線性代數(shù)與解析幾何矩陣

關(guān)于線性代數(shù)與解析幾何矩陣§2.1

矩陣與矩陣的運(yùn)算一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣的運(yùn)算第2頁,共170頁，2024年2月25日，星期天√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入第3頁,共170頁，2024年2月25日，星期天為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.第4頁,共170頁，2024年2月25日，星期天其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第5頁,共170頁，2024年2月25日，星期天數(shù)域定義：對于一個至少含有0，1的復(fù)數(shù)集合的子集合F，如

果其中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）

仍在F中，那么F稱為一個數(shù)域．所有的有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)都分別形成一個數(shù)域（有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域），分別記為所有的奇數(shù)（偶數(shù)）都不能構(gòu)成數(shù)域.第6頁,共170頁，2024年2月25日，星期天構(gòu)成一個數(shù)域.通常用表示這個數(shù)域.例

集合證顯然包含0,1并且對于加減法是封閉的.另外因為a,b,c,d都是有理數(shù)，所以ac+2bd,ad+bc也是有理數(shù).從而說明對乘法也是封閉的.設(shè)，則知對除法也封閉.第7頁,共170頁，2024年2月25日，星期天

由

m×n

個數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義（定義在數(shù)域F上）第8頁,共170頁，2024年2月25日，星期天簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.第9頁,共170頁，2024年2月25日，星期天行數(shù)不一定等于列數(shù)共有m×n個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式第10頁,共170頁，2024年2月25日，星期天同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.第11頁,共170頁，2024年2月25日，星期天注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如第12頁,共170頁，2024年2月25日，星期天只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).2.元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣第13頁,共170頁，2024年2月25日，星期天3.行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.稱為方陣的主對角線元素，所有主對角線元素的和稱為方陣的跡，記為

第14頁,共170頁，2024年2月25日，星期天形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位矩陣．記作記作．第15頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義

設(shè)，稱是A的負(fù)矩陣，其中第16頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．第17頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量第18頁,共170頁，2024年2月25日，星期天1、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第19頁,共170頁，2024年2月25日，星期天知識點比較第20頁,共170頁，2024年2月25日，星期天交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)（A的負(fù)矩陣）．顯然第21頁,共170頁，2024年2月25日，星期天設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第22頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第23頁,共170頁，2024年2月25日，星期天2、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

k是復(fù)數(shù)域中的一個數(shù)，它與矩陣

A

的乘積記作

kA

或

Ak

，規(guī)定為第24頁,共170頁，2024年2月25日，星期天結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第25頁,共170頁，2024年2月25日，星期天知識點比較第26頁,共170頁，2024年2月25日，星期天其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．第27頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．第28頁,共170頁，2024年2月25日，星期天可用矩陣表示為一般地，第29頁,共170頁，2024年2月25日，星期天4、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．第30頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)則第31頁,共170頁，2024年2月25日，星期天知識點比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.第32頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例P.34例1.2

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．第33頁,共170頁，2024年2月25日，星期天矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律證明？

(3)

乘法對加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即矩陣乘法不一定滿足交換律!!!第34頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(5)

設(shè)A是一個n階方陣，f(x),g(x)為復(fù)系數(shù)的多項式，則矩陣A的多項式f(A)和g(A)的乘法滿足交換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).第35頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：如果AB=BA,我們就稱矩陣A，B可交換.證明和對角矩陣可交換的只能是對角矩陣.其中證設(shè)矩陣B可以和A可交換.其中第36頁,共170頁，2024年2月25日，星期天則第37頁,共170頁，2024年2月25日，星期天即依次比較兩邊矩陣的第一行，第二行，…….,可以得到故結(jié)論成立第38頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然,定義思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立第39頁,共170頁，2024年2月25日，星期天5、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例第40頁,共170頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第41頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：已知解法1第42頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解法2第43頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣第44頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．第45頁,共170頁，2024年2月25日，星期天6、共軛矩陣當(dāng)為復(fù)矩陣時，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

顯然，復(fù)矩陣A是實矩陣當(dāng)且僅當(dāng).

