高考數(shù)學大二輪復習 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學案

等差數(shù)列、等比數(shù)列

［考情考向?高考導航］

1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及基本運算是每年高考的熱點，在考查基本運算的同時，

也注重考查對函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想的應用.

2.對等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式

和前刀項和.

真題體驗?主干整合做真題理圭于感悟高考

［真題體驗］

1.(2019?全國III卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝的前4項和為15,且a=3&+4囪，

則a=()

A.16B.8

C.4D.2

解析：C［應用等比數(shù)列前〃項和公式解題時，要注意公比是否等于1,防止出錯.設正

份1+131Q~\~80+劭°=15,份1=1,

數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比為q,則_2一解得_

4—3oaiq十42,1q—2,o

.?.&=包/=4,故選C.］

2.(2016?某某卷)設｛a｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為5則“60”是“對任意的

正整數(shù)刀，的i+的()

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：C［設數(shù)列的首項為功，則期—1+期=&/〃-2+也產-1=包/L2(1+點，當60,因

為l+q的符號不確定，所以無法判斷出-1+期的符號；反之，若加-i+a<0,

即^<-1<0,故“60”是“對任意的正整數(shù)〃，曲r+/<0”的必要不充分條件.］

3.(2019?全國I卷)記S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和.已知W=一四

(1)若&=4,求｛&｝的通項公式；

(2)若為>0,求使得S2a的刀的取值X圍.

解：⑴設3｝的公差為名

由￡=一與得%+4d=0.

由&=4得2+2d=4.

于是劭=8,d=-2.

因此｛a｝的通項公式為^=10—2/7.

⑵由⑴得出=—4=故a=(〃-5)&

_n77—9d

Sn=2'

由國>0知d<0,故等價于〃2—ll“+10W0,解得IWAWIO,

所以〃的取值X圍是{A|1W〃W1O,〃GN}.

［主干整合］

1.等差數(shù)列

(1)通項公式：an=ai+(72—1)d：

/、1、〒八、刀&+&,nn-\

(2)求和公式：Sn=---------=〃2+---------d\

⑶性質：

①若如7?,p,0￡N*,且/+〃=〃+s則3+&=%+%；

②為=劣+(77—4&

③S,￡加一S,SL$0，…，成等差數(shù)列.

2.等比數(shù)列

(1)通項公式：a=&q"T(qW0)；

(2)求和公式：0=1,Sn=na^qWl,Sn=~一~~~一=斗——；

1—71—7

⑶性質:

①若如n,p,°￡N*,_&m+n=p+q,則為?劣=為?4；

m

?an=am?q~\

③S,52m—Sm,Sim—Sm,…(SW0)成等比數(shù)列.

熱點聚焦?能力突破研熱點析重點方法突破

熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算

［題組突破］

1.（2019?某某三模）已知數(shù)列｛a｝是等比數(shù)列，數(shù)列伉｝是等差數(shù)列，若人?注?如=一

3/，A+&+d=71r,則tan^;^的值是()

A.一^3B.一1

D.^3

解析：A［依題意得，次=（一十）工3加=7兀，

.「7TI2b67兀

..戊=—yj3,be=~-~，又。

O1-國?氏1—屆—

加十為（/兀）（71171r

故tan;-----------=tan~~r~=tan一2幾一~~=—tan-=_M3，選A.]

1—<34?備[3/13）3Y

2.（2020?某某調研）已知等比數(shù)列｛a｝公比為仍其前〃項和為S,若&,關，企成等差

數(shù)列，則/等于（）

1

B

A.-2-

c.-5或iD.—i或5

解析：A［若q=l,則3功+6&=2X9國,

得a=0,矛盾，故

解得/=-3或1（舍），故選A.]

3.（2019?某某三模）設S為等差數(shù)列｛aj的前〃項和，（〃+l）S<〃S+i5eN*）.若竺<

—1,則（）

A.S的最大值是&B.S的最小值是發(fā)

C.S的最大值是SD.S的最小值是岳

E_LLn「,/Ic?cZF4/I.\11a+&〃+l&+4+1.TE/口

斛析：D[由（T?+1）SV77S+1得（〃+1）?<刀?，整理得

a〃<a〃+i,所以等差數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，又竺<—1,所以a>0,a,VO,所以數(shù)列｛2｝的前7

a7

項為負值，即S的最小值是S.]

解后反思

等差、等比數(shù)列基本運算的關注點

（1）基本量：在等差（比）數(shù)列中，首項以和公差d（公比g）是兩個基本元素；

（2）解題思路：①設基本量為和d（0）；②列、解方程（組）；把條件轉化為關于4和d（°）

的方程（組），然后求解，注意整體計算，以減少計算量.

