2023年山東煙臺(tái)中考數(shù)學(xué)試題及答案

2023年山東煙臺(tái)中考數(shù)學(xué)試題及答案

一、選擇題

_2

1.§的倒數(shù)是（）

223

A.-B.一一C.-

332

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)解答.

【詳解】解:

二一；2的倒數(shù)是一3!,

32

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)的定義，掌握互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1,是解題的關(guān)鍵.

2.下列二次根式中，與正是同類二次根式的是（）

A."B.瓜C.瓜D.Vl2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A,74=2.與正不同類二次根式，不符合題意；

B、、后與夜不是同類二次根式，不符合題意；

C、78=272.與0是同類二次根式，符合題意；

D、712=273.與0不是同類二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根

式化為最簡一次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類一次根式：最簡二次根式的特征：

（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被升方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.下列四種圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可，中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)

圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中

心對(duì)稱圖形.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：是中心對(duì)稱圖形的只有B,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，解題的關(guān)鍵是中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把

一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫

做中心對(duì)稱圖形.

4.下列計(jì)算正確的是（）

224235

A.a+a=2aB.（2/）=6*C.a.a=aD.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、基的乘方、同底數(shù)幕的乘法、同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)排

查即可解答.

【詳解】解：A.a2+a2=2a2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.（2?2）,=8?6,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.。2.4=々5,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故該選項(xiàng)不正確，不符合題意.

故選：C.

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【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、制的乘方、同底數(shù)事的乘法、同底數(shù)事的除法等知識(shí),

掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

f3/?-2>1,

5.不等式組16°的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是（）

2-m>3

0I-10

【答案】A

【解析】

【分析】用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，

點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定

方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

【詳解】解:

2-〃z>3②

解不等式①得：加2/

解不等式②得：，“<一1

將不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握數(shù)軸上表示不等式組的解集的方

法是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，對(duì)正方體進(jìn)行兩次切割，得到如圖⑤所示的幾何體，則圖⑤幾何體的俯視圖為

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A

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖的定義，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：從該幾何體正上方看，棱AE的投影為點(diǎn)反棱A8的投影為

線段段:，棱AD的投影為線段EO,棱AC的投影為正方形8cOE的對(duì)角線，

.?.該幾何體的俯視圖為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了俯視圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握俯視圖的定義：從物體正上方看到

的圖形是俯視圖.

7.長時(shí)間觀看手機(jī)、電腦等電子產(chǎn)品對(duì)視力影響非常大.6月6日是“全國愛眼日”，為了

解學(xué)生的視力情況，某學(xué)校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)杳，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法正確的是（）

A.甲班視力值的平均數(shù)大于乙班視力值的平均數(shù)

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B.甲班視力值的中位數(shù)大于乙班視力值的中位數(shù)

C.甲班視力值的極差小于乙班視力值的極差

D.甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差的定義分別求解即可.

【詳解】甲班視力值分別為：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；

47+47

從小到大排列為：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位數(shù)為———-=4.7,

2

平均數(shù)為"(4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0)=4.7；極差為5.0-4.4=0.6

方差為0.3『+(0.1)2+(0.1)2+(0.3)[=0.025；

乙班視力值分別為：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；

47+47

從小到大排列為：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0,中位數(shù)為二——-=4.7

2

平均數(shù)為1(4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0)=4.7；極差為5.0—44=0.6

方差為篇=([(0.3『+(0.2)2+(o]y+(o]J+(0.2)2+(03『]=0.035；

甲、乙班視力值的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都相等，甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差,

故D選項(xiàng)正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，求平均數(shù)，中位數(shù)，極差，方差，熟練掌握平均數(shù)，中位

數(shù)，極差，方差的定義是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心為圓心，以正方形邊長的

一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個(gè)小球在該正方形內(nèi)自由滾動(dòng)，小球隨機(jī)地停在正方

形內(nèi)的某一點(diǎn)上.若小球停在陰影部分的概率為匕，停在空白部分的概率為鳥，則《與鳥

的大小關(guān)系為()

