i9)

cos，+；sin0)(；cos0+gsin0)=；sin20+手，

因?yàn)閟in(60°+0)sin(3O°+0)=

33二3.也

所以Sgb

-4sin2?+2Vr〃4+2VJ2

故三角形DEF面積的最小值為3-邁

2

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【解答】解:(I)/(x)=2cosx(y/3sinx+cosx)=^3sin2x+2cos2x

=y/3sin2x+cos2x+l=2sin(2x+—)+1.

6

T=—=n,

2

由2、+蕓人得x=_]+殍，kb.

.?./(X)的對稱中心為+1),keZ；

(II)由---F2左陽，2xH—”—F2k兀tkwZ.

262

解得---Fk兀、,/—Fkjt,kGZ.

36

TTrr3rr

由—F2左陽.2xH—?-----F2k7T，keZ.

262

解得—+kjc、,x,—4-k7t,keZ.

63

試題

高三

取左=0,可得/（x）在區(qū)間［0,馬上的增區(qū)間為［0,-］,減區(qū)間為（生，-］.

2662

is.【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛《,｝公差為dm#。），

因?yàn)镋,邑，5,成等比數(shù)列，5,=4,

邑2=￡.邑

所以

52=4

q?(4q+6d)=(26+d)2

整理得:

2q+d=4

q=1

解得

d=2

故a“=2N-l(neN*).

(2”13)(2"1)l(2?-l2〃1+l

證明：（2）由（1）得：b?=)'

31113133

)]=-(l-------)=---------

2n-12n+122〃+l24〃+2

19.【解答】解：（1）v51（733-2^）

：?(扃-2^)=0,^a-a-2a-h=o

?.?|町=1,J.fe=cos-6>cos--sin—sin-=cos26?

2222

V3-2cos2<9=0,6>e[0,y]

⑵???武（3裂吟），嗎

30300-

a-b=cos—0cos---sin—sin—=cos2。，15=11=1

2222

:.\a+b\2=a2+b2+2a-b=2+2cos20=4cos20,

/.\a+h|=2cos0(0&[0,y]),

a-hcos2^2cos一1

\a+h\2cos6^2cos。

ab2t2-\="如51］），

☆f=cos。，/e[pl],y

\a+b\2t

加1+—>0,

試題

高三

、八_八ci,b2』—11l「

設(shè)￡=2cos6，則-----=------，，￡r,1］，

\a+b\ItIt2

令y—t——,則y，=1+22>0

?.y=在［；刀上遞增

f=，時(shí)，y=-—；f=l時(shí),1

22?二5

2的最大值為,，最小值為-1;

|a+6|22

20.【解答】解：(1)sin之4+sin?8=(sinC-冬8sin/sin8)sinCn/+/=c2一C,

33

即2ahcosC=-^^-ahsinC,即tanC=一百，

故C4;

(2)由余弦定理知/+加+H=19,

???NCDB+/CDA=TT

cosZ.CDB+cosZCDA=0,

(-)2+CD2-b2(-)2+CD2-a2

即/--------------------------=0.

2--CD2,JCD

22

/.a2+b2=\3,

解得〃=3,b=2或〃=2,b=3.

?—3/7Y4-31

21.【解答】(1)解：f(x)=---a=~—

l+3xl+3x

當(dāng)a=0時(shí)，f\x)>0/(x)在(-；,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=0

由f'（x）>0—<x<----->

3a3

再令/'（X）<0,得x>----,

a3

.?./（X）在（」，1-1）上單調(diào)遞增，在d-L+8）上單調(diào)遞減.

3a3a3

試題

高三

綜上所述：當(dāng)。=0時(shí)，，(x)在(-；，+00)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(-LI-1)上單調(diào)遞增，在(I-1，+oo)上單調(diào)遞減.

3a3a3

(2)證明：由(1)知，當(dāng)a=3時(shí)，“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+a))04,由/(x)</(0)=0,

:「"(1+3x)<3x，Zn(l+x)<x

「?》[(1+；)。+B…(1+

=//7(1+-)+//7(1++…+岳(1+不")

1(U1

11144”)1Z11、1

4424〃[1