根號型函數(shù)十二大值域問題匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題03根號型函數(shù)十二大值域問題匯總

anil

題型1單根式換元法..............................................................1

題型2單根式分離常數(shù)+基本不等式.................................................3

題型3單根式三角換元法..........................................................3

題型4單根式平方法..............................................................5

題型5單根式平方+判別式.........................................................6

題型6單根式單調性(求導法)....................................................6

題型7單根式幾何意義法..........................................................8

題型8雙根式平方法.............................................................12

題型9雙根式幾何意義法.........................................................15

題型10雙根式單調性............................................................17

題型11雙根式三角換元..........................................................18

題型12雙根式雙換元............................................................19

題型1單根式換元法

弟劃重點

換元法解含有根號的函數(shù)需要注意X的范圍

【例題1](2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=1+X-的值域為()

A,(-8,|]B.(-8,|)C.[|,+8)D.(|,+8)

【答案】A

【分析】換元設VT石=t,可得y=-i(t+l)2+2,再結合t>0與二次函數(shù)的范圍求

解即可.

【詳解】設VI-2%=t,則t20,久=,所以y=1+-t=(-t2-2t+3)=

-4t+1)2+2,因為t>0,所以y<I，所以函數(shù)y=l+x-代為的值域為(一8,|].

故選：A.

【變式1-1]1.(2019秋?吉林?高三輝南縣第一中學?？茧A段練習)函數(shù)/'(X)=x-后的

值域為()

A.B.[V2,+oo)

C.昌閭D.(-8,心]

【答案】A

【分析】利用換元法，轉化為求y=i(t-D2-誑[o,+8)上的值域，利用單調性法即可求

解.

【詳解】令^^=t(t20),則y=g/一t(t>0),

所以y=-1)2-誑[0,1]上單減，在[1,+8)上單增，所以最小值為-1

該函數(shù)的值域為卜+8).

故選：A.

【變式1-1]2.(2023?全國?高三對口高考)求函數(shù)y=x-后方的值域

【答案】最大值為]無最小值，值域(-8,芻

【分析】求得定義域，設廣五=tG[0,+oo),將函數(shù)轉化為關于t的二次函數(shù)，即可得

出值域；

【詳解】因為y=x-L^,所以1-2x20,解得xWJ

故定義域為,

*1,2

設一2%=te[0,+8),貝卜=,

所以y=-t=一#-1+|G(-co,1],

所以值域為(一8,勺.

【變式1-1】3.求函數(shù)y=Jr2一6%-5的值域

【答案】［0,2］

【分析】令1=-/一6x-5可得y=近，結合二次函數(shù)性質求得答案；

【詳解】令t=—x2—6x—S,??t>0,則—5<%<—1,

而亡=—%2-6x—5=—(x+3產(chǎn)+4,則0<t<4,

故y=V—%2—6x-5=Vt6［0,2］,

即y=-6%-5的值域為［0,2］；

題型2單根式分離常數(shù)+基本不等式

上年

小劃重點

分式與根號結合可以分離參數(shù)，再利用基本不等式

【例題2】求函數(shù)y=然的值域.

【解析】法1：令t=VFTT>0,所以x=~_1,則y=^1l=t+|>2.

法2:直接分離，利用基本不等式y(tǒng)=慧=需=d+意22.

題型3單根式三角換元法

#<?1f

可以寫出a-x2的形式，可以使用三角換元

【例題3】求函數(shù)y=x+VF三”的值域

【答案】［T咽

【分析】利用三角換元法，結合三角函數(shù)性質可求得答案；

【詳解】令71-x=u,u>0,則y=x+4V1-x=-u2+4u+1=-(u-2)2+5,

當a=2時，-Q-2產(chǎn)+5取到最大值5,無最小值，

故y=%+4"-x的值域為(一8,5］；

【變式3-1]1.（2023?全國?高三專題練習）求函數(shù)y=x+4+V5-爐的值域.

【答案】[4—V5,4+V10]

【分析】由題意令工=VScos/3,/?6[0刀],代入化簡可得y=V10sin（/?+》+4,再由三角

函數(shù)的性質即可得出答案.

