2024年中考數(shù)學復習（全國版）專題08 一元二次方程及其應用【九大題型】（舉一反三）（解析版）

專題08一元二次方程及其應用【九大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的解法】 2【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】 4【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】 6【題型4一元二次方程的應用之平均增長（下降）率問題】 8【題型5一元二次方程的應用之幾何圖形的面積問題】 10【題型6一元二次方程的應用之與漲價、降價有關的商品利潤問題】 13【題型7中考最熱考法之以開放性試題的形式考查解一元二次方程】 16【題型8中考最熱考法之以開放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】 19【題型9中考最熱考法之以真實問題情境考查一元二次方程的實際應用】 22【知識點一元二次方程】1.定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。2.一元二次方程的解法(1)直接開方法。適用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：①化簡——把方程化為一般形式，并把二次項系數(shù)化為1；②移項——把常數(shù)項移項到等號的右邊；③配方——兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫成完全平方的形式；④開方，即降次；⑤解一次方程。(3)公式法。當b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根可寫為：的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。，②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。③b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)根。定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。3.一元二次方程與實際問題解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟：第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。第2步：設未知數(shù)。根據(jù)題意及各個量的關系設未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個量的關系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應的解法。第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！绢}型1一元二次方程的解法】【例1】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2【答案】x1=-1【分析】直接開方可得2x+3=-3x【詳解】解：∵(2∴2x+3=-3解得x1=-1，【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于靈活選取適當?shù)姆椒ń夥匠蹋咀兪?-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）解方程：xx【答案】x1=2【分析】先移項得到xx【詳解】解：x移項得：xx分解因式得：x-∴x-2=0或解得：x1=2，【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式1-2】（2023·吉林·中考真題）解方程：x【答案】x1＝2，x2＝83【分析】先根據(jù)完全平方公式因式分解，再運用平方差公式因式分解解答即可．【詳解】解：xxxx（2-x）（3x-8）=02-x=0或3x-8=0則x1＝2，x2＝83【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，正確進行因式分解成為解答本題的關鍵．【變式1-3】（2023·山東·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問題．（1）根據(jù)要求，解答下列問題．①方程x2－2x＋1＝0的解為________________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為________________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為________________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為________________________；②關于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗證猜想結論的正確性．【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2【分析】（1）觀察這些方程可得，方程的共同特征為二次項系數(shù)均為1，一次性系數(shù)分別為－2、－3、－4，常數(shù)項分別為1，2，3．解的特征：一個解為1，另一個解分別是1、2、3、4、…，由此寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的方法直接寫出答案即可；（3）用配方法解方程即可.【詳解】（1）①x1②x1③x1（2）①x1②x2（3）x2x2x2－9x＋814＝－8＋(x－92)2＝∴x－92＝±7∴x1【點睛】本題考查解一元二次方程.根據(jù)系數(shù)和解的特征找出規(guī)律是解題的關鍵.【題型2根據(jù)一元二次方程判斷根的情況】【規(guī)律方法】判斷一般形式為一元二次方程根的情況時，使用根的判別式“b2-4ac”判斷，若方程形式為（mx+n）2=p,則可利用以下方法判斷：當p＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當p=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當p＜0，方程沒有實數(shù)根.【例2】（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程x2+mxA．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】對于ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ>0,【詳解】解：∵x2∴Δ=所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．【變式2-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程x(1)求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)若x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且x2【答案】(1)見解析(2)25或1【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關系，只要判定Δ≥0（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到x1+x2=2【詳解】（1）證明：∵關于x的一元二次方程x2∴a=1，b=-2∴Δ=∵4m-1∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程∴x1+x∵x2∴x1∴(2m-1)2-3m∴m的值為25或1【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯(lián)系、一元二次方程根與系數(shù)的關系是解決問題的關鍵．