2023屆北京市延慶縣高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,“a=2”是“直線改+2y-l=0與x+（a—l）y+2=0互相平行,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中."九階幻方'一'八'是由前"個(gè)正整數(shù)組成

的一個(gè)九階方陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的〃個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所

示）.則“5階幻方”的幻和為（）

3.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以歹為焦點(diǎn)的拋物線》=2Px（p>°）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且四卜2\MF\,

則直線°”的斜率的最大值為（）

V32

A.3B.3c.2D.1

4.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”，實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”，某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加&B、C三個(gè)貧

困縣的調(diào)研工作，每個(gè)縣至少去1人，且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣，則不同的派遣方案共有（）

A.24B.36C.48D.64

5,設(shè)a,b€（0,1）U（1,、6,則"a=6"是"hg/=’og/"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/（*）=sin3x-cos3x,給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)"%）的值域是卜"伺；②函數(shù)小"為

7171

奇函數(shù)；③函數(shù)“X）在區(qū)間⑶2」單調(diào)遞減；④若對(duì)任意xeR,都有成立，則民E的

最小值為3；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2c.3D.4

7.已知也“為兩條不重合直線，％〃為兩個(gè)不重合平面，下列條件中，",分的充分條件是（）

Am〃",mua,nu/3Bmf/n.mLa.nLp

Qmuag“BD機(jī)-L-La，〃-L〃

8.在兒45c中，H為BC上異于3,C的任一點(diǎn)，"為AH的中點(diǎn)，若AM=XA8+〃AC,則2+〃等于（）

￡2￡j_

A.2B.3c.6D,3

x+sinx

9.函數(shù)1+x的部分圖象大致為（）

10.在等差數(shù)列MJ中，％=-5,%+4+%=9,若"an（WeN*）,則數(shù)列也｝的最大值是（）

A.-3B.3

C.1D.3

11.設(shè)°<〃<1,隨機(jī)變量4的分布列是

4-101

21

PI。-°）

23

則當(dāng)。在內(nèi)增大時(shí)，（）

A.EC）減小，減小B.EC）減小，℃）增大

C.E（?增大，℃）減小D.灰？增大，℃）增大

71

~2

M=\—^—dxN=Jcosxdx

Jr+1

12.已知0工十1。,由程序框圖輸出的S為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片AB。中，AC與6。相交于°.剪去AAOB,將剩余部分沿0C,8折疊,

使。4、06重合，則以A。）、C、D、。為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為.

14.已知平面向量值,b,C滿足|町=1,也尸2,a,匕的夾角等于3,且（。―d）?（6—c）=o,貝||C|的取值

范圍是.

15.若（工一2）”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.

16.動(dòng)點(diǎn)「到直線％=-1的距離和他到點(diǎn)歹（L°）距離相等，直線A5過（4°）且交點(diǎn)P的軌跡于A，3兩點(diǎn)，則以A5

為直徑的圓必過.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，已知在三棱臺(tái)AB—A4G中，AC=2AB=2,3C=8,4片，網(wǎng)

⑴求證：AB1CC>；

（2）過A8的平面ABDE分別交耳C,4G于點(diǎn)。，E,且分割三棱臺(tái)入鳥。一4片弓所得兩部分幾何體的體積比

為匕砧"=%BC_B°G=4：3,幾何體ABC-EDCX為棱柱，求的的長(zhǎng).

v=-（s'+4s;s+s]h,

提示：臺(tái)體的體積公式3'>（S,s分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，〃為棱臺(tái)的高）.

:W+《=I（O<D號(hào)（L馬

18.（12分）已知橢圓C緇匕的離心率為2且經(jīng)過點(diǎn)2

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）的直線1與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C

上，求直線I的方程.

19.（12分）如圖，在平行四邊形.CD中，AD=2AB,NA=60。，現(xiàn)沿對(duì)角線8。將A4BD折起，使點(diǎn)A到達(dá)

點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線尸C,PD上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.

(1)求證：MNLBD.