【詳解】由5N0,，遍,可令%=遍cos0,0G[0,n]

原函數(shù)可整理為：y=正3sB+4+V5sin/?=VlOsinQ?+）+4

因為0</?<n,所以:</?+~<y,則一—<sin（/?+^）<1,

當S=g，ymax=4+VTU；當夕=RJmin=4一通，

所以函數(shù)y=%+4+75_%2的值域為[4-遍,4+V10].

【變式3-1]2.（2023?全國?高三專題練習）求函數(shù)y=xVl^7+/的值域.

[答案][1,竽]

【分析】由題意可設X=sina（|a|<》,貝！Jy=sinacosa+sin2a,由二倍角的正弦、余弦

公式化簡函數(shù)，再由三角函數(shù)的性質即可得出答案.

【詳解】因為函數(shù)y=x后三+/的定義域為1一/？o,即一1<x<i,

設x=sina（回<今，

原函數(shù)轉化為：y=sinacosa+sin2a=gsin2a+1（1—cos2a）=1+-ysin（2a—；）

因為|a|<5,所以,所以-乎<2a—^<Y，

所以一1<sin（2a所以等<y<^

所以函數(shù)y=/的值域為[1，等].

故答案為：|9,號9

【變式3-1]3.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=工-VT=記的值域為.

【答案】[-2V2,2]

【分析】函數(shù)y=x-V4-/中用三角換元％=2cos8(。G[O)TTJ),然后利用兩角和的余弦

公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，再由余弦函數(shù)的性質得取值范圍.

【詳解】由4-x2>0，得-2<x<2,

所以設x=2cos0(0€[0,n]),

貝Uy=2cos0-V4-4cos20=2cos0-2sin9

=2V2cos(0+—),

因為。+小內爭,

所以cos(0+E)w[-1,同，所以ye[-2V2,2].

故答案為：2；[-272,2].

題型4單根式平方法

、，*

*E劃重點

平方之后可以消去x2的式子，之后用y表示x,利用y與x的關系既可以求解值域

[例題4]函數(shù)f(x)=Vx2-3x+2+x的值域為.

【答案】[1,|)“2,+8).

【解析】令y-x=依_3x+2,兩邊平方，用y將X表示出來，結合y>x可求出y的取值范圍.

(y>x2

【詳解】解:設v=Vx2-3x+2+招則y-X=〃2—3x+2所以”一匕2，即y2沼整理

(_2y-3'

得y73y；220解得]?y<|或y22

zy-3L

故答案為:.[1,1)U[2,+00).

【點睛】本題考查了函數(shù)值域的求法.對于根式函數(shù)求值域時，若/(x)=小茂可用換元法

【變式4-1]求函數(shù)y=x+7^二1的值域

2(y>x

【解析】移項平方得：(y-X)=/-1,y'x所以之小2，解得-lWy<。

{X~~y

或yN1

故答案為:?[—1,0)U[l,4-oo).

題型5單根式平方+判別式

中恂重點

平方之后可以不能消去X2的式子，可以利用基本不等式。

[例題5]函數(shù)y=奈的值域是

【解析】由題意％6[-1,1],y^O,y2=上J,令t=x+2,(也可以不令t)則y2=半空，

(2-VX)'

即爐+1*_牝+3=0,其判別式公=16-12(y2+l)>0,所以y?3]因為y1，

所以y6[0,^]o

【變式5-1]已知y=3x+V/-2x,求該函數(shù)的值域.