【變式2-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得到關于x的方程為x2【詳解】解：∵k-∴x2∴x2∴Δ=b∴方程x2故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數(shù)運算，正確得到關于x的方程為x2【變式2-3】（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點P(a,c)在第四象限，則關于x的一元二次方程A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定【答案】B【分析】根據(jù)點P(a,c)在第四象限得a>0,c【詳解】解：∵點P(∴a>0,∴ac<0∴方程ax2+∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：B．【點睛】本題考查了點坐標的特征，根的判別式，解題的關鍵是掌握這些知識點．【題型3根據(jù)根的情況判斷字母的取值或范圍】【例3】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍；(2)當k=1時，用配方法【答案】(1)k>-2(2)x1=3+【分析】（1）根據(jù)題意，可得2k（2）將k=1代入k【詳解】（1）解：依題意得：k≠0解得k>-25（2）解：當k=1時，原方程變?yōu)椋簒則有：x2∴x∴x∴方程的根為x1=3+14【點睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關鍵．【變式3-1】（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）已知關于x的一元二次方程ax2+6x+1=0【答案】a【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進行求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax∴Δ=解得：a>9故答案為：a>9【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵.【變式3-2】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程x2+bx+cA．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情況可得b2【詳解】∵關于x的一元二次方程x2∴Δ∴b2故選：A.【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．【變式3-3】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元二次方程kx2-2xA．k<13 B．k≤13 C．k<【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．【詳解】解：∵kx∴k≠0∵該一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴Δ=解得k≤∴k≤13故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關鍵是熟知當判別式的值大于0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，同時要滿足二次項的系數(shù)不能是0．【題型4一元二次方程的應用之平均增長（下降）率問題】【例4】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】(1)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人【分析】（1）設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進行求解即可；（2）設5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意，列出不等式進行計算即可．【詳解】（1）解：設這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由題意，得：1.61+解得：x=0.25=25答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25%（2）設5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，由題意，得：2.125+10y解得：y≤0.1∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．【點睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實際應用，找準等量關系，正確的列出方程和不等式，是解題的關鍵．【變式4-1】（2023·湖北武漢·校考模擬預測）某種產(chǎn)品預計兩年內(nèi)成本將下降36％，則年平均下降率為．【答案】20%【分析】可以設成本為1，降低以后的成本=降低前的成本（1-降低率），設年平均下降率為x，則降低一次以后的成本是(1-x)，降低二次后的成本是(1-【詳解】設成本為1，年平均下降率為x，依題意列方程：(1-x)2解得x1=0.2=20%，x2答：年平均下降率為20%．故答案為：20%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，在題目沒有告訴某個量的情況下，可以把這個量設為1，無單位．本題用增長率（下降率）的模型列方程．【變式4-2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學生養(yǎng)成熱愛圖書的習慣，某學校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學校用于購買圖書的費用為5000元，2022年用于購買圖書的費用是7200元，求2020-2022年買書資金的平均增長率．【答案】20【分析】設2020-2022年買書資金的平均增長率為x，根據(jù)2022年買書資金=2020年買書資金×1+【詳解】解：設2020-2022年買書資金的平均增長率為x，由題意得：50001+解得x=0.2=20%或答：2020-2022年買書資金的平均增長率為20%【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．【變式4-3】（2023·遼寧沈陽·中考真題）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請你預測4月份該公司的生產(chǎn)成本．【答案】（1）每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【分析】（1）設每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率），即可得出結論．【詳解】（1）設每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），答：預測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系，列式計算．【題型5一元二次方程的應用之幾何圖形的面積問題】【例5】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m

A．5m B．70m C．5m或70【答案】A【分析】設小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為100-2xm，寬為50-2xm【詳解】解：設小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為100-2xm依題意得：100-2解得：x1=5，∴小路寬為5m故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2

【答案】AB的長為8米或10米【分析】設AB=x米，則AD=BC=【詳解】解：設AB=x米，則12解得：x1答：AB的長為8米或10米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式5-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為a?cm、b?