第46頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例第47頁,共170頁，2024年2月25日，星期天（設(shè)A，B

為復(fù)矩陣，l為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：性質(zhì)第48頁,共170頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)習(xí)題二1(3)(4)，5,7,11第49頁,共170頁，2024年2月25日，星期天§2.2

矩陣的分塊第50頁,共170頁，2024年2月25日，星期天前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？第51頁,共170頁，2024年2月25日，星期天問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進(jìn)行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？第52頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例分塊矩陣第53頁,共170頁，2024年2月25日，星期天把矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個小矩陣.如下圖第54頁,共170頁，2024年2月25日，星期天問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運(yùn)算時采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.第55頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分塊矩陣的加法第56頁,共170頁，2024年2月25日，星期天若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！第57頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分塊矩陣的數(shù)乘第58頁,共170頁，2024年2月25日，星期天若l是數(shù)，且

則有形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！第59頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分塊矩陣的乘法一般地，設(shè)A為m

l矩陣，B為l

n矩陣

，把A、B分塊如下：第60頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若，則例如：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置．第61頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分塊對角矩陣（補(bǔ)充）定義：設(shè)A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對角矩陣．例如：第62頁,共170頁，2024年2月25日，星期天方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)第63頁,共170頁，2024年2月25日，星期天證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個6階行列式第64頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第65頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第66頁,共170頁，2024年2月25日，星期天令，則

C=(cij)=AB．第67頁,共170頁，2024年2月25日，星期天從而．第68頁,共170頁，2024年2月25日，星期天§2.3

矩陣的秩一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩第69頁,共170頁，2024年2月25日，星期天引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換第70頁,共170頁，2024年2月25日，星期天①②③④①②③÷2①②③④第71頁,共170頁，2024年2月25日，星期天②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④第72頁,共170頁，2024年2月25日，星期天②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④第73頁,共170頁，2024年2月25日，星期天④－2×③③④①②③④①②③④第74頁,共170頁，2024年2月25日，星期天取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④第75頁,共170頁，2024年2月25日，星期天三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個方程，記作；一個方程加上另一個方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj第76頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：交換矩陣中的兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換第77頁,共170頁，2024年2月25日，星期天有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對稱性若，則；傳遞性若，則．第78頁,共170頁，2024年2月25日，星期天階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.階梯形矩陣若某行中每個元素都為0，則位于該行下面各行元素也全為0.若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行，而對于i=1,2,…,r,第i行中左起第1個非零元素為,則.第79頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例是階梯形矩陣，而不是階梯形矩陣.第80頁,共170頁，2024年2月25日，星期天證設(shè)m×n

矩陣A

若所有的均為0，則顯然A是階梯形矩陣.定理任意一個矩陣都可經(jīng)過一系列初等行變換化為階梯形矩陣.第81頁,共170頁，2024年2月25日，星期天否則，設(shè)A的第列的元素均為0，而第列有非零元素.利用矩陣的初等變換其中.依次類推.

第82頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例把化成階梯形矩陣.

第83頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解

第84頁,共170頁，2024年2月25日，星期天（續(xù)）考慮列初等變換

第85頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定理任意一個m×n矩陣A都可與一個形如的矩陣等價.為A的等價標(biāo)準(zhǔn)形.第86頁,共170頁，2024年2月25日，星期天任何矩陣階梯形矩陣等價標(biāo)準(zhǔn)形矩陣一系列初等行變換一系列初等列變換一系列初等變換結(jié)論第87頁,共170頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素按原來的順序組成的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式第88頁,共170頁，2024年2月25日，星期天與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個2階子塊矩陣A的一個2階子式第89頁,共170頁，2024年2月25日，星期天矩陣A的一個3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3階子式也等于零．第90頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作r(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．第91頁,共170頁，2024年2月25日，星期天矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個s

階子式不等于零，則r(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則r(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時，r(A)=n;

（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當(dāng)|A|=0時，r(A)<n;

（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．第92頁,共170頁，2024年2月25日，星期天矩陣A的一個2階子式矩陣AT

的一個2階子式AT

的子式與A

的子式對應(yīng)相等，從而r(AT)=r(A)．第93頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．第94頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個非零元為對角元的3階子式，因此r(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？第95頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．第96頁,共170頁，2024年2月25日，星期天證明

只需證明A經(jīng)過一次初等變換化成,有定理初等變換不改變矩陣的秩.下面以列變換為例，按三種初等列變換分別論證.第97頁,共170頁，2024年2月25日，星期天設(shè).要證的任意k(k>r)階子式

D全為零，為此對A按列分塊，設(shè)經(jīng)過初等變換后變?yōu)槿的任意一個k(k>r)階子式D,記是D中分別對應(yīng)于的列.則D有三種情形.第98頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(1)

D中不含B的第i列，這時D就是A的子式.則D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,這時(3)D同時含B的第i列和第j列,第99頁,共170頁，2024年2月25日，星期天B中高于r階的子式都為0，所以，同理可得

.結(jié)論成立.第100頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分析

比較矩陣A、B的等價標(biāo)準(zhǔn)形.性質(zhì)1兩個矩陣A、B等價的條件是當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩.性質(zhì)2階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目.第101頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．第102頁,共170頁，2024年2月25日，星期天一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的.階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？第103頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求矩陣的秩。第104頁,共170頁，2024年2月25日，星期天解：第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣．階梯形矩陣有3個非零行，故r(A)=3

