數(shù)論模塊(教師版)

教師：教師：學(xué)生：上課時(shí)間：2013年月日:-:上課地點(diǎn)：校區(qū)上課進(jìn)度：第講數(shù)論模塊綜合復(fù)習(xí)知識(shí)框架知識(shí)框架一．質(zhì)數(shù)與合數(shù)1．根本概念一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù)).一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).考點(diǎn)：⑴值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn).⑵除了2和5，其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.；；；；；；；；.3.判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對(duì)于不太大的p，我們可以先找一個(gè)大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒(méi)有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).二、約數(shù)與倍數(shù)1．1求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15．求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求．求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；③．先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求．例如：注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：3.1求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè)。(包括1和1400本身)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過(guò)程是建立在開(kāi)篇講過(guò)的數(shù)字“唯一分解定理”形式根底之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一局部?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先告訴一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原數(shù)“復(fù)原構(gòu)造”出來(lái)，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。3.2求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。三、余數(shù)問(wèn)題三大余數(shù)定理：a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×1=3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.假設(shè)兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：a≡b(modm)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：假設(shè)兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，那么a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整數(shù)，即m|(a－b)中國(guó)剩余定理一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。先由，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個(gè)”倍數(shù)是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：，其中k是從1開(kāi)始的自然數(shù)。也就是說(shuō)滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。例如對(duì)上面的問(wèn)題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計(jì)算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。四、位值原理位值原理的定義：同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫(xiě)的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“2”,寫(xiě)在個(gè)位上，就表示2個(gè)一，寫(xiě)在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原那么，稱為寫(xiě)數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。五、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比方二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、……，二進(jìn)制數(shù)也可以寫(xiě)做展開(kāi)式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進(jìn)制的運(yùn)算法那么：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)算法那么是“逢n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四那么混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示。十進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制六、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。，那么p能被整除。1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4〔或8〕除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個(gè)完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)〔1，5，9〕時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)〔0，4〕時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為6時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個(gè)位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個(gè)“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點(diǎn)公式回憶：平方差公式：

例題精講例題精講兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是多少.因?yàn)楹蜑槠鏀?shù)，所以這兩個(gè)數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個(gè)是，另一個(gè)是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口。如果a，b均為質(zhì)數(shù)，且，那么______.根據(jù)題意a,b中必然有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)不符合題意，所以.【例2】三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù).設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個(gè)為11，不妨記為，那么，整理得()()，又，對(duì)應(yīng)的、或、或、(舍去)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11.三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)．