【答案】1【分析】設頁邊距為xcm【詳解】解：設頁邊距為x則列方程為：(16-2x解得：x1=1，答：頁邊距為1cm【點睛】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系列方程式解題的關鍵．【變式5-3】（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=am,AD

（1）如圖1，若a=5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2sm2，則【答案】66+42/【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計算即可．（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉化為a一元二次方程，判別式為零計算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為s=abm∵a=5，邊AD減少1∴5+1b解得b=6故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得，起始長方形的面積為s=abm∴2s=a∴2s∴2s∴2a∵有且只有一個a的值，∴Δ=∴s2解得s1故答案為：6+42【點睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應用，正確轉化為一元二次方程是解題的關鍵．【題型6一元二次方程的應用之與漲價、降價有關的商品利潤問題】【例6】（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）為加快新舊動能轉換，提高公司經(jīng)濟效益，某公司決定對近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進行降價促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時售出，根據(jù)市場調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價定為200元時，每天可售出300個；若銷售單價每降低1元，每天可多售出5個．已知每個電子產(chǎn)品的固定成本為100元，問這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為多少元時，公司每天可獲利32000元？【答案】銷售單價為180元時，公司每天可獲利32000元【分析】根據(jù)題意設降價后的銷售單價為x元，由題意得到（x-【詳解】解：設降價后的銷售單價為x元，則降價后每天可售出[300+5（依題意，得：（x整理，得：x2解得：x1180＜答：這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為180元時，公司每天可獲利32000元．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的實際應用.【變式6-1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）石獅一水果店銷售的蘆柑，每箱進價40元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱銷售價格：售價為50元時，平均每天可售出90箱；售價高于50元時，每提高1元，平均每天銷售量將減少3箱．(1)若每箱售價55元，則平均每天該蘆柑的銷售量為______箱；(2)已知當?shù)毓ど滩块T規(guī)定：蘆柑的售價每箱不得高于60元．設該店提價x（元），平均每天的銷售利潤為w（元）．①當天盈利w為1152元時，求x的值；②當x為何值時，w取得最大？最大值是多少．【答案】(1)75(2)①當提價6元時，商店獲得利潤1152元；②當x=10時，w取得最大，最大值為1200【分析】（1）根據(jù)題意，“售價高于50元時，每提高1元，平均每天銷售量將減少3箱”，求解即可；（2）①根據(jù)題意，求得提價x（元）后的利潤，列出方程求解即可；②求得利潤w與x的關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：每箱銷售價55元，銷售量為90-55-50（2）①由已知得，50+x整理得：x解得，x1=14，∵售價每箱不得高于60元，∴x經(jīng)檢驗：x2答：當提價6元時，商店獲得利潤1152元．②w=∴當x=10時，w有最大值，最大值為1200，且50+10=60答：當x=10時，w取得最大，最大值為1200【點睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意，正確列出方程和函數(shù)解析式．【變式6-2】（2023·山西·中考真題）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）設每千克核桃降價x元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程求解即可；（2）為了讓利于顧客因此應下降6元，求出此時的銷售單價即可確定幾折．【詳解】解：（1）設每千克核桃應降價x元根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240化簡，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應降價4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應降價6元此時，售價為：60﹣6=54（元），54答：該店應按原售價的九折出售．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題目中的等量關系列出方程．【變式6-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設T恤的銷售單價提高x元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應提高多少元？（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）2元；（2）當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元【分析】（1）根據(jù)題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）設利潤為M元，結合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計算得利潤最大值對應的x的值，從而得到答案．【詳解】（1）由題意列方程得：（x＋40-30）（300-10x）＝3360解得：x1＝2，x2＝18∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，故舍去∴T恤的銷售單價應提高2元；（2）設利潤為M元，由題意可得：M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝-10∴當x＝10時，M最大值＝4000元∴銷售單價：40＋10＝50元∴當服裝店將銷售單價50元時，得到最大利潤是4000元．