【解析】由題意x22或者X40,移項平方式使用根的判別式，y-3x=衍F,平方

2

(y—"ix)=x2—2%化簡得，8x2+(-6y+2)x+y2=0,A=(—6y+2)2—4x8y2>0,

解得y>3+2&或者y<3-2V2，又因為x22，所以y>6，綜上：y>6或者y<3-242,

值域為(但，3-2V2]U[6,+網(wǎng)

題型6單根式單調性(求導法)

華!我重點

判斷根號函數(shù)的單調性，進而求解出值域

【例題6](2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x-1)=x+77^1，貝[|()

A.“X)=x+?B./(x)的定義域為［0,+8)

c.f(x)有極大值D./(x)的值域為［0,+8)

【答案】B

【分析】利用換元法可判斷A選項，利用分母大于等于0即可判斷B選項，利用函數(shù)的單

調性即可判斷CD選項

【詳解】對于A,令t=%-1,即工=t+1,

所以-1)=X+7x-1可整理得/'(t)=t+1+Vt，所以/(x)=X+Vx+1，故A錯誤；

對于B，要使f(x)=x+y+1有意義，只需x>0，故八支)的定義域為［0,+8)，故B正確；

對于C,因為y=x和y=正在定義域內單調遞增,所以"%)=x+正+1在［0,+8)內單調

遞增，故八%)沒有極大值，故C錯誤；

對于D,由C可得/Wmm=fW=1，所以f(x)的值域為［1,+8),故D錯誤；

故選：B

【變式6-1］1.(2021秋?安徽?高三合肥市第八中學校聯(lián)考階段練習)若函數(shù)y=

后上(a>0,aH1)的定義域和值域都是［0,1］,則loga2=()

A.—1B.\”D.l

【答案】D

【分析】分類討論a的取值范圍，結合單調性和值域求出a,進而得解.

【詳解】當a>1時，y=7a-a'為減函數(shù),a-產(chǎn)20,解得x<1,因為函數(shù)y=/(x)=

的定義域和值域都是［0,1］,故/'(0)=Va-1-1,/(1)=y/a-a-0，解得a=2,

log22=1；

當aG(0.1),y=-a*為增函數(shù),a-ax>0,解得x>1,不符合題意，

故a=2,log22=1.

故選：D

【變式6-1]2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=向函+J2kos||，則/(x)

的最小正周期為；當xe[Q]時，/(尤)的值域為;

【答案】n陽2"

【分析】先根據(jù)函數(shù)周期性的定義說明7T是函數(shù)f(x)=J2|sinj|+內鬲的一個周期，

在利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，從而證明兀是最小正周期；

根據(jù)函數(shù)/(x)=J2|sinf|+」2|cos,的單調性可求得最大值,再比較％G玲兀]時端點處的

函數(shù)值大小，即可求得答案.

【詳解】因為/0+汗)=卜而守'+12|cos等]=12卜嗚|+^2|cos||=/(x),

故X=兀為/(%)的一個周期，

而當％6(0,兀)時r/(%)=usin|+MCOS|,

由題意可知/■'(>)=V2C0Sx2)\i一((叫.x)\i

令((x)=0,得cos：=sin；,故：=W,x=E

因為當Xe(o,9時，r(x)>o,當Xe仔，兀)時,f'M<o,

故f(x)在(0,5上單調遞增，在&兀)上單調遞減，故/⑺的最小正周期為TT,

且/(x)在上的最大值為/?=2J,而八兀)=&,f(§=1+

故/圖〉2>/(7T),故當xG(Q)時，函數(shù)/CO的值域為陣,23

故答案為：n；[V2,2i]

題型7單根式幾何意義法

利用幾何意義求解值域問題，擅長與解析幾何的知識點進行結合

【例題7](2022?全國?高三專題練習)函數(shù)y=旨的值域是

【答案】[o,身

【分析】將哥看作是單位圓上半部分的點M(x,y)與4(-2,0)所連直線AM的斜率，即

可通過數(shù)形結合討論值域范圍

【詳解】設函數(shù)f(x)=哥，令y=VT中，則點M(x,y)位于一個單位圓x軸的上半部

分，如圖所示.

將函數(shù)/⑺=需改寫為/⑺=號，則表示定點4(-2,0)與點M(x,y)所連直線AM

的斜率.

當直線MA與上半單位圓相切時，在直角三角形MOA中,MO=1,OA=2,^MAO=30°,

所以=tan30°=f又心。=0所以“X)6[0,/即函數(shù)y=宗的值域為[o,f].

【變式7-1]1.(2022秋?河南洛陽?高三洛陽市第一高級中學校考階段練習)函數(shù)f(久)=

2%—3—V—-+6%—8的值域是.

