2023年中考數(shù)學一輪復習 銳角三角函數(shù)(含解析)

2023年中考數(shù)學一輪專題練習一一銳角三角函數(shù)

一、單選題（本大題共10小題）

1.（天津市2022年）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.—D.@

23

2.（陜西省2022年（A卷））如圖，AD是,ABC的高，若2cD=6,tanZC=2,

則邊A3的長為（）

3.（吉林省長春市2022年）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重

機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A,變幅索的底端記為點B,AD垂直地面,

垂足為點。，BCLAD,垂足為點C.設=下列關系式正確的是（）

D.sin」

BCABACAB

4.（湖北省荊州市2022年）如圖，在平面直角坐標系中，點A,2分別在x軸負半軸和

y軸正半軸上，點C在上，OC:BC=1:2,連接AC,過點。作。AB交AC的延

長線于P.若P（U）,則tan/Q4P的值是（）

5.（四川省廣元市2022年）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，4、

B、C、。都在格點處，與相交于點尸，則cos/APC的值為（）

A.正B.述C.-D.巡

5555

6.（湖北省江漢油田、潛江、天門、仙桃2022年）由4個形狀相同，大小相等的菱形組

成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，點A,B,C都在格點上，ZO=60°,則

7.（貴州省黔東南州2022年）如圖，PA,尸8分別與I。相切于點A、B,連接尸。并

延長與交于點C、D,若CD=12,上4=8,則sin/ADB的值為（)

A

4334

A.-B.—C.—D.一

5543

8.（云南省2022年）如圖，已知A3是。。的直徑，CO是00的弦，AB^\CD.垂足為

E.若A3=26,CD=24,則NOCE的余弦值為（）

9.（湖南省湘潭市2022年）中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個

全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦

圖”.若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1,。為直角三角形中的一

個銳角，則tane=（）

10.（黑龍江省省龍東地區(qū)2022年）如圖，正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點。,

點尸是CO上一點，OE_LOF交BC于點E,連接AE,交于點P,連接OP.則下

列結(jié)論：①AELBF；②/0上4=45。；③AP-BP=?OP;④若BE:CE=2:3,貝I

41

tanZCAE=~；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABC。面積的了.其中正確的結(jié)論是

74

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

二、填空題（本大題共12小題）

11.（廣東省2022年）sin30。的值為_.

12.（山東省濱州市2022年）在RfzvlBC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則sinA=_.

13.（江蘇省揚州市2022年）在AABC中，ZC=9O°,a、b、c分別為/A、NB、/C的

對邊，若b'ac,則sinA的值為.

4

14.（湖南省益陽市2022年）如圖，在RtAABC中，NC=90。，若sinA=1,則cos3

A

15.（江蘇省常州市2022年）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZABC=90°,平分

ZADC.若AD=1,CD=3,則sinZABD=_.

16.（四川省涼山州2022年）如圖，是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)C。上點。反射

后照射到2點，若入射角為a,反射角為B（反射角等于入射角），

8。_1。。于點。，且AC=3,BD=6,CD=12,則tana的值為—.

17.（黑龍江省綏化市2022年）定義一種運算；sin（a+/?）=sinacos#+cosasin￡,

sin（a->0）=sinacosP-cosasin（3,例如：當a=45。，#=30。時，sin（45°+30°）=

立X也+包」="+逝,則Sinl5。的值為—.

22224—

18.（江蘇省連云港市2022年）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，ABC的頂點A、B、C

都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA=—.

19.（山東省泰安市肥城市汶陽鎮(zhèn)初級中學2021-2022學年）如圖，矩形A3CD中，點G,

E分別在邊BCOC上，連接AG,EG,AE,將一ABG和一ECG分別沿AG,EG折疊，使點

B,C恰好落在AE上的同一點，記為點F.若CE=3,CG=4,貝|sin/ZME=—.

AD

E

BGC

20.（廣西河池市2022年）如圖，把邊長為1：2的矩形A8CO沿長邊8C,49的中點

2

E,尸對折，得到四邊形點G,”分別在BE,EF上，且BG=EH=BE=2,

AG與BH交于點0,N為AF的中點，連接。N,作。交AB于點連接MN,

則tan/AMN=.