【點睛】本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【題型7中考最熱考法之以開放性試題的形式考查解一元二次方程】【規(guī)律方法】以開放性性的形式考查直接解一元二次方程，解題時可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題，有利于培優(yōu)策略性思維?！纠?】（2023·新疆·二模）請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x-1=0；②x2-【答案】①x1=-1+2，x2=-1-2；②x1=0，x2=3；【分析】①③利用配方求解即可；②④利用因式分解法求解即可．【詳解】解：①x2移項得x2配方得x2+2x則x+1=±∴x1=-1+2②x2因式分解得xx則x=0或x解得x1=0，③x2配方得x2-4則x-∴x1=2+22④x2因式分解得x+2則x+2=0或x解得x1=-2，【點睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．【變式7-1】（2023·浙江·中考真題）我們已經(jīng)學習了一元二次方程的四種解法：因式分解法，開平方法，配方法和公式法．請從以下一元二次方程中任選一個，并選擇你認為適當?shù)姆椒ń膺@個方程．①x2-3x+1=0；②(x-【答案】①x=3±52；②x=1±3；③x【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接開平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配方法求解即可；【詳解】解：①x2∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴x=3±52②(x∴x-1=±∴x1③x2∴x（x-3）=0∴x=0或x=3∴x1=0，④x∴x∴x-∴x∴x【變式7-2】（2023·北京·北京市第五中學分校?？寄M預測）在初中階段我們已經(jīng)學習了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x-1=0；

②x2-3x【答案】①x1=-1+2，x2=-1-2；②x1=0，x2=3；【分析】根據(jù)方程的系數(shù)特點，選擇配方法、公式法或因式分解法．【詳解】解：①x2移項得x2配方得x2+2x則x+1=±∴x1=-1+2②x2因式分解得xx則x=0或x解得x1=0，③x2配方得x2即x-則x-∴x1=2+22④x2因式分解得x+2則x+2=0或x解得x1=-2，【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法是解決本題的關鍵．【變式7-3】（2023·北京朝陽·二模）請從以下四個一元二次方程中任選三個，并用適當?shù)姆椒ń膺@三個方程．（1）3x2-2x-1=0；（2）(y我選擇第__________小題．【答案】（1）x1=1,x2=-13；（2）y1【分析】此題主要考查了因式分解法以及求根公式法解一元二次方程；根據(jù)題意任選三個方程求解即可．（1）直接利用一元二次方程的求根公式法解方程即可；（2）利用直接開平方法解一元二次方程即可；（3）直接利用十字相乘法分解因式解一元二次方程即可；（4）直接利用提取公因式法分解因式解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）3x∵a=3,b=-2,∴x=解得：x1（2）(y∴y+1∴y+1=±2解得：y1（3）t2∴t-∴t-7=0或解得：t1（4）m(∴mm即m=0或m解得：m【題型8中考最熱考法之以開放性試題的形式考查一元二次方程根的判別式】【例8】（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程x2-4x+2【答案】2（答案不唯一）【分析】由于方程有實數(shù)根，則其根的判別式Δ≥0，由此可以得到關于a的不等式，解不等式就可以求出a【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=即16-8a解得：a≤2∴a的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）．【點睛】本題考查一元二次方程ax2+bx+c=0【變式8-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．【答案】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）b=-2，a=1時，x1=x2=﹣1．【分析】（1）求出根的判別式Δ=b（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則Δ=b2-4ac【詳解】（1）解：由題意：a≠0∵Δ=∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）答案不唯一，滿足b2-4解：令a=1，b=-2，則原方程為解得：x1【點睛】考查一元二次方程ax2+當Δ=b當Δ=b當Δ=b【變式8-2】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程x2+2x+4【答案】-2【分析】先根據(jù)關于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有兩個不相等的實數(shù)根得到【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=解得c<當c=-2故答案為：-2【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握當Δ=b2【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設一元二次方程x2+bx+①b=2,c=1；②b=3,c=1；注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】選②，x1=-3+52，x【分析】先根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：x2+bx①b=2,c=1②b=3,c=1③b=3,c=-1④b=2,c=2因此可選擇②或③．選擇②b=3,x2Δ=x=x1=-選擇③b=3,x2Δ=x=x1=-【點睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，解一元二次方程，解題的關鍵是掌握：對于一元二次方程ax2+bx+c=0【題型9中考最熱考法之以真實問題情境考查一元二次方程的實際應用】【例9】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》被稱為人類科學史上應用數(shù)學的“算經(jīng)之首”．書中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比