2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練39　必要性探路

微專題39必要性探路

2知識拓展

1.必要性探路法，是指對一類函數(shù)的恒成立問題，可以通過取函數(shù)定義域內(nèi)的某

個特殊的值或某幾個特殊的值，先得到一個必要條件，初步獲得參數(shù)的范圍，再

在該范圍內(nèi)討論，或去驗證其充分條件，進(jìn)而解決問題的方法.

2.雖然這種必要性探路的方法求出的參數(shù)并不一定就是所求的實際范圍，但可以

限定問題成立的大前提，縮小參數(shù)的討論范圍，在一定程度可以減少分類討論的

類別，降低了思維難度.

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

類型一取點探路

I核心歸納

對已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，我們可以取定義域內(nèi)的一個或幾個特殊點

探路，以縮小參數(shù)的取值范圍，如取閉區(qū)間的端點，指數(shù)函數(shù)常取O或1,對數(shù)

函數(shù)常取1或e等.

?-X

例1(2022?哈三中模擬節(jié)選)已知人X)=In(αx+1)+^pq(x2D,若危)2In2恒成立,

求實數(shù)α的取值范圍.

解必要性：對XeI,/(x)?ln2恒成立，

?-X

即ln(ax+1)+]+.Tn2≥0在(1,+8)怛成立.

?-X

令g(x)=ln(&x+1)+]+.Tn2,

所以g(l)=ln(α+l)-ln220,解得α21?

x+12

充分性：當(dāng)421時，g(x)^ln^-+^q-j-1(x^1).

則令h(f)=in/+?-1(Z≥1),

11t—1

所以

則〃⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(。2秋1)=0,

所以g(x)20恒成立，

綜上所述，α的取值范圍是［1,+∞).

訓(xùn)練1已知/(x)=Ox2-4In(X—1),對x∈［2,e+1］恒有/(x)Wl,求實數(shù)α的取值

范圍.

解必要性:因為對x∈［2,e+l］恒有y(x)≤l.

即αx2-41n(χ-1)—1≤0,令g(x)=0x2-4In(X—1)-1,

則g(2)=4tz-1≤0,則α≤∣.

充分性：當(dāng)aW；時，g(x)=αx2-41n(χ-1)—l≤^x2-41n(χ-1)—1,

根據(jù)InXel-%證明略)，在x∈［2,e+1］上有4In(X—1)—1

1,(1)(X—2)(x2+x—18)

<7?-41--7\-1=---------——∏----------≤0,

4VX-IJ4(%—1)

所以g(x)WO,即/(x)<1,

故α的取值范圍是(一8,?.

類型二極值點探路

I核心歸納

1.已知/(x)WO(或/(x)?0),找/(x)的極大值(或極小值)點探路；

2.對于/(x)Wg(X),找/(x)的極大值點，g(x)的極小值點探路.

例2已知函數(shù)y(x)=ln(x+l)-ae2d)+l,α≥0.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)7(x)在區(qū)間(0,+8)上的零點個數(shù)；

(2)若關(guān)于X的不等式In(X—，一小(廠Yχ-q2e(χ-1)—,在區(qū)間(1,+8)上恒成

立，求實數(shù)α的取值范圍.

解(1)當(dāng)a=?時，/(x)=In(X+1)+1—e2(*F

y=ln(x+l)+l

ln(x+l)+l=e2<r"1)

當(dāng)Xe(O,1)時，_/(x)=ln(x+l)+l—e2(、T)>l—e2dsl-1=0,此時無零點.

當(dāng)x∈[l,+8)時，

/(“)=*—2e2L),

當(dāng)X∈[l,+8)時，/(X)單調(diào)遞減，

且/(X)寸⑴=g—2<0,

當(dāng)XG[1,+8)時，/(χ)單調(diào)遞減，

T(I)=In2+I-I=In2>0,

√(2)=ln3+l-e2<0,

3xo∈(l,2),使HXO)=O?

.?.當(dāng)α=l時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上有且只有一個零點.

(2)必要性：在區(qū)間(1,+8)上In(X-O—αe2(x~∣)≤χ-∕e(χ-1)—I■恒成立，

即In(X—卜一))一1</62。-1)一42七(》一1)在(1,+8)上恒成立，

當(dāng)o=0時，ae2(x-1)—02e(χ-1)=0,

因為y=lnχ-(χ-l)W0恒成立，

則InQ-])—(χ-χ)-?W。,

當(dāng)a>0時，

3

2~x

m,(x)=-p

x-2

3

當(dāng)x>/時，*(x)<0,〃?(x)單調(diào)遞減，

3

當(dāng)1<X<]時，7M,(x)>0,〃7(X)單調(diào)遞增,

所以∕M(x)≤mf∣j=O.

3e

當(dāng)a>O時，X=],0≤αe-a2-2>

則α?e(l-

即1—520,得αW2?

綜上，α的取值范圍為[0,2],

充分性：當(dāng)α∈[0,2]時，

In(X—g)—3)—1—。上2。一0—q?e(χ-1)]≤0,①

當(dāng)α∈[0,2]時，e2(x-l)—a?e(χ-l)^e2(jv-l)—2?e(χ-1).