熱點二等差（比）數(shù)列的判斷與證明

[例1]（2020?某某質檢）已知數(shù)列｛4｝滿足a〃=34T+依"一g2,—R）.

（1）設團=1,k=o,證明數(shù)歹“&一1是等比數(shù)列；

⑵對任意AGR,是否存在一個實數(shù)t,使得⑸+?（〃GN*）且依｝為等差數(shù)列？若

0

存在，求出力的值；若不存在，請說明理由.

［解析］⑴證明:當4=0時，an=3an-i—1,所以a—1=3a_L、=3(&—1—51,

_1

a~~211fI］i

即-----7=3,又&一—科。，所以數(shù)歹Ua一不是首項為弓，公比為3的等比數(shù)歹U.

1乙乙?句z

⑵當?shù)?2時，bn—bn-i=^an-\-1)一^1(劣一1+t)=1(a+t-3an-i—3t)=/(3劣一1+?3"

——1+t——3an-\——3%)

1/〃、1+2方

二幣(43=k---.

uo

要使伍｝為等差數(shù)列，則必須使1+2-0,.?"=一/

即對任意的AGR,存在t=一/使｛4｝為等差數(shù)列.

方法技巧?>

判斷和證明等差或等比數(shù)列的方法

(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前〃項和公式法，但不作為證明

方法.

(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列

即可；

(3)a>ajI-ia?+1(/7^2,〃eN*)是｛&｝為等比數(shù)列的必要而不充分條件，也就是要注意判斷

一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.

肛突破練1

(2019?某某二模)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后

成為等比數(shù)歹U｛4｝中的底b4,h.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

(2)數(shù)列1M的前n項和為S,求證：數(shù)歹是等比數(shù)列.

解析：(1)設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a—d,a,a+d.

依題意，得a—d~\-a~\~a~\-d—15.

解得a=5.

所以｛4｝中的如瓜,區(qū)依次為7—d10,18+4

依題意，有(7—#(18+初=100,

解得d=2或d=-13(舍去)?

故伉｝的第3項為5,公比為2.

5

由h=b\?22,即5=bi?22,解得bi=-.

所以b產仄-q-x=--2〃T=5?2〃T,

即數(shù)列｛4｝的通項公式4=5-2段

-1-2,

455

(2)由⑴得數(shù)列伉｝的前刀項和S=—=5?2^2--,即5+彳=5-2T.

1—244

55S+i+15.2”T

由S+1=5，1=仄.=2可知，

TT0。4

s+Z

數(shù)歹"S+1|是以￡為首項，2為公比的等比數(shù)列.

熱點三等差與等比數(shù)列的綜合問題

［例2］(2018?某某卷)設｛aj是等差數(shù)列，其前〃項和為S5CN*)；｛4｝是等比數(shù)列，

公比大于0,其前〃項和為北(〃GN*).已知4=1,bi=bi+2,bi—att+aa,6=&+2備.

(1)求S和北；

(2)若S+(71+后+…+北)=a〃+46〃，求正整數(shù)〃的值.

［審題指導］(1)利用條件求出等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的首項及公差，寫出通項公

式，進而求出前〃項和.

(2)由(1)知北=2〃-1,將其拆成2〃和一1兩部分，｛2〃｝是等比數(shù)列，易求和，一1是常數(shù),

易求和，再結合S=""J1和已知條件,可求得〃的值.

［解析］(1)設等比數(shù)列｛刃的公比為0,由打=1,幼=慶+2,可得爐—g—2=o,因此

l—2n

為q>0,可得0=2,故4=2〃T.所以，7；=——

1—z

設等差數(shù)列｛a｝的公差為d,由Z?4=&+a5,可得2+3d=4,由曲=a+2含，可得34+

__,,,“…n〃+1

==

13d.—16f從而句=1,<7=1,故3,nJi.所以，Sn2.

2x1—2"

(2)由(1),有T+T+-+T=(21+22+-+20~n=~~十——〃=2"+】一〃一2.

i2n1-Z

由5L+(71+Ti-\----H北)=a〃+4A,可得~~\-2"+'—n—2=a+2"",整理得—3n—

4=0,

解得〃=—1(舍)，或〃=4.所以，〃的值為4.

I思維升華I

(1)關于等差、等比數(shù)列的綜合問題大多為兩者運算的綜合題以及相互之間的轉化，關鍵

是求出兩個數(shù)列的基本量；首項和公差（或公比），靈活運用性質轉化條件，簡化運算，準確

記憶相關的公式是解決此類問題的關鍵.

