有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

一、有理數(shù)的基礎(chǔ)知識1、三個重要的定義（1）正數(shù)：像1、2.5、這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“－”號，表示比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)；（3）0即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是一個具有特殊意義的數(shù)字，0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，不是表示不存在或無實(shí)際意義。概念剖析：=1\*GB3①判斷一個數(shù)是否是正數(shù)或負(fù)數(shù)，不能用數(shù)的前面加不加“+”“－”去判斷，要嚴(yán)格按照“大于0的數(shù)叫做正數(shù)；0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)”去識別。=2\*GB3②正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用：正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量。=3\*GB3③所有正整數(shù)組成正整數(shù)集合；所有負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)組成整數(shù)集合；=4\*GB3④常常有溫差、時差、高度差(海拔差)等等差之說，其算法為高溫減低溫等等；2、有理數(shù)的概念及分類整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)的分類如下：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)符號分類：概念剖析：=1\*GB3①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也就是說如果一個數(shù)是有理數(shù)，則它就一定可以化成整數(shù)或分?jǐn)?shù)；=2\*GB3②正有理數(shù)和0又稱為非負(fù)有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和0又稱為非正有理數(shù)=3\*GB3③整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)部分為0或小數(shù)部分不為0的小數(shù)，但并不是所有小數(shù)都是有理數(shù)，只有有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；3、數(shù)軸標(biāo)有原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸。數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度。畫一條水平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。在數(shù)軸上所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即從數(shù)軸的左邊到右邊所對應(yīng)的數(shù)逐漸變大，所以正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。概念剖析：=1\*GB3①畫數(shù)軸時數(shù)軸的三要素原點(diǎn)、正方向、單位長度缺一不可；=2\*GB3②數(shù)軸的方向不一定都是水平向右的，數(shù)軸的方向可以是任意的方向；=3\*GB3③數(shù)軸上的單位長度沒有明確的長度，但單位長度與單位長度要保持相等；=4\*GB3④有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到點(diǎn)與之對應(yīng)，一般地，設(shè)是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是個單位長度；表示數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是個單位長度。=5\*GB3⑤在數(shù)軸上求任意兩點(diǎn)a、b的距離L,則有公式，這兩個公式選擇那個都一樣。4、相反數(shù)如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，互為相反的兩個數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩則，并且與原點(diǎn)的距離相等。概念剖析：=1\*GB3①“如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”，不要茫然的認(rèn)為“如果兩個數(shù)符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”。=2\*GB3②很顯然，數(shù)的相反數(shù)是，即與互為相反數(shù)。要把它與倒數(shù)區(qū)分開。=3\*GB3③互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)一個在原點(diǎn)的左邊，一個在原點(diǎn)的右邊，且離原點(diǎn)的距離相等，也就是說它們關(guān)于原點(diǎn)對稱。=4\*GB3④在數(shù)軸上離某點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)有兩個。=5\*GB3⑤如果數(shù)和數(shù)互為相反數(shù)，則+=0；或；=6\*GB3⑥求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面加上“—”即可；例如的相反數(shù)是；5、絕對值數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)的絕對值。（1）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。（2）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；0的絕對值是0；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可用字母a表示如下：（3）兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。概念剖析：=1\*GB3①“一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離”，而距離是非負(fù)，也就是說任何一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即。=2\*GB3②互為相反數(shù)的兩個數(shù)離原點(diǎn)的距離相等，也就是說互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等。二、有理數(shù)的運(yùn)算1、有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。（2）有理數(shù)加法的運(yùn)算律：加法的交換律：a+b=b+a；加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)知識窗口：用加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分?jǐn)?shù)先相加；把符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加。2、有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（2）有理數(shù)減法常見的錯誤：顧此失彼，沒有顧到結(jié)果的符號；仍用小學(xué)計算的習(xí)慣，不把減法變加法；只改變運(yùn)算符號，不改變減數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù)。（3）有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算；概念剖析：減法是加法的逆運(yùn)算，用法則“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”即可轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化后它滿足加法法則和運(yùn)算律。3、有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0。（2）有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：交換律：ab=ba；結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；交換律：a(b+c)=ab+ac。（3）倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1，那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。概念剖析：=1\*GB3①“兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”不要誤認(rèn)為成“同號得正，異號得負(fù)”=2\*GB3②多個有理數(shù)相乘時，積的符號確定規(guī)律：多個有理數(shù)相乘，若有一個因數(shù)為0，則積為0；幾個都不為0的因數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)來決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正。=3\*GB3③有理數(shù)乘法的計算步驟：先確定積的符號，再求各因數(shù)絕對值的積。4、有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，0不能做除數(shù)。這個法則可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0。概念剖析：=1\*GB3①除法是乘法的逆運(yùn)算，用法則“除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”即可轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后它滿足乘法法則和運(yùn)算律。=2\*GB3②倒數(shù)的求法：求一個整數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個數(shù)分之一，即的倒數(shù)為；求一個真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒一下即可，即的倒數(shù)為；求一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)。注意：0沒有倒數(shù)。5、有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)的乘方的定義：求幾個相同因數(shù)a的運(yùn)算叫做乘方，乘方是一種運(yùn)算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運(yùn)算，記做“”其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同因數(shù)的個數(shù)，它所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a，乘方的結(jié)果叫做冪。（2）正數(shù)的任何次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)，0的任何非0次冪都是0，1的任何非0次冪都是1，偶數(shù)次冪是1、奇數(shù)次冪是；概念剖析：=1\*GB3①“”所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a；=2\*GB3②。因為表示個相乘，而表示個的相反數(shù)；=3\*GB3③任何數(shù)的偶次冪都得非負(fù)數(shù)，即。6、有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及運(yùn)算順序。比較復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段，計算時，先從每段的乘方開始，按順序運(yùn)算，有括號先算括號里的，同時要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算。（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級的運(yùn)算，再算低一級的運(yùn)算；二是要注意觀察，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，以提高運(yùn)算速度及運(yùn)算能力。7、科學(xué)記數(shù)法（1）把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。（2）與實(shí)際完全符合的數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)，與準(zhǔn)確數(shù)接近的數(shù)叫做近似數(shù)。一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。（3）一個數(shù)，從左邊第一個不是的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止（最末尾一位），所得的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。概念剖析：=1\*ROMANI把一個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，為自然數(shù)，=1\*GB3①當(dāng)時，為這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；例如：用科學(xué)記數(shù)法表示得，它滿足，（的整數(shù)部分有6位數(shù)）；=2\*GB3②當(dāng)時，為0；例如：用科學(xué)記數(shù)法表示得；=3\*GB3③當(dāng)時，為由變到的過程中小數(shù)點(diǎn)移動位數(shù)的相反數(shù)；=4\*GB3④科學(xué)記數(shù)法既然是將很大的數(shù)或很小的數(shù)一種簡單的記數(shù)方法，那么就在記數(shù)的過程中不能出現(xiàn)幾百、幾千、幾萬或幾百分之一、幾千分之一、幾萬分之一等等詞出現(xiàn)。=2\*ROMANII