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B."AD.無法判

A.Pt<P2C.P[>P2

斷

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得陰影部分面積等于正方形面積的一半，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接AE,BD交『0,

由題意得，AB,C,。分別是正方形四條邊的中點(diǎn),

.??點(diǎn)。為正方形的中心,

S四邊形A。"=Spq邊形AO0C，

根據(jù)題意，可得扇形。4B的面積等于扇形C4O的面積,

S四邊形AOBF_S扇形.AS—S四邊杉A00c-S扇影4優(yōu)＞

???陰影部分面積等于空白部分面積，即陰影部分面枳等于正方形面積的一半

：.P,=P2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積，幾何概率，得出陰影部分面積等于正方形面

積的一半是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，拋物線y=ar2+/；x+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為［一g,〃“，與》軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0

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合和1之間，則以下結(jié)論：①"c>0：②力+c>0；③若圖象經(jīng)過點(diǎn)（一3,X）,（3,%），

則%>%：④若關(guān)于》的一元二次方程欠2+瓜+。一3=0無實(shí)數(shù)根，則/”<3.其中正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖象，分別得出a、b、c的符號(hào)，即可判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸得出再根

據(jù)圖象得出當(dāng)X=1時(shí)，y=a+h+c<Q,即可判斷②；分別計(jì)算兩點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，再

根據(jù)該拋物線開口向下，在拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，即可判斷③：將方程

以2+歷:+C—3=0移項(xiàng)可得以2+力為+°=3,根據(jù)該方程無實(shí)數(shù)根，得出拋物線

丁=以2+法+C與直線y=3沒有交點(diǎn)，即可判斷④.

【詳解】解：①?.?該拋物線開口向下，

a<0,

??,該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

：.b<0,

???該拋物線于y軸交于正半軸，

c>0,

abc>0,

故①正確，符合題意；

（1、

②4-彳，〃2，

?,?該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2=-』，則a=〃，

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當(dāng)X=1時(shí)，y=a+b+c,

把。=〃得：當(dāng)x=l時(shí)，y=2b+c,

由圖可知：當(dāng)x=l時(shí)，y<0,

2/?+c<().

故②不正確，不符合題意；

③;該拋物線的對(duì)稱軸為直線X=-，，

2

]s(1^7

.?.(一3/)到對(duì)稱軸的距離為一：一(一3)=，(3,%)到對(duì)稱軸的距離為3---=-,

22\2y2

?.?該拋物線開口向下，

在拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

57

22

X>%，

故③正確，符合題意；

④將方程or2+for+c-3=0移項(xiàng)可得or2+hx+c=3?

ax2+bx+c-3=0無實(shí)數(shù)根，

二拋物線y=ax2+bx+c與直線y=3沒有交點(diǎn)，

/.m<3.故④正確

綜上：正確的有：①③④，共三個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷

各系數(shù)的方法，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中

心作正方形PA44,正方形P&AA，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)

上，其中正方形PA4&的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為尸(一3,0),a(-2,i)，4(TO),4(-2,—1),

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則頂點(diǎn)Aoo的坐標(biāo)為（）

A.(31.34)B.(31,-34)C.(32,35)D.

（32,0）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可得移動(dòng)3次完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律人-2（〃-3,〃）.

【詳解】解：:A（—2,1）,A4（-l,2）,4（0,3）,4（1,4）,L,

二4"-2（〃-3，〃），

V100=3x34-2,則〃=34,

Ano（31，弘）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查「點(diǎn)的規(guī)律變化，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖象，得到點(diǎn)的變化規(guī)律.

二、填空題

11.“北斗系統(tǒng)”是我國自主建設(shè)運(yùn)行的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，國內(nèi)多個(gè)導(dǎo)航地圖采用北斗優(yōu)

先定位.目前，北斗定位服務(wù)H均使用量已超過3600億次.3600億用科學(xué)記數(shù)法表示為

【答案】3.6x10"

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X1O”的形式，其中1W忖＜10,〃為整數(shù).確定〃

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：3600億=360000000000,用科學(xué)記數(shù)法表示為3.6x10”.

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故答案為：3.6x10".

