高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合測試題理3

專題五綜合測試題

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知無窮數(shù)列匕｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有()

n

aaaa

C.T>T).

aaaa

6868

解析：aa=(a+3d)(a+7d)=a2+10ad+21d2,和=(a+5d)2=a2+10ad+25d2,故之

4811116111a

6

a

5

a

8

答案:B

2.已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=112—9n,第k項(xiàng)滿足5<a《8,則k=()

nnk

A.9B.8

C.7D.6

解析：由題意知,數(shù)列解｝為等差數(shù)列,a=S—S=2n—10,由5<2k—10<8,keN*,

nnnn—1

得到k=8.

答案：B

3.對于非零實(shí)數(shù)a、b,“b(b—a)W0”是“彩1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：：a#0,b#0,故有b(b—a)W0<J^W0=l—故選C

答案：C

X2-1-4xx20

，),若f(2—掾)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值X圍是

!4x—X2,x<0

)

A.(—8,—1)u(2,+°o)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—8,-2)U(1,+o°)

解析：由題知f(x)在R上是增函數(shù)，可得2—az〉a,解得一2〈a〈l,故選C.

答案：C

1/9

5.已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=a^—l（a是不為0的實(shí)數(shù)），那么｛a｝（）

nnn

A.一定是等差數(shù)列

B.一定是等比數(shù)列

C.可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列

D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

答案：C

6.（20H?某某）等差數(shù)列｛a｝中，S是其前n項(xiàng)和，a=

nn1

s-s=2,

-2008,20072005則‘2008的值為（）

A.-2006B.2006

C.-2008D.2008

sss

解析：由已知.一前t=2的結(jié)構(gòu)，可聯(lián)想到等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S的變式，-=

20072005nnn

q+^n—1）,故由統(tǒng)一然=2,得:=1,^=-2008+（2008-1）.1=-L.*.S^

=—2008.

答案：C

7.已知a20,b20,且a+b=2,則（）

1

A<B-

ab、2

C.82+b2W3D.a2+b222

解析：,**b20,且a+b=2,???4=(a+b)2=a2+b2+2abW2(a2+b2),32-|-b2^2.

答案：D

8.已知等比數(shù)列｛a｝中，a=l,則其前3項(xiàng)的和S的取值X圍是()

n23

A.(―00,—1]B.(—0°,—1)U(1,+8)

C.[3,+°°)D.(—8,—1]U[3,+°°)

解析：??,等比數(shù)列但｝中，a=1,?,.S=a+a+a=

n23123

a((+l+j=l+q+*當(dāng)公比q>0時(shí)，Ss=l+q+^l+2-Uq^=3,當(dāng)公比q<0

時(shí)，S=l-[-q-(|<l-2]—q-

ASe(-oo,-i]u[3,+°°).

3

答案：D

9.(2011?某某某某模擬)q=>jma+nc?、/\+((叭n>a>b、c、d

均為正數(shù)），則P、q的大小關(guān)系為（）

2/9

A.p》qB.pWq

C.p>qD.不確定

解析：q=^yab+^^+^^+cd^-^ab+2^abcd+cd=-y^ab+*^cd=p,故選B.

答案：B

S

10.設(shè)S=l+2+3H----kn,neN*,則函數(shù)f(n)=—,~~—的最大值為()

nn十320

n+l

1111

20孫.4050

解析：由s0=2得f(n)=n+32n+2=n^+34n+64=64

nd——P34

n

11641

-=用當(dāng)且僅當(dāng)n=>即n=8時(shí)取等號，即f(n)=f(8)=-

2>J64+3450n皿5°

答案：D

x—y^O

H.設(shè)變量x,y滿足約束條件<x+yWl，則目標(biāo)函數(shù)z=5x+y的最大值為()

.x+2y》l

A.4B.5

C.6D.7

解析：如圖，由圖可知目標(biāo)函數(shù)z=5x+y過點(diǎn)A(l,0)時(shí)z取得最大值，z=5.

max

答案：B

12.｛a｝為等差數(shù)列，若%〈一1,且它的前n項(xiàng)和S有最大值，那么當(dāng)S取得最小正

nann

10

值時(shí)，n=()

A.11B.17

C.19D.21

解析：等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S有最大值，則公差小于零.又%〈一1，則有a〈0,

nna11

3/9

a>0,a+a<0,即S>0,S<0,則當(dāng)S取得最小正值時(shí)，n=19.

1010111920n

答案：c

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上.