【答案】[3-強5]

【分析】將函數(shù)r(x)=2x-3-T-x?+6x-8的值域轉化為y-J1-1x-3尸與y=2x-

3-t有交點時的t的取值范圍，利用數(shù)形結合法求解.

【詳解】解:f(x)=2x—3—V—x2+6x—8—2x—3-.y1—(x—3)z,

由-/+6x-8>0,解得2<x<4,

令"t=2x-3-J1-2—3)2,即J1—(x-3尸=2x-3-t,

將函數(shù)/'(x)=2x-3-7—好+6%-8的值域轉化為y=4\一。一3尸與y=2x-3-t有

交點時的t的取值范圍,

在同一坐標系中作函數(shù)y=Jl_(x_3)2與y=2x-3-t的圖象如圖所示：

由圖象知：當直線y=2x—3-t與半圓(x-3)2+y2=1相切時，t最小，

蜩篇=1，解得t=3土遍，由圖象知"3-的，

當直線y=2x-3-t過點4(4,0)時，t最大,此時t=5,

所以tG[3-V5,5],即/Xx)的值域是[3-6,5],

故答案為：[3-V5,5]

【變式7-1]2.函數(shù)/(無)=寫合的值域為()

A.[-*1]B..[-1,0]C.[0,1]D.[0,|]

【答案】C

【答案】令x=cose,0G[O,n],則f(x)=g(8)=翳3的幾何意義是單位圓(在x軸及其上

方)上的動點M(cosd,sine)與點A(2,1)連線的斜率k,由圖像，得04k41,即函數(shù)

f(x)的值域為[0,1]，故選C

點睛：本題考查利用三角代換，直線的斜率公式求函數(shù)的值域，解決本題的關鍵有兩個，一

是利用的形式和平方關系聯(lián)想到三角代換，二是由也*的形式聯(lián)想到過兩點的直線

cosd—2

的斜率公式，充分體現(xiàn)了代數(shù)、三角函數(shù)、解析結合間的有機結合.

【變式7-1】3.函數(shù)y=的值域為_.

【答案】(，手]

【分析】先根據(jù)條件求出x的范圍，再令x-2=cos0,利用三角換元法結合三角函數(shù)的值

域即可求出結論.

【詳解】-x2+4x-3=-(x-2)2+1>0=>1<X<3.

令x-2=cos0且[0,n]

.y=又寸=絲巖，表示兩點(-3,-3)和(cosO⑸n0)的斜率,cos2e+sin29=

X+lCOStf,To

1,0G[0,7rj,故點(cos0,sine)在單位圓的上半部分.

如圖，斜率最小為"=；，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率產(chǎn)「*毀=-1

-3-14cos。-(-3)cos6

(1

sinO+cosO=——

3

化簡得+cose=--,由(cos2e+Sin2-6=1,0e[O,TT],解得sin。=此二,cosd=

-1<cosd<06

I0<sind<1

w二故切線的斜率為"士"=罌士.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域為《，

6cose-(-3)、乙工+34

故答案為：日，手]

【點睛】本小題主要考查含有根式的函數(shù)的值域的求法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,

考意數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

題型8雙根式平方法

平方后可以消去未知數(shù)x即可.

【例題8］（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)y=y+的值域為

【答案】［跖2網(wǎng)

【分析】將函數(shù)兩邊同時平方，然后利用二次函數(shù)的性質求值域即可.

【詳解】由已知得函數(shù)y=?+痣。的定義域為［0,6］,

???y=?+\6—X,

y2—(y/x+V6-x)=6+27x(6-x),

又x(6—%)=—(x—3)2+9,xE,[0,6]

???x(6—x)6[0,9],

.?16+27x(6-x)G[6,12],Xy>0,

???yG[V6,2V3]

故答案為：[V6,2V3].

【變式8-1]1.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=GT+01V的值域為

【答案】［百，何

【分析】先求函數(shù)的定義域，由于y>0，在結合二次函數(shù)性質和根式的性質求函數(shù)的值域.