設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是、、，滿足，那么可知、、中必有一個(gè)為7，不妨記為，那么，整理得，又，對(duì)應(yīng)的2、9(舍去)或3、5，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)可能是3，5，7現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無(wú)法求最大公約數(shù)．只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析．三個(gè)數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)．因?yàn)?，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111，所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比方取三個(gè)數(shù)為101，101和909．所以所求數(shù)是101．10個(gè)非零不同自然數(shù)的和是1001，那么它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？設(shè)M為這10個(gè)非零不同自然數(shù)的最大公約數(shù)，那么這10個(gè)不同的自然數(shù)分別可以表示為：，其中那么根據(jù)題意有：因?yàn)?0個(gè)不同非零自然數(shù)的和最小為55，所以M最大可以為13數(shù)360的約數(shù)有多少個(gè)?這些約數(shù)的和是多少?360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=××5；360的約數(shù)可以且只能是××,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．因?yàn)閍、b、c的取值是相互獨(dú)立的,由計(jì)數(shù)問(wèn)題的乘法原理知,約數(shù)的個(gè)數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我們先只改動(dòng)關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,,它們的和為(1+3+),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)××；我們?cè)賮?lái)確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,,,它們的和為(1+2++)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×5w；最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×(1+5)．于是,我們計(jì)算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170．兩個(gè)數(shù)都是只含質(zhì)因數(shù)3和5，它們的最大公約數(shù)是75，有12個(gè)約數(shù)，有10個(gè)約數(shù)，求與的和．因?yàn)?，如果設(shè)，，那么中較小的數(shù)是1，中較小的數(shù)是2．由于一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)等于它分解質(zhì)因數(shù)后每個(gè)質(zhì)因數(shù)的次數(shù)加1的乘積．所以，．又，，由于，所以，那么，，得到，．那么，得到，所以，，．一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去1以外另外兩個(gè)約數(shù)之和為9，由于9是奇數(shù)，所以這兩個(gè)約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)。于是2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個(gè)兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個(gè)數(shù)只能是14或98，其中有6個(gè)約數(shù)的是98．如果你寫(xiě)出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍．現(xiàn)有一個(gè)整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？設(shè)整數(shù)n除掉約數(shù)1和n外，最小約數(shù)為a，可得最大約數(shù)為，那么．那么3、5、a都為n的約數(shù)．因?yàn)閍是n的除掉約數(shù)1外的最小約數(shù)，那么．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以滿足條件的整數(shù)n有60和135．在1到100中，恰好有6個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？，故6只能表示為或，所以恰好有6個(gè)約數(shù)的數(shù)要么能表示成某個(gè)質(zhì)數(shù)的5次方，要么表示為某個(gè)質(zhì)數(shù)的平方再乘以另一個(gè)質(zhì)數(shù)，100以內(nèi)符合前者的只有32，符合后者的數(shù)枚舉如下：所以符合條件的自然數(shù)一共有個(gè)．恰有8個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)有________個(gè)．根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，先將8進(jìn)行分解：，所以恰有8個(gè)約數(shù)的數(shù)至多有3個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后的形式可能為，，．其中由于，所以形式的沒(méi)有符合條件的兩位數(shù)；形式中，B不能超過(guò)3，即可能為2或3，有、、、、，共5個(gè)；形式的有、、、、，共5個(gè)．所以共有個(gè)符合條件的數(shù)．用某自然數(shù)去除，得到商是46，余數(shù)是，求和．因?yàn)槭堑谋哆€多,得到，得，所以，．【穩(wěn)固】甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)．(法1)因?yàn)榧滓遥约滓乙乙乙?；那么乙，甲乙?法2)將余數(shù)先去掉變成整除性問(wèn)題，利用倍數(shù)關(guān)系來(lái)做：從中減掉以后，就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的倍，所以得到乙數(shù)，甲數(shù)．一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè)自然數(shù)是_________.設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以11余，除以9余，那么有，即，只有，，所以這個(gè)自然數(shù)為?！纠?】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).這個(gè)題沒(méi)有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)．，，，的約數(shù)有，所以這個(gè)數(shù)可能為。有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個(gè)數(shù).【解析】(法1)，，，12的約數(shù)是，因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù)．，，，所以這個(gè)數(shù)是．【例4】一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以19后所得到的商與余數(shù)的和．那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，它除以17和19的商分別為和，余數(shù)分別為和，那么．根據(jù)題意可知，所以，即，得．所以是9的倍數(shù)，是8的倍數(shù)．此時(shí)，由知．由于為三位數(shù)，最小為100，最大為999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍數(shù)，所以最小為9，最大為54．當(dāng)時(shí)，，而，所以，故此時(shí)最大為；當(dāng)時(shí)，，由于，所以此時(shí)最小為．所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154．【例5】與的和除以7的余數(shù)是________．找規(guī)律．用7除2，，，，，，…的余數(shù)分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)時(shí)，用7除的余數(shù)為1；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多1時(shí)，用7除的余數(shù)為2；2的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)多2時(shí)，用7除的余數(shù)為4．