21.（四川省涼山州2022年）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。。是AABC的外接

圓，點A,B,。在格點上，則cosNACB的值是—.

22.（湖南省湘西州2022年中考數(shù)學試卷）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長

度與一個角余弦值關系的數(shù)學定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第

三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，/A、ZB.

NC所對的邊分別為氏c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去

這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.

用公式可描述為：a2—b2+c2-2bccosA

b2—a2+c2-2accosB

c2=a2-\-b2-2abeosC

現(xiàn)已知在△ABC中，AB=3,AC=4,ZA=60°,貝U8C=.

三、解答題（本大題共9小題）

23.（湖南省湘西州2022年中考數(shù)學試卷）計算：V16-2tan45°+|-3|+（兀-2022）

24.（2022年西藏中考數(shù)學真題試卷）計算：|-V2|+（1）°-A/8+tan450.

25.（湖南省岳陽市2022年）計算：卜3|-2tan45。+（-1）2儂_（后-］）。.

26.（湖南省株洲市2022年）計算：（-l）2022+V9-2sin30°.

27.（2022年四川省樂山市中考數(shù)學真題）sin30°+V9-2-'

28.（湖南省常德市2022年中考數(shù)學試題）計算：3°2sin30。+場cos45。

29.（浙江省湖州市2022年）如圖，已知在中，NC=90。，AB=5,BC=

3.求AC的長和sinA的值.

B

/i312

30.（黑龍江省哈爾濱市2022年）先化簡，再求代數(shù)式+1卜口的值,

其中x=2cos450+l.

31.（黑龍江省哈爾濱市2021年）先化簡，再求代數(shù)式（吃-字的值，其中

\a-la-\）a-1

6Z=2sin45°-l.

參考答案

1.【答案】B

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)定義：正切=對邊與鄰邊之比，進行求解.

【詳解】

作一個直角三角形，ZC=90°,ZA=45°,如圖：

CA

：.ZB=90°-45°=45°,

.,.△ABC是等腰三角形，AC=BC,

.?.根據(jù)正切定義，tanZA=1g=l,

■AC

ZA=45°,

，tan45°=l,

故選B.

2.【答案】D

【分析】

先解直角ABC求出AO,再在直角中應用勾股定理即可求出AB.

【詳解】

解：VBD=2CD=6,

：.CD=3,

,直角「ADC中，tan/C=2,

AD=CD-tanZ.C=3x2=6,

直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=y/AD2+BD2=^62+62=672.

故選D.

3.【答案】D

【分析】

根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】

VBC±AC,

???ZVIBC是直角三角形,

???NABC=a,

..AC

..sina=,

AB

故選：D.

4.【答案】c

【分析】

由p(l,l)可知，。尸與無軸的夾角為45。，又因為OP〃AB,貝|JQ4B為等腰直角形，設

OC=x,OB=2x,用勾股定理求其他線段進而求解.

【詳解】

點坐標為(1,1),

則。尸與無軸正方向的夾角為45。，

又：OP//AB,

則/氏4。=45。，04B為等腰直角形，

：.OA=OB,

設OC=x,貝！JOB=2OC=2x,

則OB=OA=3X9

ocx1

：.tanNQAP=——

OA3x3

5.【答案】B

【分析】

把AB向上平移一個單位到。E,連接CE,則。E〃AB,由勾股定理逆定理可以證明

△OCE為直角三角形，所以cos/APC=cos/￡OC即可得答案.

【詳解】

解：把AB向上平移一個單位到OE,連接CE,如圖.

則DE//AB,

：.ZAPC=ZEDC.

在△Z)CE中，有EC=d*+f=5DC=@+42=2#>，E>E=732+42=5>

EC2+DC2=5+20=25=DE2,

ADCE是直角三角形，且4>CE=90。，

cosZAPC=cosZEDC=-----=------.

DE5

故選：B.

6.【答案】C

【分析】

證明四邊形AOBC為菱形，求得NABC=30。，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】

解：連接A。，如圖：

:網(wǎng)格是有一個角60。為菱形，

LAOD,&BCE、4BCD、"CD都是等邊三角形，

：.AD=BD=BC=AC,

四邊形ADBC為菱形，且/OBC=60。，

ZABD=ZABC=30°,

tanZABC=tan30°=——.

3

故選：C.