13.在公差為d(dWO)的等差數(shù)列｛a｝中，若S是｛a｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S-S,S

nnn201030

-s,S-S也成等差數(shù)列，且公差為lOOd.類比上述結(jié)論，在公比為q(qWl)的等比數(shù)列

204030

也｝中，若T是數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)之積，則有.

nnn

TTT

答案：V，,，/也成等比數(shù)列，且公比為5。。

102030

14.(2011?某某省高三診斷)觀察下列等式：

,22+12X2+1

12+22=-------------------,

33+12X3+1

12+22+32=-

6

44+14X2+1

1.2+22+32+42=-，…，根據(jù)上述規(guī)律可得12+22+32+…+n2

解析：通過觀察前三個(gè)等式可得I2+22+32+…葉1u2n+l

nn+12n+l

答案:

6

15.已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，則有等式a—2a+a=0,a—3a+3a—a=0,a—4a

n123123412

+6a—4a+a=0,

345

(D若數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，通過類比，則有等式.3

n

(2)通過歸納，試寫出等差數(shù)列｛a｝的前n+1項(xiàng)a,a,……,a,a之間的關(guān)系為

n12nn+1

解析：因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算，后者是乘法運(yùn)算，所以類

比規(guī)律是由第一級運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級運(yùn)算，從而解出第(1)問；通過觀察發(fā)現(xiàn)，已知等式的

系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，解出第(2)問.

咨(1)aa—2a—1,aa—3azsa—i=1,aa—4a6a—4a—1

123123412345

(2)C°a—Cha+C2a..+(—1)nCna=0

n1n2n3nn+1

16.若不等式4x—2x+i—a20在［1,2］上恒成立，則a的取值X圍為.

解析：由題得aW4x—2x+i在［1,2］上恒成立，即aW(4x—2x+i)=［(2x—1)2—1］=0.

minmin

答案：(一8,0］

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)滿足ax?f(x)=b+f(x)(a?bWO),f(1)=2且f(x+2)=—f(2—x)對

4/9

定義域中任意x都成立.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)正項(xiàng)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,滿足S=J(3—丁求證：數(shù)列｛a｝是等差數(shù)

nnnTa/n

n

列.

解：⑴由ax?f(x)=b+f(x)(a?bWO),得f(x)(ax—l)=b,若ax—1=0,則b=0,

不合題意，故ax—IWO,

ax—l

由f(l)=2=^y,得2a—2=b,①

由f(x+2)=-f(2—x)對定義域中任意x都成立，得?！?。。?——p

ax十/-1a乙一x一1

由此解得a=g,②

把②代入①，可得b=-1,

—12

??.f(x)=-------=3--(xW2).

1N—X

/一1

9\(2\

⑵證明：Vf(a)=--,S=-13-T-

n乙一an4\1a7

nn

AS=7(a+1)2,a=J(a+l)2,/.a=1；

n4n1411

1

+

--

nT14(aTn

**.a=S—S=7(a2—02+2a—2a),

nnn—14nn—1nn—1

I.(a+a)(a—a—2)—0,

nn—1nn—1

Va>0,

n

a—a—2=0,即a—a=2,

nn—1nn—1

.??數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.

n

18.(本小題滿分12分)

(2011?某某某某十九中模擬)等差數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=3,前n項(xiàng)和為S,等

n1n

比數(shù)列出｝中，b=1,bS=64,｛ba｝是公比為64的等比數(shù)列.

n122n

⑴求a與b；

nn

⑵證明：+h-----4卷

JJJJ4

123n

5/9

解：(1)設(shè)｛a｝的公差為d,d為正數(shù)，｛b｝的公比為q,貝lj

nn

a=3+(n—l)d,b=q-1.

nn

hUq3+nd-l

/11------------------qd=64=26

依題意有DQ3+n-ld-1

an

Sb=6+dq=64

22

由(6+d)q=64知q為正有理數(shù)，

6

又由q=24知，d為6的因數(shù)1,2,3,6之一，解之得d=2,q=8.故a=2n+Lb=8。

nn

⑵證明:由⑴知s=n(n+2),

n

于

1+w2+w3+…n

上——nn+2

II—―I-—―?——―I-???-I-—

2V32435nn+2.