（2）若平面平面BCD,二面角M-A5-O平面角大小為30。，求直線PC與平面西V所成角的正弦值.

1*

S4=7S,,+1（"eN）

20.（12分）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和為'J且滿足2

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）若'"岷可,",且數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為九求I的取值范圍.

21.（12分）若數(shù)列也｝滿足:對(duì)于任意〃eN*,%+兄+「%+2|均為數(shù)列｛4｝中的項(xiàng),則稱數(shù)列｛4｝為“T數(shù)列”.

（1）若數(shù)列｛"〃｝的前〃項(xiàng)和乂=4〃-2〃2,“eN*,試判斷數(shù)列｛4｝是否為“T數(shù)列”？說明理由；

（2）若公差為°的等差數(shù)列｛“"｝為"丁數(shù)列”，求d的取值范圍；

（3）若數(shù)列｛""｝為“丁數(shù)列”，4=1,且對(duì)于任意“eN*,均有4＜。；+1一求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

22.（10分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn)，％軸的正半軸為極軸.已知曲線G的極坐標(biāo)方程為

p=4cos6?+8sin6?；p是。上一動(dòng)點(diǎn)，"=2。。，點(diǎn)Q的軌跡為C?.

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；

x=tcosa

（2）若點(diǎn)M（°，D,直線/的參數(shù)方程L=l+'sina。為參數(shù)），直線/與曲線°2的交點(diǎn)為4B,當(dāng)|“例+|聞可取

最小值時(shí)，求直線/的普通方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定

【詳解】

當(dāng)。=2時(shí)，直線方程為2x+2y—l=0與x+y+2=0,可得兩直線平行；

若直線翻+2丁一1=。與*+（?！?）丁+2=°互相平行，則。（?！?）=2,解得％=2,

4=一1,則“。=2”是“直線改+2yT=°與％+（?！?）丁+2=°互相平行,,的充分不必要條件，故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

計(jì)算1+2++25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1i25x25

1+2++25

-------二65

依題意“5階幻方”的幻和為55，故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

2

p（_E,0）

試題分析：設(shè)2。.，由題意2',顯然為<°時(shí)不符合題意，故為則

OM=OF+FM=OF+-FP=OF+-（OP-OF）=-OP+-OF=+

33336233,可得:

,=3=2<2=72

22

6P3Py0,當(dāng)且僅當(dāng)為2=2°2,%=0°時(shí)取等號(hào)，故選C.

考點(diǎn)：1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2.均值不等式.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔

“國(guó)+￡當(dāng)

題.解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件1*0|二2］同|,利用向量的運(yùn)算可知6P3'3,寫出直線的斜率,

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問題.

4、B

【解析】

根據(jù)題意，有兩種分配方案，一是3：卜1,二是2:2:1,然后各自全排列，再求和.

【詳解】

當(dāng)按照3:1:1進(jìn)行分配時(shí)，則有=18種不同的方案；

當(dāng)按照2：2：1進(jìn)行分配，則有C：制=18種不同的方案.

故共有36種不同的派遣方案，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化，還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

5、A

【解析】

1

a=2,b=—

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證2得出不必要，得到答案.

【詳解】

a,b€（0〃）+oo）,當(dāng)"a=b時(shí)，bg?=充分性；

當(dāng)log/=log盧，取"-2力-2,驗(yàn)證成立，故不必要.

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.

6、C

【解析】

〃）0sin（3x-f）fX+n71

[7由X￡1—3,—2」得

化八刃的解析式為4可判斷①，求出的解析式可判斷②，

?n5兀、

3x---——,—J

444,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③，由

/(%)"/(%)*/(工2)得W"L12可判斷④.

【詳解】

〃x)=&sin(3x-f^(%+7)=

由題意，4,所以/⑴e]」，故①正確；I4；

yjlsin[3(x+-7)__]=sin(3x+—)=仄士可

44212cos3x為偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)L32.

C5乃1

3-^--G[―,—]

時(shí),444,刃單調(diào)遞減，故③正確；若對(duì)任意xeR,都有

/（%）"（上/（%2）成立，貝產(chǎn)為最小值點(diǎn)，々為最大值點(diǎn),則歸一村的最小值為

23,故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容，是一道較為綜合的

問題.