7.【答案】A

【分析】

連結(jié)根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=P8,OP平分/A尸8,OP±AP,再證

AAPD^/XBPD(SAS),iiEZAOP=ZADP+ZOAD=ZADP+ZBDP=ZADB,

利用勾股定理求出"=履+”2=10，最后利用三角函數(shù)定義計算即可.

【詳解】

解：連結(jié)。4

VPA,PB分別與；。相切于點A、B,

：.PA=PB,OP平分NAP8,OPLAP,

：.ZAPD=ZBPD,

在ZkAPD和ABP。中，

AP=BP

<ZAPD=ZBPD,

AD=AD

：?〉APD絲〉BPD(SAS)

:./ADP=/BDP,

9

：OA=OD=6f

：.ZOAD=ZADP=ZBDP,

：.ZAOP=ZADP+ZOAD=NADP+ZBDP=ZADB,

在RtAAO尸中，OP=yjo^+AP1=10，

8.【答案】B

【分析】

先根據(jù)垂徑定理求出CE=；CD,再根據(jù)余弦的定義進行解答即可.

【詳解】

解：是。。的直徑，ABSCD.

：.CE=-CD=12,ZOEC=90°,OC」AB=13,

22

CF12

cosZOCE=—~

OC13

故選：B.

9.【答案】A

【分析】

首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結(jié)合題意進一步設直角

三角形短的直角邊為a,則較長的直角邊為。+1,再接著利用勾股定理得到關于。的方

程，據(jù)此進一步求出直角三角形各個直角邊的邊長，最后求出tancr的值即可.

【詳解】

:小正方形與每個直角三角形面積均為1,

大正方形的面積為5,

???小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為指，

設直角三角形短的直角邊為“，則較長的直角邊為。+1,其中。>0,

a2+(a+l)2=5,其中a>0,

解得：ai=\,。2=-2(不符合題意，舍去)，

故選：A.

10.【答案】B

【分析】

分別對每個選項進行證明后進行判斷：

①通過證明DOF-COE(ASA)得到EC=F。，再證明EACqFaD(SAS)得到

ZEAC=ZFBD,從而證明/3尸。=/4。。=90°,即AELM；

②通過等弦對等角可證明ZOPA=ZOBA=45°；

③通過正切定義得1皿4出場=黑=黑，利用合比性質(zhì)變形得到AP-BP=華魯，再通過

ABAPBE

證明AOPs,板得至|JCE=笠羋，代入前式得AP_BP=OP：E誓,最后根據(jù)三角形

AOAO-BE

面積公式得到AEBP=ABBE,整體代入即可證得結(jié)論正確；

④作EGLAC于點G可得EG〃8。，根據(jù)tanNG!E=^=,設正方形邊長為

ACrAC-CO

3

5a,分別求出EG、AC.CG的長，可求出tanNC4E=,,結(jié)論錯誤；

⑤將四邊形OECb的面積分割成兩個三角形面積，利用DOF^COE(ASA),可證明S幽

邊形OECF=SACOE+SaCOF：SADOF+SACOF=SACOD即可證明結(jié)論正確.

【詳解】

①;四邊形ABCO是正方形，。是對角線AC、的交點，

：.OC=OD,OCLOD,ZODF=ZOCE=45°

■:OELOF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=90°

：.ZDOF=ZEOC

在^DOF與公COE中

ZODF=ZOCE

<OC=OD

ZDOF=NEOC

ADOF^COE(ASA)

：.EC=FD

EC=FD

???在△EAC與^FBD中</ECA=ZFDB=45°

AC=BD

：..EAC^^FBD(SAS)

，/EAC=/FBD

又,：4BQP=/AQO

：.ZBPQ=ZAOQ=90°

：.AE±BF

所以①正確；

②；ZAOB=ZAPB=90°

...點尸、。在以AB為直徑的圓上

是該圓的弦

=班=45°

所以②正確；

③—嗡嗡

ABAP

AB-BEAP-BP

BEBP

AP-BPCE

BP~~BE

CEBP

AP-BP=

BE

ZEAC=ZOAP,ZOPA=ZACE=45°

AOP^^AEC

OPAO

~CE~HE

OPAE

CE=

AO

OPAEBP

AP-BP=

AOBE

-AEBP=-ABBE=S

22

AEBP=ABBE

OPABBE

AP-BP==*=ap

AOBE

所以③正確;