令w(x)=e2(v"1)-2?e(χ-1),x>l,貝∣J〃'(X)=2e2(x~^—2e.

當(dāng)x>l時，〃'(x)單調(diào)遞增，且〃'@=2e-2e=0,

故當(dāng)x∈(l,|)時，n'(χ)<0,“(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈仔，+9時，∕√(χ)>0,〃(X)單調(diào)遞增，

.?."(x)N"電=e-e=O,

.,.x>l,aw(x)≥0.

由已知得x>l,ln(x—1)—(χ-2}-?Wθ?

二①式成立?.??aW[0,2].

訓(xùn)練2已知α>0,函數(shù)兀。=0x2-χ,g(x)=lnX.是否存在實數(shù)α,使/(x)2g(4x)

恒成立？若存在，求出實數(shù)。的值；若不存在，請說明理由.

解必要性：令S(X)=Hx)—g(αx)=αr2-x—In"，x>0,

求導(dǎo)得^,(x)=2αχ-1—?

因為"()=°'又S(X)

則1是s(x)的一個極小值點，則d(0=O,解得α=L

、八I1L1(2x+l)(χ-1)

充分性：當(dāng)Q=I時，φf(x)=2χ-l--=-------------------------.

當(dāng)O<x<l時，φ'(x)<0,磯x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>l時，"(x)>0,夕(X)單調(diào)遞增,

從而S(X)23(1)=0,符合題意.

綜上可知a=?.

類型三保號性探路

I核心歸納

“保號性”的完整提法是“局部保號性”，它是微積分學(xué)中的一個重要概念，有

多種敘述形式，我們介紹一種比較容易理解的形式：已知函數(shù)小)在。點連續(xù)，

且/(α)>0,則存在σ>0,當(dāng)|x—α∣<o"時，/(x)>0(注意它的逆命題是假命題).

例3已知函數(shù)/(x)=axlnχ-其中aGR.

若函數(shù).危)是(1,+8)內(nèi)的減函數(shù)，求正數(shù)α的取值范圍.

解必要性：因為函數(shù)/(x)是(1,+8)內(nèi)的減函數(shù)，所以/(χ)=αlnx+a-ox"—I

=α(lnx+I-Xa-I)Wo在(1,+8)內(nèi)恒成立.

令式X)=Inx+1~xa1,

因為α>0,所以g(x)=Inx+I-XflTWO在(1,+8)內(nèi)恒成立,

因為g(l)=0,g,w=^-(α-i)%a2,

保證g(x)在X=I處有單減趨勢，則gQ)≤0,即g，(l)=l—5一l)≤0,則α22.

充分性：

因為所以。一121,

因為x>l,所以尸

則g(x)=lnx+1-χɑ^1≤lnx+1-χ<0,

所以/(x)=α(lnx+1—x)<0.

故α的取值范圍是［2,+∞).

X3

訓(xùn)練3已知函數(shù)/(x)=In(X+1)—χ一^y,

若當(dāng)x>~?1時，"v)≤αr2,求實數(shù)α的取值范圍.

解必要性：令g(x)=ln(x+l)-x—^y-αx2W0,

1?

g(x)=R［—］一片―2"，

g"(x)=-(二1)2-2x~2a,

因為g(0)=0,g'(0)=0,所以g"(0)W0,

貝Ig-g.

充分性：當(dāng)a》一g時，g(x)=In(X+1)—%+52-a}2,

1√

由三階泰勒公式知In(X+1)—x+]x2-1W0(證明過程略)，

又(-g-~0jx2W0,

1??/?λ

Λg(x)=ln(x+1)—x+p^-?-+!—2-∣x2≤0,即g(x)≤0.

故實數(shù)4的取值范圍是一看+∞).

類型四雙參數(shù)不等式恒成立探路問題

I核心歸納

此類問題多數(shù)是求雙參數(shù)代數(shù)式的最值，基本方法是先移項構(gòu)造一端是零的不等

式，再設(shè)出另一端的函數(shù)，重點分析此函數(shù)自變量取何值時，恰好出現(xiàn)雙參數(shù)的

代數(shù)式，進(jìn)而探出代數(shù)式的最值(可能值)，最后再證明此代數(shù)式取最值時，原題

目中的不等式恒成立.

例4已知函數(shù)/(X)=—2HnX+2(α+l)χ-x2(a>0),若在函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)，總

有7(x)2—χ2+24x+b成立，試求a+b的最大值.

解必要性：7(x)2—x2+2αx+b,x>0,

即2。InX—2x+bW0.

令g(x)=2αlnχ-2x+b,

由題意知“g(m)W0”是“g(x)W0”的必要條件(注意選X=注是為了整理后的

不等式出現(xiàn)α+6),即a+

則α+6的最大值可能為2#.

充分性：存在a,b滿足a+b=2#,總有/(X)，一χ2+2αx+6成立，取a=h=?β,

則g(x)=2√elnχ-2x+√e,從而g,(x)=2?^?