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其

中14忖＜10,〃為整數(shù)，正確確定a的值以及〃的值是解決問題的關(guān)鍵.

12.一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知/1=102°,則N2的度數(shù)為.

【答案】78°##78度

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，依題意，AB//DC,

:.Z2=4BCD,

,：ZBCD+N1=180。，Z1=102°,

ZBCD=180°-Zl=78°

/.Z2=78°.

故答案為：78。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，將一個(gè)量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于

點(diǎn)4,B,C,D,連接AB，則的度數(shù)為_______.

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nr

【答案】52.5°

【解析】

【分析】如圖：連接QAO8,OC,ORARAB,由題意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得NOAB=65。、

ZOAD=25°,最后根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解:如圖：連接OA,OB,OC,OD,AD,AB,

由題意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,ZAOD=155°-25°=130°,

ZOAB=；(180。-NAO8)=77.5°,ZOAD=1(180°-ZAOB)=25°,

NBAD=ZOAB-ZOAD=52.5°.

故答案為52.5°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的度量、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等腰三角形的性

質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖，利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下:

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②QMIQ0?1119能|日按鍵的結(jié)果為8：

③的。?；亍鯧I。。口按鍵的結(jié)果為0.5：

aB/cl20O2IX2口按鍵的結(jié)果為25.

以上說法正確的序號(hào)是—

【答案】?@

【解析】

【分析】根據(jù)計(jì)算器按鍵，寫出式/，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：①2MF「64按鍵的結(jié)果為鬧=4：故①正確，符合題意;

②QaOOBOtS3日按鍵的結(jié)果為4+(-2)3=T；故②不正確，不符

合題意;

③SaQQBaUGD=按鍵的結(jié)果為Sin(45°-15°)=sin300=0.5；故③

正確，符合題意;

。日按鍵的結(jié)果為卜一；、卜2?=10；

2

④OBQO挑122)

故④不正確，不符合題意；

綜上：正確的有①③.

故答案為：①@.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)計(jì)算器是使用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和了解科學(xué)計(jì)算器各個(gè)

按鍵的含義.

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A與x軸相切于點(diǎn)在C8為A的直徑，點(diǎn)。在函數(shù)

y=4(k>0,x>0)的圖象上，。為V軸上一點(diǎn)，AC￡>的面積為6,則k的值為..

X

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【答案】24

【解析】

【分析】設(shè)則O5=a,AC=V,則4C=，8C=V,根據(jù)三角形的面積公式

kci）a22a

得出sACD=gAC.OB=6,列出方程求解即可?

【詳解】解：設(shè)C（a,￡）,

A與x軸相切于點(diǎn)8,

BC_Lx軸，

OB=a,AC=~,則點(diǎn)D到BC的距離為a,

a

,:CB為A的直徑，

1A

AcrBC-

2-

=

12±a

s=

A2-C7-

CD??2a

解得：〃=24,

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定

義：經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

16.如圖1,在ABC中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABfBCfC4勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A后停

止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為X,線段4＞的長度為y,圖2是y與X的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，

其中點(diǎn)r為曲線OE的最低點(diǎn)，則ABC的高CG的長為_

【解析】

［分析】過點(diǎn)A作AQ，8C于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)p與Q重合時(shí)，在圖2中尸點(diǎn)表示當(dāng)

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AB+BQ=12時(shí)，點(diǎn)p到達(dá)點(diǎn)Q,此時(shí)當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP最小，勾股定理求得AQ,

然后等面積法即可求解.

【詳解】如圖過點(diǎn)A作AQ_L8C于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)p與。重合時(shí)，在圖2中/點(diǎn)表示當(dāng)

AB+8Q=12時(shí)，點(diǎn)?到達(dá)點(diǎn)Q,此時(shí)當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP最小，

:.BC=1，8Q=4,QC=3

在RtABQ中，AB=8,3Q=4

???AQ=JAB?—BQ?=Vs2-42=4G

'：SA?C=^ABXCG=^AQXBC,

.”BCxAQ7x4百7G

??CG=---------------=-------------=--------，

A882

故答案為：述.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，從函數(shù)圖象獲取信息是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.先化簡，再求值：心61+9/q+2+/_],其中。是使不等式佇成立的

a-2I2-aJ2

正整數(shù).