④作EGLAC于點G,貝UEG〃8。,

.EGCECG

設正方形邊長為5a,貝ij3C=5a,OB=OC=^a,

RF2

若BE:CE=2:3,貝10=丁，

CE3

.BE+CE2+3

??CE3

,CE_3

**BC-5

：.EG^.OB=^a=^

BC522

VEGLAC,ZACB=45°,

???NGEC=45。

：.CG=EG=-a

2

3四

-----Q

FGEG3

tan/CAE=——

AGAC-CG5缶一號a7

所以④錯誤;

⑤?.?DOFCOE(ASA),S四邊形OECF=SaCOE+S^COF

四邊形

:.SOECF=SADOF+SACOF=SACOD

,**S^COD=—s正方形鉆8

??S四邊形0ECF=正方形MS

所以⑤正確；

綜上，①②③⑤正確，④錯誤,

故選5

11.【答案】I

【詳解】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可：sin30o=g.

故答案為：力

12.【答案】］12

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，進而利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)關系，即可

得出答案.

【詳解】

解：如圖所示：

VZC=90°,AC=5,BC=U,

???AB=V52+122=13,

.?.sinA=^=12

AB13

12

故答案為：—.

13.【答案】-1+'

2

【詳解】

解：如圖所示：

在中，由勾股定理可知：片+〃=/,

QC=/，

a2+ac=c2f

a>0,b>0,c>0,

求出q=二!土@或色=二115（舍去），

c2C2

，在MABC中：sinA=-=~1+^

c2

故答案為：士好.

2

4

14.【答案】y

4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到cos3=sinA=1.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,

BC4

~AB7

???cos”生4

AB?

4

故答案為：—.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，由定義可推出互余兩角的三角函數(shù)的關系：若

ZA+ZB=90°,則sinA=cos5,cosA=sinB.熟知相關定義是解題關鍵.

15.【答案】漁

6

【分析】

過點。作BC的垂線交于E,證明出四邊形AB￡D為矩形，△3CD為等腰三角形，由

勾股定理算出OE=百，BD=R即可求解.

【詳解】

解：過點。作3c的垂線交于E,

:.ZDEB=90。

ZA=ZABC=9Q°f

，四邊形ABED為矩形,

:.DE//AB,AD=BE=1,

:.ZABD=ZBDE,

QBQ平分/APC,

:.ZADB=NCDB,

ADUBE,

:.ZADB=ZCBD,

：.ZCDB=ZCBD

CD=CB=3，

AD=BE=1,

CE=2,

:.DE=yjDC2-CE2=y/9^4=y[5>

:.BD^ylDE2+BE2=V5+1=V6

..BE1V6

..sin//BRDnEF===—,

BDV66

/.sinZABD=,

6

故答案為：

6

4

16.【答案】1

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得4=。，/8=6，從而可得NA=/B,

再根據(jù)相似三角形的判定證出△AOC△BOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OC的長，

然后根據(jù)正切的定義即可得.

【詳解】

解：如圖，由題意得：OP1CD,

ACLCD,

.-.ACOP,

:.ZA=a,

同理可得：NB=/3,

a=B，

.?.ZA=N5,

fZA=ZB

在△AOC和,5?！踔?，〈,

[ZACO=ZBDO=90°

:._AOCBOD,

.PCAC

'~OD~~BD'

AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD-OC,

.OC3

,n-oc~69

解得OC=4,

經(jīng)檢驗，OC=4是所列分式方程的解，

加A4

貝Utana=tanA=-O--C-=—,

AC3

17.【答案】瓜一亞

4

【分析】

根據(jù)sin（?一/3）=sinccos刀-cosasin分代入進行計算即可.

【詳解】

解：sinl5o=sin（45o-30o）

sin45°cos30°-cos45°sin30°

6■粗垃1

XX—

2---222

^6A/2

~4T

A/6—V2

4

故答案為：理二立

4

18.【答案】1

【分析】

如圖所示，過點C作CELA8于E,先求出CE,AE的長，從而利用勾股定理求出AC

的長，由此求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，過點C作CELAB于E,

由題意得CE=4,AE=3,

AC=\/AE2+CE2=5>

7

19.【答案】1

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得GE=5,BC=AD=8,ffiMRtAEGF-RtAEAG,

25

求得=再利用勾股定理得到DE的長，即可求解.

