高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（原卷版）

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【知識點梳理】

知識點一、符號法則與比較大小

實數(shù)的符號：

任意XeR,則x>0（X為正數(shù)）、x=0或x<0（X為負數(shù)）三種情況有且只有一種成立.

兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：

①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變

符號語言：a>O,b>O=>a+b>O；

a<O,b<O=>a+b<O

②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號語言：6T>0,?>0=><7?>0;

a<0,b<0=>ab>0

③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)

符號語言：a>0,b<0=>ab<0

④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0

符號語言：X∈7?=>X2≥0,X=Oo無2=0.

比較兩個實數(shù)大小的法則：

對任意兩個實數(shù)〃、b

①α-b>O<=>α>b；

②〃-Z?<Ooavb；

③a—h=O<=>α=b.

對于任意實數(shù)。、b,Q>b,a=b,αv∕;三種關(guān)系有且只有一種成立.

知識點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明

不等式與解不等式的主要依據(jù).

知識點二、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有:

(1)對稱性：a>b<^>b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c

(3)可力口性：a>boa+c>b+c(cGR)

c>0=>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=O=ac=be

c<O=αc<be

運算性質(zhì)有：

(1)可力口法則：a>b,c>d=a+c>b+d.

(2)可乘法則:a>b>O,c>d>O=>a?c>b?d>O

(3)可乘方性：a>b>O,n≡=α">b〃>0

知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).

知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個代數(shù)式。、b,可以作差Q-匕后比較h與0的關(guān)系，進一步比較。與b的大小.

①α-h>0oα>b;

②α-OvOoavb;

@a-b=0oa=b.

作商法：

任意兩個值為正的代數(shù)式。、b,可以作商α÷。后比較0與1的關(guān)系，進一步比較。與〃的大小.

b

φ->l<=>6f>?;

b

②@vloα<Z?；

b

?—=IOa=b.

b

中間量法：

若α>b且b>c?,則α>c(實質(zhì)是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.

【題型歸納目錄】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【典型例題】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

例L（2022?湖南?衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的

外部尺寸長、寬、高之和不超過MCm.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為氏C（單位：cm）,這個規(guī)

定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）

A.a+b+c<Λ∕B.a+?+c>MC.a+h-^?c>MD.a+h+c<M

例2.（2022?貴州畢節(jié)?高一階段練習(xí)）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績X不低于100分，英語成績y和語文成績Z的

總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（）

∫x>100?x≥l（X）

?'[200<y+z<240θ'（200≤y+z≤240

?X>100∫x>100

c'（200≤y+z≤240θ"∣200<γ+z<240

例3.（2022?江蘇淮安?高一期中）某公司準(zhǔn)備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A為一次性投

資300萬；方案8為第一年投資80萬，以后每年投資20萬.下列不等式表示“經(jīng)過〃年之后，方案8的投入

不大于方案A的投入”的是（）

A.80+20〃≥300B.80+20〃≤300

C.80÷20（>z-l）≥3（）（）D.80+20（n-l）≤3（X）

例4?（2022?全國.高一課時練習(xí)）請根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個不等式：（設(shè)糖水為“

克，含糖為人克，加入的糖為"，克）.

例5.（2022?遼寧葫蘆島?高一期末）社會實踐活動是青年學(xué)生按照學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的要求，利用節(jié)假日等課

余時間參與社會政治、經(jīng)濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動,可以使學(xué)生豐富對國情的感性認識，

加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執(zhí)行黨的基本路線的自覺性；可以使學(xué)生在接觸實際的

過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學(xué)校要建立社會實踐活動小組，小組由學(xué)

生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)：②女學(xué)生人數(shù)多于教師

人數(shù)；③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若男學(xué)生人數(shù)為7,則女學(xué)生人數(shù)的最小值為；若

男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為.

【方法技巧與總結(jié)】

將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路

（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.

（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接.