（2）求數(shù)列中的最大項，可以利用圖象或者數(shù)列的單調性求解，同時注意數(shù)列的單調性與

函數(shù)單調性的區(qū)別.

以突破練2

（2020?某某八校聯(lián)考）已知等比數(shù)列｛a0｝的公比0>1,a=2,且為，a2,a,一8成等差數(shù)

9n—1.30+1

列，數(shù)列｛a.4｝的前〃項和為-------;———.

（1）分別求出數(shù)列｛&｝和｛&>｝的通項公式；

⑵設數(shù)列]玉的前〃項和為S,己知V〃GN*,SW以恒成立，某某數(shù)〃的最小值.

解析：（1）;為=2,且a,&,a一8成等差數(shù)列，

??2+838,

即2句+—8,q—2Q—3=0,

.,?<7=3或一19而0>1,??Q=3,

,??劣=2?3n~\

2〃一1?3”+l

丁a+a262H-----\-ab—

1nn2

<3iAi+S2&+,?,+an-\bn-\

2n—3?3”一】+1

=2，

兩式相減得ah=2n?3"T(/?22).

,.?&=2?3”—1，6〃=T?(〃22),

令77=1,可求得6i=l,:.bn=n.

(2),?,數(shù)列｛a｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,

...數(shù)歹是首項為1公比為4的等比數(shù)列，

4-佶)1

???s尸34[i—⑶/

3

WGN*,恒成立，故實數(shù)0的最小值為7

熱點四數(shù)列與傳統(tǒng)文化的交匯創(chuàng)新

數(shù)學數(shù)學建模一一數(shù)列實際應用中的核心素養(yǎng)

建模以學習過的數(shù)學知識為基礎，把現(xiàn)實生活中的實際問題通過“建?！鞭D化為數(shù)學

素養(yǎng)問題一一數(shù)列問題，進而通過數(shù)學運算來解釋實際問題，并接受實際的檢驗.

［例3］（2018?卷）"十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載靖最早用數(shù)學方法計算

出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,

依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都

等于飛區(qū).若第一個單音的頻率為￡則第八個單音的頻率為（）

A.^弟.3

C.12毋fD.12取f

［解析］D［由題意可知，單音的頻率構成以以=/"為首項，為公比的等比數(shù)列,

則&==f?（1軀）,=1折7f故選D.］

I思維升華I

涉及等比數(shù)列的數(shù)學文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中.解決這類問題的關鍵是將古代實際

問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題，掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前〃項和公式.

也突破練3

（2020?某某模擬）《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，全書收集了246個問題及

其解法，其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四

節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中

第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（）

17一7一

A.石-升B.］升

解析：A［自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為功，女,…，國,依題意有

己1+/+&+&=3,、3417、

因為a+a=81+2,&+4=2含，故e+&+為=77+1=7"，故選A.］

&+冬+含=4./J。

置課時作業(yè)?限時提能"速度練規(guī)范高效提能

限時45分鐘滿分74分

一、選擇題（本大題共7小題，每小題5分，共35分）

1.（2019?全國I卷）記S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和.已知&=0,與=5,貝lj（）

A.a=2〃-5B.劣=3〃-10

C.Sn=2nSnD.Sn=~n~2n

14功+6d=0,

解析：A[設｛&｝的公差為名貝仙?7解得4=—3,d=2.

〔&+4d=5,

?'?4=-3+（〃-1）?2=2〃-5,

,nn~\2-ar

Sn=—3n+---------X2=77—4/7,故選A.]

2.（多選題）設等比數(shù)列｛a｝的公比為仍其前〃項和為S,前刀項積為北，并且滿足條

Qn-1

件@1>1,&?外>1,----則下列結論正確的是（）

<38—1

A.B.ai,為>1

C.S的最大值為&D.北的最大值為方

解析：AD[本題考查等比數(shù)列的性質及前〃項積的最值.

&-1.

Vsi>l,&?為>1,---r<0,57>La<1,

為一1

.*.0<（7<b故A正確；&&=嗇<1,故B錯誤；

???功>1,0〈61,???數(shù)列為遞減數(shù)列，???s無最大值，故C錯誤，

又&>1,為<1,?,.7是數(shù)歹!1｛北｝中的最大項，故D正確.故選AD.]