【答案】ET

【解析】

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)a的值,

再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

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_,._.?ci~—6a+9(c5)

【詳v解n】解：-----------a+2+--

a-212-a)

2

(q-3)；r(2+a)(2-a)[5-

a-22-。2-a

_(a-3)24-/+5

a-22-。

(a-3y2-a

a-2(3+a)(3-a)

_a-3

a+3'

解不等式巴二141得：a<3,

2

為正整數(shù)，

a=1.2>3?

???要使分式有意義。一2二0,

，a。2,

?.?當(dāng)”=3時(shí)，a+2-i----=3+2-1-----=0，

2-a2-3

a。3,

1-31

...把a(bǔ)=1代入得：原式===一一.

1+32

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

18.“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡稱“珠峰計(jì)劃”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之間”

而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國自己的杰出人才.已知A，B,C,D,￡五

所大學(xué)設(shè)有數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地，并開設(shè)了暑期夏令營活動(dòng)，參加活動(dòng)的每名中學(xué)生

只能選擇其中一所大學(xué).某市為了解中學(xué)生的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)杳，并將

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理后，繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

第15頁，共29頁8/27

（1）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，。所在的扇形的圓心角的度數(shù)為；若該市有1000名中學(xué)

生參加本次活動(dòng)，則選擇A大學(xué)的大約有人:

（3）甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃從A，B,C三所大學(xué)中任選一所學(xué)校參加夏令營活動(dòng)，請(qǐng)利用

樹狀圖或表格求兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率.

【答案】（1）見解析（2）14.4°：200.

⑶-

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)C的人數(shù)除以占比得到總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得8的人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可求

解：

（2）根據(jù)。的占比乘以360。得到圓心角的度數(shù)，根據(jù)1000乘以選擇A的人數(shù)的占比即可

求解；

（3）根據(jù)列表法求概率即可求解.

【小問1詳解】

解：總?cè)藬?shù)為14+28%=50（人）

.??選擇B大學(xué)的人數(shù)為50-10-14-2-8=16,補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,

【小問2詳解】

2

在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，。所在的扇形的圓心角的度數(shù)為一x360。=14.4。，

50

第16頁，共29頁8/27

選擇1大學(xué)的大約有1000x4=200（人）

故答案為：14.4°；200.

【小問3詳解】

列表如下,

甲

ABC

乙

AA4ABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9種等可能結(jié)果，其中有3種符合題意,

...甲、乙兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率為

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，樣本估計(jì)總體，列表法求概

率，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚

地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.

19.風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義.某電力部門在一處坡角

為30。的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1.某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力

發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖.已知斜坡。。長16米，在地面點(diǎn)A處

測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端P點(diǎn)的仰角為45。，利用無人機(jī)在點(diǎn)A的正上方53米的點(diǎn)B處測(cè)

得P點(diǎn)的俯角為18°,求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PO的高度.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.309,

cosl8°?0.951,tan18°之0.325)

【答案】該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿PO高度為32米

【解析】

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【分析】過點(diǎn)尸作。;?'，鉆廣點(diǎn)足延長。。交AC延長線于點(diǎn)后先根據(jù)含30°角直角三

角形的性質(zhì)得出。E=8,設(shè)尸D=x米，則P￡=PQ+DE=（8+x）米，進(jìn)而得出

A￡=（8+x）米，證明四邊形￡4￡P(guān)為矩形，則PF=AE=（8+x）米，AF=P￡=（8+x）

RF

米，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得出8/=AB-AE=s（45-x）米，最后根據(jù)標(biāo)=tan18°,

列出方程求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)〃作PE_LAB于點(diǎn)凡延長交AC延長線于點(diǎn)發(fā)

根據(jù)題意可得：AB，PD垂直于水平面，ZDCE=3O°,ZPAC=45°,ZGBP=18°,

二PEA.AE，

'：8=16米，

/.DE=-C￡）=16xl=8（米），

22

設(shè)PQ=x米，則尸￡=9+。七=（8+犬）米，

VZE4C=45°.PE上AE，

PE,、

AE=--------=（8+x）米，

tan45°v7

VAB1AE，PELAE<PF±AB^

.??四邊形E4￡P(guān)為矩形，

P/=AE=（8+x）米，AE=PE=（8+x）米，

?ZA3=53米，

8尸=回一AE=53—（8+x）=（45—x）米，

NGBP=18°,

ZBPF=18°,

BF45-x

A—=tanl8°,即二0.325,

PF8+x

解得：x*32,

答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿尸。高度為32米.