\(,11113

=5口+廠^^一石眇]

19.(本小題滿分12分)

(2011?某某某某模擬)已知等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S=2?3n+k(keR,neN*).

nn

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式和k的值；

n

(2)設(shè)數(shù)列｛b｝滿足a=4(5+k)%%,T為數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和，試比較3—16T與4(n

nnnnn

+l)b的大小，并證明你的結(jié)論.

n+1

解：(1)由S=2?3n+k(k￡R,n￡N*)，得當(dāng)n22時(shí)，a=S—S=4,3n-i.

nnnn—1

V｛a｝是等比數(shù)列，/.a=S=6+k=4,/.k=—2,

n11

故a=4,3n-i(nGN*).

n

n—1

(2)由a=4(5+1<)%%,a=4?3n-j|]k=-2,得b=^-,

nnn4?Jn—1

n—2n—

AT=b+b+b+b+b=*4?3n-i?

?123+?-1?TT34,3n-2

3Tn+…

44,34*024?3n-34,3n—2

由②一①得，2Tn=4+4?3+4?32H^4?3n-3+4?3n-2-4?Sn-l'

111

T--11n—132n+l

n88?38?

328,3n—38,3n—28*3—11616,3n-l,

6/9

nn+12n+l_nn+l—32n+l

4(n+l)b-(3-16T)=——--

n+lnJn3n—l3n

*.*n(n+1)—3(2n+1)=112—5n—3,

當(dāng)或nT~~J亙<0時(shí)，有n(n+l)>3(2n+l),

???當(dāng)n>5(n￡N*)時(shí)，有3—16T<4(n+l)b.

nn+l

同理可得，當(dāng)5―嚴(yán)<nT+嚴(yán)時(shí),有n(n+l)<3(2n+l),

...當(dāng)lWnW5(neN*)時(shí)，有3—16T〉4(n+l)b.

nn+l

綜上，當(dāng)n〉5(neN*)時(shí)，有3—16T<4(n+l)b；

nn+l

當(dāng)lWnW5(ndN*)時(shí)，有3—16T〉4(n+l)b.

nn+l

20.(本小題滿分12分)

某商店投入81萬元經(jīng)銷某種奧運(yùn)會特許紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，為了獲得更多的利

潤，商店將每天獲得的利潤投入到次日的經(jīng)營中.市場調(diào)研表明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期

’1,lWnW20

間第n天的利潤a1(單位：萬元，neN*).記第n天的利潤率b=

n-rn,21WnW60n

第n天的利潤氣

前n天投入的資金總和’例如乜—8i+a+a.

12

(1)求b,b的值；

12

(2)求第n天的利潤率b；

n

(3)該商店在經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，哪一天的利潤率最大？并求該天的利潤率.

解：⑴當(dāng)n=l時(shí)，b=/；當(dāng)n=2時(shí)，b

1ol2OZ

(2)當(dāng)lWnW20時(shí)，a=a=a=***=a=a=1.

123n—1n

.a11

?h=---------?--------=--------=-----

n81+a+a+…+a81+n—1n+80，

12n-l

當(dāng)21WnW60時(shí)，

b=_____________a_____________

n81+a+…+a+a+…+a

12021n-l

81+20+a+…+an—21n+20

21-I10H------------------

7/9

2n

n2—n+1600'

???第n天的利潤率

]

lWnW20neN*

<n+80,

b

n2n

n+1600'21WnW60n￡N*

(3)當(dāng)lWnW20時(shí)，b是遞減數(shù)列，此時(shí)b的最大值為b=白；

nn十yun131

當(dāng)21<n<60時(shí)，b=n.7nn=一焉—<r^~一=裊當(dāng)且僅當(dāng)n=噂,

nR2—n+1600口+K。。[2^1600—179n

即n=40時(shí)，"=”成立).

219

又??？**?當(dāng)n=40時(shí)，(b)=—

olnmax

2

該商店經(jīng)銷此紀(jì)念品期間，第40天的利潤率最大，且該天的利潤率為五.

IZ)

21.(本小題滿分12分)

(2011?某某某某模擬)設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且對任意的ndN*,都有a〉0,S

nnnn

=qa^+a：+???+a3.

(1)求a,a的值；

12

(2)求數(shù)列伯｝的通項(xiàng)公式a；

nn

(3)證明：法2法+法.

2n+l2n2n—1

解：(1)當(dāng)n=l時(shí)，有3=5]=，^,

由于a>0,所以a=1.

n1

當(dāng)n=2時(shí)，有$2=#@：+氣,即++

將a=1代入上式，由于a>0,所以a=2.

2

(2)由----Pa;,

as+a3+，??+a3=(a+a+???+a)2,(T)

12n12n

貝!j有a3+a3-|-----l-as+as=(a+a+???+a+a)2.②

12nn+112nn+1

②一①得

as=(a+a+…+a+a)2—(a+a+…+a)2.

n+112