3.（2020?某某模擬）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金筵，長五尺,

斬本一尺，重四斤，斬未一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金基，

長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，

問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上述的已知條件，若金維由粗到細是均勻變化的，問第二

尺與第四尺的重量之和為（）

A.6斤B.9斤

C.9.5斤D.12斤

解析：A[依題意，金筵由粗到細各尺的重量構成一個等差數(shù)列，設首項&=4,則a=

2,由等差數(shù)列的性質得色+a=@+a=6,所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤，故選A.]

4.（2020?荊州質檢）已知數(shù)列｛a｝滿足5a+1=25?5&，且&+&+為=9,則104（a+

2+a）等于（）

A.-3B.3

11

C.——D."

oo

解析：A[75^+1=25?5a=52+品，

??4+i=a+2,

???數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，且公差為2.

*.*/+2+a=9,

.*.3a4=9,&=3.

a+2+心)21一3.

5.（2020?豫西五校聯(lián)考）在等差數(shù)列｛%｝中，其前〃項和是S,若S5>0,5i6<0,則在

SS2

，，…，F(xiàn)中最大的是（)

3,1&

A國

A.-B.—

a為

515

D.—

.39315

解析：B［由于/=.名竺s=157>0,

1631+316

516-Q=8(a+&)<0,

可得金>0,H9Vo.

、、傳SS&WSo515

這樣一>0,—>0,…，一>0,—<0,—<0,…，一<0,

改3,8國510515

而0VSVSV…V&,ai>a2>,,,>as>0,

所以在"，—,…，邑中最大的是內.

&85備

故選B.］

6.（2020?某某聯(lián)考）數(shù)列｛aj是以a為首項，6為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝滿足4=1

+a+&+…+&(4=1,2,…),數(shù)列｛｝滿足=2+61+益+…+6〃(〃=1,2,…)，若｛｝為等比

數(shù)列，則己+6等于（）

A.4B.3

C.乖D.6

解析：B［由題意知，當6=1時，。不是等比數(shù)列,

所以6W1.由an=ati1',

,a1—I)aat)1

侍兒=1+—

貝U=2+1+不b1-6”

~1—1

abaa產

=2一~=—十一42,

1-b

ab

27-0,

1-b

要使。為等比數(shù)列，必有〈

l~b+a

.l-b=°

Q,~~1,

得a+6=3.]

b=2,

7.(2020?某某二調)已知為,女,a,a依次成等比數(shù)列，且公比。不為1,將此數(shù)列刪

去一個數(shù)后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等差數(shù)列，則正數(shù)1的值是()

.1+mR±1+V^

A.2B-2

±1+七

2

解析：B［因為公比1不為1,所以刪去的數(shù)不是&,以①若刪去&,則由2a3=a+&

得+又aWO,所以2/=1+/,整理得Q2(?—1)=(Q—1)(0+1),又qWl,

所以q=q+l,又q>0,得［=上9&②若刪去改,則由2/=4+&得+又

aWO,所以2。=1+",整理得？(?+1)(q—1)=2-1.又0W1,則可得°(°+1)=1,又q>0,

得打二^后

綜上所述，故選B.］

二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

8.(2020?資陽診斷)設數(shù)列｛2｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝是以1為

首項，2為公比的等比數(shù)列，則奶+----ba瓦值為.

nx

解析：依題意得a=2+(〃-1)X1=刀+1,4=1X2"T=2"T,abn=bn+l=2~+lf因此

1一o9V9

aAi+a&H---Fabw—(2°+1)+(2'+1)H----F(29+1)=-■~~+10=2‘°+9=1033.

1—L

答案：1033

9.(2019?卷)設等差數(shù)列｛aj的前〃項和為S.若為=-3,&=-10,則as=,

S?的最小值為.

解析：本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式、等差數(shù)列的性質，難度不大，注重重

要知識、基礎知識、基本運算能力的考查.

等差數(shù)列｛aj中，&=523=—10,得a3=—2,a2=—3,公差d=a「az=\,￡k=a-i+2d

=0,由等差數(shù)列｛aj的性質得時，a〃WO,時，為大于0,所以S的最小值為a或

&，即為一10.

答案：（1）0（2）-10

10.（2019?某某三模）設等差數(shù)列｛&｝的各項均為整數(shù)，其公差"0,劣=6,若我,a,

8（%>5）是公比為qG7>0）的等比數(shù)列，則/的值為.

解析：由a3am=*,（6—2中[6+（勿一5）d\=36,

得-2d\_5—5）d-3勿+21]—0

??,生0,???（力一5）d—3勿+21=0,

,30一216

:?d=----=3---

m—5m—5

由加>5,m,d￡Z知/一5為6的正約數(shù)

：.m—5可取1,2,3,6

當勿一5=1,〃=6時，d=-3,

a.561

。=工=6-26