7、D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

【詳解】

對(duì)于A,當(dāng)機(jī)〃〃，mua,時(shí)，則平面c與平面夕可能相交，a'B,a//尸，故不能作為"工』的充分

條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)加〃〃，"'4時(shí)，則a”#,故不能作為的充分條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)m工n,m〃a,〃“,時(shí)，則平面a與平面夕相交，a'B,入事,故不能作為《工〃的充分條件,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)加工八，mLa,n'B,則一定能得到。工〃，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)題意，用AB"。表示出與AM,求出尢〃的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)BH=xBC,則

11一1一1-1——1

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC

2222222

又AM=,

,1八、1

A=—(l-X),jU=-X

X+4=5(1-x)+-x——

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負(fù)情況。

【詳解】

//、-x+sin(-x)x+sinx”、

/(—x)=--~5——~—=-fM

1+X1+廠，故奇函數(shù)，四個(gè)圖像均符合。

x+sinx_

當(dāng)無￡(“幻時(shí)，sinx>0,1+x,排除C、D

x+sinx八

y-----------〉0

當(dāng)^^(肛2萬)時(shí)，sinx<0,1+%2,排除A。

故選B。

【點(diǎn)睛】

圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。

10、D

【解析】

在等差數(shù)列｛4｝中，利用已知可求得通項(xiàng)公式為=2"-9,進(jìn)而"an2"—9,借助'(X)-2工—9函數(shù)的的單調(diào)性

可知，當(dāng)〃=5時(shí)，2取最大即可求得結(jié)果.

【詳解】

,b3—_____

因?yàn)椤?+1+%=9,所以現(xiàn)=9,即/=3,又見=-5,所以公差d=2,所以4=2〃—9,即"2n-9,因

r/\_3

為函數(shù)2x-9,在％<4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/(%)<°；在％>4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/(*)>°,所以數(shù)列也｝

b=_=3(?

的最大值是“，且57,所以數(shù)列的最大值是3.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題，難度較易.

11、C

【解析】

1121*3

E?(1)X§(1P>+-P-P3,D?=E42)_E2?,判斷其在3,4內(nèi)的單調(diào)性即可.

【詳解】

1121/23、

E^)=(-l)x-(l-p)+-p=-p--

解：根據(jù)題意3333在13刃內(nèi)遞增，

,,111

E(^-)=(-l)-x-(l-p)+-p=-

11214424，1、2|

D(^)=E(^2)-E2(^)=-(l-p)+-p-(-p--)2=--p2+-p+-=--lp--+-

\//j

L"

是以P=2為對(duì)稱軸，開口向下的拋物線，所以在134)上單調(diào)遞減,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題.

12、D

【解析】

M=^—dx=\n(x+V)\1=ln2N=[cosxtfo=sinx|2=1

試題分析：°X+1°0，所以M<N,所以由程序框圖輸出

的S為ln2.故選D.

考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8瓜兀

【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.

【詳解】

由己知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示

CD=4,OA=OC=OD=2①,故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為4。氏+°C+=2底,

[22兀K=8巫>兀

所以外接球半徑為A="6,其體積為3

故答案為：8區(qū).

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時(shí)，要考慮是否能將其置入正（長(zhǎng)）方體中,

是一道中檔題.

用V7+G

-2-，-2-

14、L」

【解析】

_c2+1

計(jì)算得到|。+%=近，/=S|C|cosa-l,解得cosa6,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.

【詳解】

71_

由（a—c）.（b-c）=0可得c?=（a+Z?）.c-?-F=|<2+Z?|.|C|cosa_ix2cos3\a+b|.|C|cosa-i,a^a+b

與c的夾角.

2_2+.+￡_

a+bO++2a-b=l+4+2xlx2cos37可得|a+"|=a,

再由

_c2+l

\C|cosa-i,解得cosa

￡±1<2V7-V3<<77+73

\"0<a<it,-l<cosa<l,/.i,即H\c|+i<o,解得2|c?2,

\fl-yj3幣+幣-

2'2

故答案為L(zhǎng)」.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.