（3）多個不等關(guān)系用不等式組表示.

題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小

例6.（2022?安徽?高一期中）已知α<b,χ=a3-b,y=a2b-a,則蒼），的大小關(guān)系為（）

A.χ>yB.XJc.χ=yD.無法確定

例7.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若α>6>0,則下列不等式中一定成立的是（）

bb+?C1,1C1,1C2a+ha

A.—>-----B.6?+—>?+-C.a+->b+-D.------->-

aa+?ahbaα+2bb

例8.（2022?新疆克孜勒蘇?高一期中）已知P=X2T,Q=2X2-X,則PQ.(填"或"<”)

例9.（2022?廣西?高一階段練習(xí)）（1）比較3χ2-x+l與2∕+χ-l的大小;

(2)己知c>α>b>O,求證：—^―>—^―

c-ac-b

例10.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知”,8c∈R',且αw匕Wc,試比較

ab^a+b)+hc(b+c)+ac^a+c)與6abc的大小.

【方法技巧與總結(jié)】

作差法比較大小的步驟

/?r??兩個實數(shù)（或代數(shù)式）的大小?

<7=√可以根據(jù)它們的差的符號進行判斷

N（1）進行因式分解轉(zhuǎn)化為多個因式相乘）

L

pT）通過配方轉(zhuǎn)化為幾個非負實數(shù)之和）

—〔注意題目本身提供的字母的取值范困）

ζ?ζ）—（根據(jù)符號判新大?。?/p>

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

例11.（2022?四川成都?高一期末（文））若a,人為實數(shù)，下列命題正確的是（）

A.若a>b,則a?〉/B.若∣α∣>h,則標(biāo)>/

C.若/>凡則α>bD.若。>煙，則"2>∕√

例12.（2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中）如果α<>vθ,那么（）

A.a-b>0B.ac<bcC.?>?D.a2<b2

ab

例13.（2020?新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）若a力,c,dwR,則下列說法正確的是（）

A.若a>b,c>d,則αc>bdB.若a>b,則OC2>∕7c?2

C.若a>b,貝IJa-C>6-CD.若“<6<0,則,<1

ab

例14.（多選題）（2022?湖北?測試?編輯教研五高一階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（）

A.若一2<a<3,l<6<2,則一4<α-∕j<2

B.若ac1>b/,則α>b

C.若人<“<0,機<0,則竺>生

ab

D.若a>b,c>d,貝!]αc>M

【方法技巧與總結(jié)】

運用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧

（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).

（2）解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題

設(shè)條件：二是取值要簡單，便于驗證計算.

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

例15.（2022?湖南?高一課時練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：

(1)若avb,c<0,貝|J(。-b)c>O;

⑵若α<O,-↑<h<Of則〃<4/<必.

例16.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知α>8>0,CVdV0,m<0,求證:

⑴￡(占

…m"7

⑵工F?

例17.（2022.全國?高一課時練習(xí)）已知下列三個不等式：φab>0,（2）->γ,③bc>ad,以其中兩個作

ab

為條件，余下一個作為結(jié)論，可組成幾個真命題？請證明你的結(jié)論.

例W（2022?全國?高一課時練習(xí)）若出?。+8）,則彘r焉蕓.

⑴若存在常數(shù)”’使得不等式Ur七≤M≤扁+已對任意正數(shù)b恒成立,試求常數(shù)M

的值,并證明不等式：M≤備+七;

(2)證明不等式：&+bWa+b

3.+262a+3b2a+3b3a+2b

【方法技巧與總結(jié)】

對利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明

⑴不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對任意兩個實數(shù)a,b有a-b>O=a>b;a-b=O=a=b;a-b<O=>a<b.

這是比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ).

（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對性質(zhì)正確理解和運用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論,

注意條件的加強和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系.

（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實數(shù)大小比較和實數(shù)運算性質(zhì)的直接應(yīng)用.