．第105頁,共170頁，2024年2月25日，星期天分析：對B

作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，設(shè)B

的階梯形矩陣為，則就是A

的階梯形矩陣，因此可從中同時看出r(A)及r(B)．例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3第106頁,共170頁，2024年2月25日，星期天§2.4

矩陣的逆第107頁,共170頁，2024年2月25日，星期天矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有第108頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.第109頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：已知,則例：已知,求其逆矩陣.第110頁,共170頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且第111頁,共170頁，2024年2月25日，星期天下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？第112頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：已知,則A不存在逆矩陣.假設(shè)存在逆矩陣則而,矛盾.第113頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義設(shè)矩陣稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。元素的代數(shù)余子式位于第i行第j列第114頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定理

矩陣Ａ可逆的充要條件是，且當(dāng)Ａ可逆時，有：

證明若可逆，第115頁,共170頁，2024年2月25日，星期天由定義得第116頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求二階矩陣的逆矩陣.第117頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=52，則第118頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)方陣A滿足,證明A,A+2E都可逆.

第119頁,共170頁，2024年2月25日，星期天方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.第120頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例

的系數(shù)矩陣是一個n階方陣A

，若A可逆,則線性方程組有唯一的解.第121頁,共170頁，2024年2月25日，星期天證明：記則上述線性變換可記作AX=b．存在性:由于A可逆,則，于是唯一性:假設(shè)有另一解,則第122頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)其中為可逆矩陣,為可逆矩陣，求A的逆.第123頁,共170頁，2024年2月25日，星期天§2.5

初等矩陣第124頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.互換單位矩陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位矩陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位矩陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．一、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系第125頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(第I種類型的初等矩陣)n階單位矩陣的第

i,j行（i>j）互換，記為P(i,j).第i行第ｊ行第126頁,共170頁，2024年2月25日，星期天記作

P(3,5)第127頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第128頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第129頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(2)(第II種類型的初等矩陣)以常數(shù)

k≠0

乘單位矩陣第

i行,

記為P(i(k)).第i行第130頁,共170頁，2024年2月25日，星期天記作

P(3(k))第131頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第132頁,共170頁，2024年2月25日，星期天(3)(第III種類型的初等矩陣)以

k

乘單位矩陣第

j行加到第

i行,記作

P(i,j(k))．第i行第ｊ行第133頁,共170頁，2024年2月25日，星期天記作

P(3,5(k))第134頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第135頁,共170頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對換，即.把矩陣A的第i列與第j列對換，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.第136頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定理(定理5.1)

設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.第137頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例已知求P(3,1(2))A,AP(2,3).P(3(3))A.第138頁,共170頁，2024年2月25日，星期天初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?第139頁,共170頁，2024年2月25日，星期天所以．一般地，．第140頁,共170頁，2024年2月25日，星期天所以．一般地，．?第141頁,共170頁，2024年2月25日，星期天所以．一般地，．?第142頁,共170頁，2024年2月25日，星期天初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?第143頁,共170頁，2024年2月25日，星期天定理

任意一個矩陣A都和一形如

的矩陣等價。（P45）第144頁,共170頁，2024年2月25日，星期天由上述定理可得定理

對任意矩陣,r(A)=r,存在一系列和n階初等矩陣使得第145頁,共170頁，2024年2月25日，星期天推論1

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等陣，使從而推論2

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等矩陣Q1,Q2,…,Ql，使AQ1

Q2…,Ql=E．從而第146頁,共170頁，2024年2月25日，星期天初等變換的應(yīng)用若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初矩陣使，從而即對矩陣(AE)執(zhí)行初等行變換,當(dāng)把A變成E時，原來的E變成.第147頁,共170頁，2024年2月25日，星期天

解例１第148頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第149頁,共170頁，2024年2月25日，星期天即初等行變換第150頁,共170頁，2024年2月25日，星期天例２解第151頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第152頁,共170頁，2024年2月25日，星期天第153頁,共170頁，2024年2月25日，星期天列變換行變換第154頁,共170頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)習(xí)題二16,20,24第155頁,共170頁，2024年2月25日，星期天概念特殊矩陣

m×n個數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構(gòu)成的數(shù)表.單位距陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣.對角矩陣:主對角元素是其余元素都是零的n階方陣.對稱矩陣:矩陣主要知識網(wǎng)絡(luò)圖AT=A.反對稱矩陣:

AT=－A.矩陣2第156頁,共170頁，2024年2月25日，星期天運(yùn)算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij).AB=C其中A與B同型.的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣.AT:AT第157頁,共170頁，2024年2月25日，星期天逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義.用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A|

≠0,A可逆

.|A|=0,A不可逆

.AB=