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【.點(diǎn);睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直

角三角形，熟練掌握解直角三知形的方法和步驟.

20.【問題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形A8C。進(jìn)行如下操

作：①分別以點(diǎn)良C為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作

2

直線EE交BC于點(diǎn)。，連接A。；②將ABO沿AO翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)。處，

作射線AP交CO于點(diǎn)Q.

【問題提出】

在矩形ABC。中，AD=5,AB=3,求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：

方案一：連接OQ,如圖2.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長;

方案二：將ABO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ

的長.

請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長.

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【答案】線段CQ的長為一.

12

【解析】

【分析】方案一：連接。。，由翻折的不變性，知AP=AB=3,OP=OB=25,證明

△QPgZ\QCO(HL),推出PQ=CQ,設(shè)PQ=CQ=x,在Rt^AOQ中，利用勾股

定理列式計(jì)算求解即可；

方案二：將A8O繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°至△/?(%)處，證明NQAQ=NR,推出QA=QR,

設(shè)CQ=x,同方案一即可求解.

【詳解】解：方案一：連接。。，如圖2.

圖2

?.?四邊形ABC。是矩形，

AAB=CD=3,AD=BC=5,

由作圖知8。=OC=」BC=2.5,

2

由翻折的不變性，知AP=AB=3,OP=OB=25,ZAPO=ZB=90°,

：.OP=OC=2.5,NQPO=NC=90°,又OQ=OQ,

：.△QPC^AQCO（HL）,

：.PQ=CQ,

設(shè)PQ=CQ=x,則AQ=3+x,DQ=3—x,

在RtZ\AQQ中，AD2+QD2=AQ2,即5?+（3—x）:=（3+x））,

25

解得x=-，

12

25

線段CQ的長為W；

12

方案二：將ABO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3.

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?..四邊形A8C。是矩形，

AB=CD=3,AD=BC=5,

由作圖知8O=OC=，8C=2.5,

2

由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR=AB=3,NBAO=NR,NB=NOCR=90°,

則ZOCR+ZLOCD=90。+90。=180°,

...￡)、C、R共線，

由翻折的不變性，知N84O=NOAQ,

NQAQ=NR,

:.QA=QR,

設(shè)CQ=x,則QA=QR=3+x,DQ=3-x,

在RtZ\AQQ中，AD2+QD2=AQ2,即夕+(3—x):=(3+x)),

25

解得x=一,

12

25

線段CQ的長為巴.

12

【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

21.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠(yuǎn)流長、是中華文明的智慧結(jié)晶.《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我

國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣.某書店的《孫子算經(jīng)》單價(jià)是《周髀算經(jīng)》單

3

價(jià)的一，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本.

4

(1)求兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？

(2)為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，某校計(jì)劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的

《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半.由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖

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書均按八折出售.求兩種圖書分別購買多少本時(shí)費(fèi)用最少？

【答案】（1）《周髀算經(jīng)》單價(jià)為40元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是30元：

（2）當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時(shí)，購買兩類圖書總費(fèi)用最少，最少總

費(fèi)用為2316元.