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

例19.（2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中高一階段練習(xí)（理））下列命題正確的是（）

A.若ac>be,貝∣Ja>b

B.若ac=be,則”=力

C.若a>b,則一<7

ab

D.若ad>be?,則α>b

例20.（2022?內(nèi)蒙古?赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中）若匕<0,則下列不等式不能成立的是（）

A.a2>b2B.—>—C.同>網(wǎng)D.------>一

aba-ba

例2L（多選題）（2022?江蘇?揚州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）己知c∈R,下列不等式中正確的是

（）

cc11

A.d—ob—cB.一<—C.ai>blD.-----<-----

aba-?b-?

例22.（多選題）（2022?廣東?小欖中學(xué)高一階段練習(xí)）對于實數(shù)α,"c,下列命題正確的是（）

A.若a>b,貝!][c<∕?CB.若"匕<0,貝∣Jα2>6?>/

C.若c>a>b>O,則"VbD.若a>b,?>?,則4>O,i>vO

c—ac—bab

例23.（多選題）（2022.貴州貴陽?高一期末）下列說法正確的有（）

A.若a>b,cvd,則Q-c>人一dB.a>b>O,c<d<0,則4cv?∕

CC（1（l???C

C.若α>8>c>（）,則一>一D.^a>b>c>O則一<----

abfbb+c

例24.（多選題）（2022.廣東.深圳科學(xué)高中高一期中）下列說法正確的是（）

A.若a>Z?>0,Jil∣J—<?B.若α>0>0,m>0,則〃+〉’

aba+ma

C.a>b>Of貝∣J∕-∕√D.若Q>h>O,則汗>歷2

【方法技巧與總結(jié)】

注意點：

①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；

②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo),

更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

例25.（2020?廣東?新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知0<x<4,0<y<6,則2x-y的取值范圍是____

例26.（2022滁州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知2<“<3,_2<6<_1,則2。-6

的取值范圍為

例27.（2022?吉林延邊?高一期末）己知l≤α≤2,-l≤b≤4,則α-2?的取值范圍是（）

A.-7≤a-2b≤4B.-6<a-2b≤9

C.6<a-2b≤9D.-2<a-2b≤8

例28.（2020?浙江臺州?高一期中）已知α<b<c且α+2?+3c=0,則的取值范圍是

a

例29.（多選題）（2022?新疆?烏魯木齊市第70中高一階段練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足

—3<x+2yV2,—1V2x—y<4,貝IJ（）

A.-l<x<2B.-2<y<?C.-3<x÷y<3D.-1<x-γ<3

fl≤α+b≤3

例30.（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知”,SeR且滿足；[二，則4〃+?的取值范

[-l≤α-6≤l

圍是_______________

例31.（2022?福建?廈門市國祺中學(xué)高一期中）若-1<α+b<3,2<a-b<4,t=2a+3b,則f的取值范

圍為?

9〃~~c

例32.（2022?全國?高一期中）已知b>0,^-4h≤a-c≤-b≤4a-c≤5b,則---的取值范圍是

例33.（2022?湖北?車城高中高一階段練習(xí)）（1）已知2<x<3,2<y<3,求萬一丁和土的取值范圍;

(2)已知2<x+y≤4,-l<x-y<3,求3x+y的取值范圍.

例34.（2。22?湖北?武漢市鋼城第四中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)2<"7,i<2,求α+3b,2j,濾范

圍.

【方法技巧與總結(jié)】

利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略

建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范

圍.如已知20<x+y<30,15<x—y<18,要求2x+3y的范圍，不能分別求出x,y的范圍，再求2x+3y

的范圍，應(yīng)把已知的"x+y'"χ-y’視為整體，即2x+3y=?∣（x+y）-T（X—y），所以需分別求出^（x+y），-T（X

一y）的范圍，兩范圍相加可得2x+3y的范圍.“范圍”必須對應(yīng)某個字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的

范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去

求.注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這

種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍.