【詳解】由y=有意義可得｛；；：：；,所以一2<x<1,

y=V1-X+-2+x的定義域為[—2,1],

=J(V1—x+V24-%)2=Jl—x+2+%+2V1—%-,2+%

y

-%+2+3=+*3

設t=-(X+3)，則te卜g,o],y=Jt+：+3,則ye[V3,V6].

故答案為：[V3,N/6].

【變式8-1]2.(2022秋?江西贛州?高三?？奸_學考試)下列說法正確的是()

A.y=y/x-1-Vx-3的值域為(-8,回

B.y=Vx+，4-％的最大值為2

C.y=lg(x2-2x-3)的單調遞增區(qū)間為(1,+8)

D.函數(shù)y=#上的最小值為一"

2-cosx3

【答案】D

【分析】對于A:整理得y==—,定義域[3,+8)上單調遞減，利用單調性判斷結合

X/X—1+yX-S

不等式性質判斷最值；對于B:利用不等式誓<a2+爐求最值；對于C：根據(jù)定義域結

合復合函數(shù)單調性判斷；對于D：利用斜率進行轉化，數(shù)形結合判斷最值.

【詳解】???｛：[《〉貝上23,即丫=-斤功的定義域為[3,+8),

y=Vx-1-Vx-3=]_:^在定義域⑶+8)上單調遞減，

VX—l-t-yX—3

當％=3時取到最大值企,且V%-1>-3即〃一1-yjx-3>0,

.?.該函數(shù)的值域為(0,回，A錯誤；

叵手式W(五)2+(/^)2=4,則4+在^W2夜

當且僅當a=『7即x=2時等號成立，B錯誤；

'.'X2—2x—3>0,貝!Jx>3^x<—1,

即y=lg(x2-2x-3)的定義域為(-8,-1)U(3,4-00),

根據(jù)復合函數(shù)單調性可知y=lg(x2-2x-3)的單調遞增區(qū)間為(3,+8),C錯誤；

三g可以理解為以。為圓心，半徑為1的圓。上的動點P(cosx,sinx)與定點4(2,0)所構成直

線P4的斜率，

如圖可得：相切時取到最大值，此時直線P4的傾斜角為三，斜率k=T，

o3

二函數(shù)y=—的最小值為-4，D正確；

2-COSX3

故選：D.

【變式8-1】3.(多選I2021秋江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習)5知定義在R上的函數(shù)f(x)=

|V1+sin2x—V1-sin2x|，貝!J()

A./(-x)=f(x)B?/(x+])=/(x)

C.f(x)的值域[0,2]D./(x)>2cosx的解集為冷+2"號+2kn],keZ

【答案】AB

【分析】利用函數(shù)奇偶性、周期性定義判斷選項A,B;求出函數(shù)f(x)的值域判斷選項C;

舉特例判斷選項D作答.

【詳解】依題意,/(—x)=|V1—sin2x—+sin2x|=|V1+sin2x—V1—sin2x|=/(%)r

A正確；

/(%+1)=|Jl+sin(2x+TT)—y/1—sin(2x+7r)|=|V1-sin2x-V14-sin2x|=/(x),B

正確；

/(%)=/(Vl4-sin2x—V1—sin2x)2=J2-21cos2%|E[0,^2],C不正確；

因當x=:時，/(：)=V2,2cos：=V2,即x=:是f(x)>2cosx的一個解，而:Cg+

2/C7T,+2k.it］,kGZ,D不正確.

故選：AB

【點睛】思路點睛：正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：Q)定義域關

于原點對稱是函

數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件;⑵f(-x)=-f(x威f(-x)=f(x)是定義域上的恒等

式.

題型9雙根式幾何意義法

木劃重點

雙根式可以轉化為兩點間的距離公式，與解析幾何進行結合求解.

【例題9］求函數(shù)y=y/x2+1+J(2-x)2+4的值域.

【答案】最小值,無最大值，值域［后,+8)

【分析】求得定義域，將函數(shù)轉化為點(％0)到點(0,1)和(2,-2)距離和的范圍，即可得出值

域.