當(dāng)0<x<m時，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)χX?R時，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

從而當(dāng)x>0時，g(x)≤g(Ve)=O,符合題意.

綜上可知，α+b的最大值為2#.

訓(xùn)練4已知a,b∈R,/(x)=e"—αx—b?/d+］在［0,+8)上的最小值為0,求。

+√5∕)的最大值.

解必要性：由/(x)20得e*24x+fr?序TI,

即≤?α+嶇亙，

XX

令市，得X=J或X=—)(舍)，故取X=J,yβ?)=e2-"??θ,

√V乙乙乙?~*y乙乙

\_

即α÷??∕56≤2e2,

?

充分性：存在m匕滿足。+小6=2/且能使7U)在［0,+8)上的最小值為0.

取6=坐?(此時可使/(j=0),

/(『—"—嗇p(f+ι?χ2"b=年<1，

故當(dāng)x∈［0,+8)時，(χ2+l)√χ2+l≥l,e^l,

故/"(x)20,

所以/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

冏=0?

則當(dāng)x∈0,時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈?+8)時，/(χ)>0,/(x)單調(diào)

遞增，?；/(X)min=∕^g［=0,

此時(α+小刀max=2e2.

高分訓(xùn)練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

1.已知不等式e?—aln(x÷α)—Ina-120恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解必要性：依題有a>0,當(dāng)x=0時，-lnα-^αlna20,解得0<aWl.

充分性：下面證明0<aWl時，題設(shè)不等式恒成立.

由e'2x+l(證明略)易得eA-1^a1x,

只需證明Q2χ-Hn(x+α)-Inα20.

設(shè)g(x)=∕χ-Hn(x+α)-Ina,

則gG)=α2-M=α(kW40，

則gtx)單調(diào)遞增，

令g<x)=0,即4。一*，=0,解得X=]-α,

所以當(dāng)x<：—“時，g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>十一α?xí)r，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所g(x)min=gθ~)

=α(l-α2)÷(l—ɑ)ln?^θ,當(dāng)且僅當(dāng)α=l取等號.

所以證得fl?-Hn(x+α)-Inα20成立，當(dāng)且僅當(dāng)X=0,α=l時等號成立.

因此4W(0,1]時，不等式eMx—4]n(x+4)-Ina—120恒成立.

2.已知函數(shù)/(x)=x(InX+3ax+2)-3ax+4.

⑴若川)在[1,+8)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(x)的最大值為6,求實數(shù)a的值.

解(1)必要性：由題意知/(x)=InX+6ax+3-3aW0在Xel時恒成立，

因此必有/(l)=3a+3W0,

即a≤—1.

充分性：當(dāng)aW-l時，由不等式InXWX-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號)，有/(X)=

Inx+3a(2x—1)+3WX—1—3(2x—1)+3=5(1-x)≤0,

此時符合題意.

綜上可知aG(-8,—1],

(2)由題意得/(1)=6.

因為/(x)W6,所以1為/(x)的一個極大值點.

又f[x}=Inx+6ax+3-3a,

因此必有/(l)=0,解得。=一L

當(dāng)q=—1時，由不等式InXWX—1(當(dāng)且僅當(dāng)X=I時取等號)，有

/(x)=x(lnX—3x+2)+3x+4WX(X—1—3x+2)+3x+4=6—2(X一1)2≤6,符合題意.

綜上可知4?=—1.

3.已知函數(shù)兀T)=X-In(X+1),g(x)=ev-χ-1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)2研x)對任意的x∈[0,+8)恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

1X

解(l*(x)=l—F=F(x>—I),

令/(x)=0,得X=0,

.?.在(一1,0)±,/(x)<0,函數(shù)〃)單調(diào)遞減;

在(0,+∞)±,/(x)>0,函數(shù)人x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)段)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

(2)由題意得ex-χ-12A^[χ-ln(x+1)]在Xe[0,+8)上恒成立，

令A(yù)(x)=ev-χ-1—4χ-ln(x+1)],

則MX)No在x∈[0,+8)上恒成立，

"㈤=CATT(I-4)，

則V(O)=O,心(X)=e'-(二])2,

Λ,,(0)=l-?,

若ZT(O)=I—左<0,即左>1時，存在x∈(0,+8)使得χ∈(0,XO)時，ΛH(X)<O,

則在(0,X0)上∕f(x)單調(diào)遞減，此時〃(X)<∕(0)=0,

則〃(X)在(0,XO)上單調(diào)遞減，且x∈(0,xo)使Aa)Oi(O)=O,則MX)20不恒成立.

若獷(O)=I一左20,即A?l時，

由(1)知/(x)=X-In(X+1)的最小值為/(0)=0,

貝!]h(x)=ex-χ-1—ln(x+χ-1—x÷ln(x÷l)=ex-2χ-1+ln(x÷

I)(X20).

令φ(x)=eκ-2x~1÷ln(x÷l)(x^0),

^,(x)=ev-12^2Λ/(X+1)2=0(當(dāng)且僅當(dāng)X=O

時取等號）,

則S(X)在[0,+8)