【解析】

3

【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》單價(jià)為X元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)一X元，根據(jù)“用600元

4

購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本”列分式方程，解之即可求解：

（2）根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半列出不等式求出勿的取

值范圍，根據(jù)勿的取值范圍結(jié)合函數(shù)解析式解答即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)《周髀算經(jīng)》單價(jià)為x元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是3“元，

4

600600

依題意得，~=~+',

-X

4

解得x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，且符合題意，

3

二x40=30,

4

答：《周髀算經(jīng)》單價(jià)為40元，則《孫子算經(jīng)》單價(jià)是30元；

【小問2詳解】

解：設(shè)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量加本，則購買的《孫子算經(jīng)》數(shù)量為（80-〃?）本，

依題意得，加2；（80—〃?），

解得加226^,

3

設(shè)購買《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的總費(fèi)用為y（元），

依題意得，y=40x0.8/77+30x0.8（80-ni）=8〃?+1920,

???k=8>0,

???y隨加的增大而增大，

???當(dāng)加=27時(shí)，有最小值，此時(shí)y=8x27+1920=2316（元），

第22頁，共29頁8/27

80-27=53（本）

答：當(dāng)購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時(shí)，購買兩類圖書總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)

用為2316元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及一元一次不等式的實(shí)

際應(yīng)用，根據(jù)題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及列出不等式是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線4c,8。相交于點(diǎn)E,。經(jīng)過A,。兩點(diǎn)，交對(duì)角線

4c于點(diǎn)E，連接OF交AO于點(diǎn)G,且AG=GD.

（1）求證：A8是。的切線；

（2）已知O的半徑與菱形的邊長之比為5:8,求tanNAOB的值.

【答案】（1）見解析（2）tanZADB^2.

【解析】

【分析】（1）利用垂徑定理得OF_LA。，利用菱形的性質(zhì)得/64了=/84/，利用半徑

相等得/。4/=/。月4,即可證明NOA/^+NBAbugO。，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；

（2）設(shè)AG=GO=4a,由題意得。4:AG=5:4,求得。4=5〃，由勾股定理得到

OG=3a,求得FG=2a,利用菱形的性質(zhì)求得NAO8=NAAG,據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接。4,

VAG=GD,由垂徑定理知

ZOG4=ZFG4=90°.

第23頁，共29頁8/27

?..四邊形ABC。是菱形，

，ZGAF=ZBAF,

Z.GAF+ZAFG=90°=ZBAF+ZAFG，

'：OA=OF,

ZOAF=ZOFA,

ZOAF+ZBAF=ZOAB=90°,

又為。的半徑，

???A8是。的切線；

【小問2詳解】

解：???四邊形A6c。是菱形，AG=GD,

...設(shè)AG=G￡>=4a,

VO的半徑與菱形的邊長之比為5:8，

二在RtZkOAG中，OA:AG=5A,

*'?0A=5a,OQ=-JQ42—AG2=3a1

FG=OF-OG=2a,

?.?四邊形ABC。是菱形，

ABD±AC,即NOE4=90o="G4,

:.ZADB=ZAFG,

AG4〃

tanZADB=tanZAFG=——=——=2.

FG2a

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，求角的正切值，勾股定理，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

23.如圖，點(diǎn)C為線段A8上一點(diǎn)，分別以AC8C為等腰三角形的底邊，在A8的同側(cè)作

等腰ACD和等腰BCE,且NA=NC8￡.在線段EC上取?點(diǎn)/，使￡f=AD,連

接BF,DE.

//F\\

/\\///\\

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（1）如圖1,求證：DE=BF;

（2）如圖2,若AD=2,8尸的延長線恰好經(jīng)過OE的中點(diǎn)G,求8E的長.

【答案】（1）見解析⑵BE=2+6.

【解析】

【分析】（1）證明CD//BE,推出ZDCE=NBEF,利用SAS證明Z\DCE@\FEB即

可證明結(jié)論成立；

（2）取C/的中點(diǎn)〃，連接G“，證明G”是FCD的中位線，設(shè)BE=a，則F"=,。一2,

2

證明△r得到絲=也，即^—4〃一4=0,解方程即可求解.

BEEF

【小問1詳解】

證明：?.?等腰ACD和等腰BCE,

:.AD=CD,EC=EB,ZA=ZDCA,

?：ZA=NCBE,

/.ZDCA=NCBE,

:.CD〃BE,

：.NDCE=NBEF,

EF=AD，

EF=CD,

CD=EF

在△OCE和FEB中，,NOCE=NFEB,