【詳解】

矩形ABCD中，GC=4,CE=3,ZC=90°,

GE=VGC2+CE2="+32=5，

AD

根據(jù)折疊的性質(zhì)：BG=GF,GF=GC=4,CE=EF=3,ZAGB=ZAGF,ZEGC=ZEGF,

ZGFE=ZC=90°,

???BG=GF=GC=4,

???BC=AD=8,

ZAGB+ZAGF+ZEGC+NEGF=180。，

AZAGE=90°,

RtAEGF~RtAEAG,

EF53

.EG——，即nn——=一

-EAEGEA5

7

DF67

.??sin/DAE=——=4=—,

AE2525

T

7

故答案為：—.

20.【答案】-##0.625

8

【分析】

先判斷出四邊形A8EF是正方形，進而判斷出△ABG四得出

ZBAG=ZEBH,進而求出NAO2=90。，再判斷出△ABG,求出

OA=-^=,OB=-^,再判斷出△08/?△OAN,求出BM=1,即可求出答案.

【詳解】

解：：點E,尸分別是BC,的中點,

AF=-AD,BE=-BC,

22

:四邊形ABC。是矩形，

AZA=90°,AD//BC,AD=BC,

：.AF=BE=-AD,

2

...四邊形ABE尸是矩形,

由題意知，AD=2AB,

.AF=AB,

?矩形ABEb是正方形，

.AB=BE,ZABE=ZBEF=90°,

*BG=EH,

?△ABGmABEH(SAS),

?NBAG=NEBH,

?NBAG+NA50=NE5〃+NA30=NA5G=90。，

.ZAOB=90°,

?BG=EH=：BE=2,

.BE=5,

.AF=5,

?AGNAB^+BG2=曬,

,ZOAB=ZBAG,ZAOB=ZABG,

.△AOBsAABG,

OAOBABOAOB_5

.布=前=就‘n即n丁=三=質(zhì)’

.OA=^L,OB=-^=,

,29V29

9OMLON,

?NMON=9()o=NAOB,

.ZBOM=ZAON,

*ZBAG+ZFAG=90°,ZABO^-ZEBH=90°,NBAG=NEBH,

?ZOBM=ZOANf

?XOBM?匕OAN,

OBBM

#04-A2V?

?點N是A尸的中點，

10

:?要=空，解得:

BM=\,

A/292

：.AM=AB-BM=4f

5

,/…浦4V25.

tanZ.AMN----=—=—

AM48

故答案為：￡

O

21.【答案】口叵

13

【分析】

取AB中點。，由圖可知，AB=6,AD=BD=3,OD=2,由垂徑定理得則

I---------------I-—-「0D22^/13小、/

OB=yjoD2+BD-=V22+32=V13-cosZDOB=—=-==——＞再證

(JD,1313

ZACB=ZDOB,即可解.

【詳解】

解：取A2中點。，如圖，

由圖可知，AB=6,AD=BD=3,OD=2,

：.OD±AB,

：.Z0DB=9Q°,

?1一~;--------r「—-「/OD22V13

??0B~VOD1+BD2=A/22+32=A/13?cosZDOB=——,

OD。1313

'：OA=OB,

：.NBOD=g/AOB,

:ZACB=^ZAOB,

：.ZACB=ZDOB,

：.cosZACB=cosZDOB==^,

13

故答案為：巫.

13

22.【答案】713

【分析】從閱讀可得：BC2^AB2+AC2-2ABAC-cosA,將數(shù)值代入求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意可得，

A

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA

=32+42-2x3x4?cos60°

=13,

??BC=J13)

故答案為：y/13-

【點睛】本題考查了閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識，解決問題的關鍵

是公式的具體情景運用.

23.【答案】6

【分析】先計算算術平方根、絕對值、零指數(shù)募、特殊角三角函數(shù)值，再合并即可.

【詳解】解：原式=4-2x1原+1

=4-2+3+1

=6

【點睛】此題考查的是算術平方根、絕對值、零指數(shù)塞、特殊角三角函數(shù)值，掌握其

運算法則是解