【詳解】因為47率I+V(2-x)2+4=V(x-0)2+(0-I)2+—2尸+(0+2尸,

所以y=V%2+1+J(2-久)2+4表示點(x,0)到點(0,1)和(2,-2)距離和的范圍,

所以y>J(0-2尸+(1+2)2=V13,

故值域為［g,+8).

【變式9-1］1.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=Vx2-2x+5-疹=赤TH的值

域為

【答案】［-△夜)

【分析】將問題化為X軸上點C到4(1,2)與B(2,3)距離差的范圍，利用三角形三邊關系及絕對

值不等式，討論端點情況，即可得值域.

【詳解】由題設y=’(%-1尸+(0-2尸-―2尸+(0―3尸,

所以所求值域化為求x軸上點C到4(1,2)與B(2,3)距離差的范圍，如下圖示，

由圖知：||C川一|CB||<\AB\,即一|4B|<\CA\-\CB\<\AB\,

當G4B三點共線且4在C,B之間時，左側等號成立；

當CM,B三點共線且B在CM之間時，右側等號成立，顯然不存在此情況；

所以-|4即<\CA\-\CB\<\AB\,即y=\CA\-\CB\e\-\AB\,\AB\)=[-V2,V2),

所以函數(shù)值域為[-a,企).

故答案為:S

【變式9-1]2,(2022?寧夏石嘴山?中學校考一模)某同學在研究函數(shù)/(X)=

4E+一6刀+10的性質時,受到兩點間距離公式的啟發(fā)，將f(x)變形為/(x)=

J(無一0產(chǎn)+(0-1)2+3"+(0+1》,則f(x)表示|P川+|PB|(如圖),

則：①f(x)的圖象是中心對稱圖形；

②/(X)的圖象是軸對稱圖形；

③函數(shù)f(x)的值域為MX+8)；

④函數(shù)/■(%)在區(qū)間(-8,3)上單調遞減；

上述關于函數(shù)f(x)的描述正確的序號為

【答案】②③

【分析】數(shù)形結合求出f(x)值域即可判斷①③，根據(jù)A、B縱坐標互為相反數(shù)知A、B關于

AB與x軸的交點或0)對稱，由此可得/(|-x)=/(|+x)，由此可知f(x)關于久=獅對稱，

數(shù)形即可即可判斷其單調性.

【詳解】由于伊川+|PB|的最小值為|力引=次+(1+1)2=V13,."(x)的值域為［g,

+8),由函數(shù)的值域可知，函數(shù)的圖象不可能為中心對稱圖形，故①錯誤，③正確；

A、B縱坐標互為相反數(shù)，故A、B關于AB與x軸的交點(|,0)對稱，如圖設P(|-x,0),

則APBP，為平行四邊形，故|PA|+\PB\=\P'A\+\P'B\,即/'(|一x)=f(|+x),故f(x)的

圖象關于x=次寸稱，故函數(shù)是軸對稱圖形，故②正確；

??/⑺的圖象關于x=，寸稱，且由圖可知f(x)在(-8,|］單調遞減，在［|,+8)單調遞增，

故④錯誤.

故答案為：②③.

題型10雙根式單調性

小恂重點

通過直接判斷函數(shù)的單調性，或者求導之后判斷函數(shù)的單調性進行求解，需要注意求出函數(shù)

的定義域。

【例題101求函數(shù)y=4+^/7^I的值域.

【解析】由題意得，X21,y=4+*1,單調遞增，所以yz1,

【變式10-1】1.求函數(shù)y=V7=+^的值域.

【解析】由題意得，y'=占-泰=：等答所以，函數(shù)在（-9,-1）上遞減，在（-1,

7）上遞增，加公=^,ymin=4,所以值域為[4,4V2]

【變式10-1】2.（2022?全國?高三專題練習）求函數(shù)f（x）=VT石+，X2—4X—12的值

域.

【答案】[3,+8）

【分析】先求得/（X）的定義域，再根據(jù)函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)值域.

【詳解】由5-2x之0,且/一4x-1220,解得％<-2，故該函數(shù)的定義域為（一%-2],

又該函數(shù)在定義域內單調遞減，所以當x=-2時，函