因?yàn)?，所以除?余4．又兩個(gè)數(shù)的積除以7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以7所得余數(shù)的積相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故與的和除以7的余數(shù)是．【穩(wěn)固】求的余數(shù)．因?yàn)?，，，根?jù)同余定理(三)，的余數(shù)等于的余數(shù)，而，，所以的余數(shù)為5．【例6】被除所得的余數(shù)是多少？31被13除所得的余數(shù)為5，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，那么除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當(dāng)n取1，2，3，時(shí)，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【例7】一個(gè)大于1的數(shù)去除290，235，200時(shí)，得余數(shù)分別為，，，那么這個(gè)自然數(shù)是多少？根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290，233，195時(shí)，得到相同的余數(shù)〔都為〕．既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0．那么這個(gè)自然數(shù)是的約數(shù)，又是的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和1，而這個(gè)數(shù)大于1，所以這個(gè)自然數(shù)是19．【例1】某三位數(shù)和它的反序數(shù)的差被99除，商等于______與______的差；此題屬于根底型題型。我們不妨設(shè)a＞b＞c。(-〕÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；與的差被9除，商等于______與______的差；(-〕÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；【例2】.原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1，那么111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；進(jìn)而推知c＝3，d=4所以=1234。一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，那么所有這樣的四位數(shù)之和為多少．設(shè)這樣的四位數(shù)為，那么，即，那么或2．⑴假設(shè)，那么，得，，；⑵假設(shè)，那么，由于，所以，所以，故為9，，那么為偶數(shù)，且，故，由為偶數(shù)知，，；所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個(gè)，其和為：．【例3】有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫(xiě)在它的前面，那么可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫(xiě)在它的后面，那么可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫(xiě)一個(gè)數(shù)碼3，那么可得到一個(gè)四位數(shù)．將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于．求原來(lái)的兩位數(shù)．設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)是，那么得到的兩個(gè)三位數(shù)分別為和，四位數(shù)為，由題知，即，，故．如果把數(shù)碼5加寫(xiě)在某自然數(shù)的右端，那么該數(shù)增加，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A。設(shè)這個(gè)數(shù)為x，那么10x+5-x=，化簡(jiǎn)得9x=，等號(hào)右邊是9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得A=1，x=1234?！纠?】①________；②；③；④________；⑤假設(shè)，那么________．①對(duì)于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制：；②可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來(lái)計(jì)算：；如果對(duì)進(jìn)制的知識(shí)較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(duì)進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是2，可得；③此題涉及到3個(gè)不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下．統(tǒng)一到十進(jìn)制比擬適宜：；④十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方法叫“湊整法”，在進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整．原式；⑤假設(shè)，那么，經(jīng)試驗(yàn)可得．將二進(jìn)制數(shù)(11010.11)2化為十進(jìn)制數(shù)為多少？根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法，(11010.11)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。此處老師在講解的時(shí)候可以適當(dāng)?shù)耐貙?，各種進(jìn)制之間小數(shù)局部的轉(zhuǎn)化方法。根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對(duì)照表：八進(jìn)制數(shù)01234567二進(jìn)制數(shù)000001010011100101110111試求(2-1)除以992的余數(shù)是多少?我們通過(guò)左式的短除法，或者直接運(yùn)用通過(guò)2次冪來(lái)表達(dá)為2進(jìn)制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=我們知道在2進(jìn)制中一定能整除 (1111100000)2，于是我們注意到，所以=因?yàn)槟苷?1111100000)2，所以余數(shù)為(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余數(shù)為63。計(jì)算除以26的余數(shù)．題中有3的次冪，令人聯(lián)想到將題中的數(shù)轉(zhuǎn)化成3進(jìn)制下的數(shù)再進(jìn)行計(jì)算．，而，所以，．由于整除，，所以余．所以除以26的余數(shù)為8．【附加思考題】設(shè)是質(zhì)數(shù)，證明：，，…，被除所得的余數(shù)各不相同．【例1】是的平方．，，原式．下面是一個(gè)算式：，這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？判斷一個(gè)數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的平方，首先要觀察它的個(gè)位數(shù)是多少．平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方數(shù)的個(gè)位數(shù)．這個(gè)算式的前二項(xiàng)之和為3，中間二項(xiàng)之和的個(gè)位數(shù)為0，后面二項(xiàng)中每項(xiàng)都有因子2和5，個(gè)位數(shù)一定是0，因此，這個(gè)0算式得數(shù)的個(gè)位數(shù)是3，不可能是某個(gè)數(shù)的平方．【例2】1016與正整數(shù)a的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，那么a的最小值是________．先將1016分解質(zhì)因數(shù)：，由于是一個(gè)完全平方數(shù)，所以至少為，故a最小為．恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是。，要使是某個(gè)自然數(shù)的平方，必須使各個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，