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.（2022?山西師范大學(xué)實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）若AceR,且α>b,則下列不等式中一定成立的是（）

2

A.a+b≥b-cB.ac≥bcC.——>0D.{a-b）c2≥0

a-b

2.（2022?寧夏?銀川二中高二期中（理））已知α,"c∈R且八則下列不等式中一定成立的是（）

A.—<—B.ac>he

ab

C.a2>h2D.（β-b）c2≥O

3.（2022?湖北.隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實數(shù)X,y滿足-14x+y≤3,4≤2x-y≤9,

則4x+y可能取的值為（）

A.1B.OC.15D.16

4.（2022.河南?夏邑第一高級中學(xué)高二期中（文））若。是實數(shù)，p=√7W5+α,β=√^2÷6÷√ɑ2+4，

則P,Q的大小關(guān)系是（）

A.Q>PB.P=Q

C.P>QD.由α的取值確定

21

5.（2022.重慶八中高三階段練習(xí)）若”,〃都是非零實數(shù)，滿足4>處，且則下列不等式一定成立

ab

的是（）

A.a-b>OB.a-b<OC.a?b>OD.ab<O

6.（2022.北京?北師大實驗中學(xué)高二期中）古希臘時期，人們把寬與長之比為與，告?、0.618的矩

形稱為黃金矩形，把這個比值逅二?稱為黃金分害肚匕例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形A8CD,

2

EBCF,FGHC,FGJl,LGJK,MNjK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與尸間的距離小

于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（）（參考數(shù)據(jù)：0.6182=0.382,0.6183≈0.236,

0.6184?0.146,0.6185≈0.090,0.6186≈0.056,0.6187≈0.034）

A.30.3米B.30.1米C.29.2米D.27.4米

7.（2020.湖北?襄陽市第二十四中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若α>b,od,貝∣Ja-c>b-dB.若。>6,則ac>bc

C.若α>6>0,c>d>O,則二>2D.若“>力，則”2>力2

ac

.,..abccl

8.（2022?陜西?西安中學(xué)高二期末（文）），a,b,c,d0氏d,設(shè)rSo=----------+------------+-----------+-----------,

a+b+db+c+ac+d+bd+a+c

則下列判斷中正確的是（）

A.O<S<1B.3<S<4C.2<5<3D.1<S<2

二、多選題

9.（2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí)）若α,h,c∈R,則下列命題正確的是（）

A.若〃人W0且α<b,貝I'>!

B.若OVaV1,則

ab

C.若α>b>O且c>0,則D.a?+匕2+1之2（Q—2力-2）

a+ca

10.（2022?廣東佛山?模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,c>d,則α+c>b+dB.若a>b,c>d,則ac>

C.若a>b,∣J!!1ac2>bc2D.若α<b<O,c<0,則￡<￡

ab

II.（2022?黑龍江?大慶外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）若實數(shù)α,b,c,d滿足α>b>O>c>d,則以下不等式

一定成立的是（）

C,,?ab

A.c2<cdB.ci—d>b—cC.cic>bdD.—<—

ca

12.（2022?安徽.涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實數(shù)”2,4也滿足0<4<a2,0<bl<4，且4+%：=&+4=1,

記p=q4+α2%,q=，也+砧、,r=%%+岫2,則下列說法正確的是（）

A.p+q=lB.qp=r2

C.P>r>qD.p>^>r

三、填空題

13.（2022?新疆?莎車縣第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)〃=?=√7-√3,c=√6-√2,則。，b,C的

大小關(guān)系.

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若X,ywR,=x2-2xy+3y2-x+y,則〃的最小值為

15.（2020?上海市晉元高級中學(xué)高一期中）給出下列命題：①若而>0,a>b,則②若α>b,c>d,

ah

hh+/77

則α-c>6T;③對于正數(shù)。力,〃7,若a<b,則竺'.其中真命