15、1

【解析】

由題意得展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，然后再計(jì)算展開式各項(xiàng)系數(shù)的和.

【詳解】

由題意（》—2）”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,即2〃=64,故九=6,令x=l,則展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為（1-2）6=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問題，需要運(yùn)用定義加以區(qū)分，并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果,

需要掌握解題方法.

16、（。⑼

【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)P到直線％=—1的距離和他到點(diǎn)尸在。）距離相等，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的軌跡是以"O'°）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求

曲線的方程，將y=%（x—4），代入F=4已利用韋達(dá)定理,可得'%%2+%%=°，從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原

點(diǎn)O.

【詳解】

22222

設(shè)點(diǎn)尸（蒼y）,由題意可得x+l=J（xT）2+/,（x+1）=（x-l）+/；x+2x+l=x-2x+l+y；可得

V=4x,設(shè)直線AB的方程為、=伙*一4）,代入拋物線可得

4（2k2+l）

42X2-4（242+1）%+1642=0人（%，%），區(qū)（%2，％）?二X1X2~16,玉+%2=^2

二.%%=公（%—4）（無2-4）,

々+%%=（左之+1）%％~4k2（石+%）+16人之

二16（左2+1）—4左28'：、+16左之=0

K

：.OAOB=Ot以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)°.

故答案為：（0,0）

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)2

【解析】

(1)在AR。中，利用勾股定理，證得又由題設(shè)條件，得到利用線面垂直的判定定理，證

得平面BCG%進(jìn)而得到”,CG；

(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出方程求得2,得到

AB1

AK2,即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在中，AC=2AB=2,BC=6,

所以432+302=4^,可得

因?yàn)?41陰，可得AB±BB],

又由比BB\=BBC,3u平面3CG4,所以ABL平面BCC禺,

因?yàn)镃C|U平面BCC^所以AB±CCj

(2)因?yàn)樨?E-BBQ.匕IBC-Eg=4：3,可得匕^-惻?：匕BC-E￡>G=7：3,

人

SAAK「=S'5MBC=S

設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為用，

則VABC-E℃[Sh3,整理得6S，-JS'S-S=0,

.S'因區(qū)」AB_1

即sVs,解得Vs5,即A耳2；

又由A5=l,所以44=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定

定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

L214岳一

---1-y=1y=±---x+2

18、(1)4(2)2

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及"一〃=，列方程，由此求得進(jìn)而求得橢圓的方程.

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立直線/的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何

意義得到0M=。4+08,由此求得〃點(diǎn)的坐標(biāo)，將A3,M的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后可求得直線/的斜率，由

此求得直線’的方程.

【詳解】

昱(1，四￡=<±+^=i

(1)由橢圓的離心率為2,點(diǎn)2在橢圓上，所以a2a24b一,且成一

---y—1

解得42=4,廳2=1,所以橢圓C的方程為4

(2)顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為左，則直線/的方程為丁=丘+2,設(shè)

必2

---by=1

4

A（%,%）,5（孫必），"(九0，%),由y=kx+2消去y得（1+4左2）/+16"+12=0

16k12

所以-1+4左2

%=X］+%

<

由已知得OM=OA+OB,所以［%=%+%,由于點(diǎn)4B、M都在橢圓上,

［+"1，［+￥=1，［+3=1，史*+（%+為）2=1

所以

（方-+*）+（￡■+y；）++2yly2=L2+xlx2+4yly2=0

展開有442

4—4左2

-丫2=（h1+2）（履2+2）=4+2k（%+/）+4=

又一一一1+4左2

c12/4-4k2y,‘岳

2H-----+4X------=0n^>15=4^,/.k=±-——

所以1+44721+4左22

經(jīng)檢驗(yàn)滿足“=（16k丫-4（1+4左2）*12=64左2-48>0

y=土----x+2

故直線/的方程為-2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

V15

19、(1)證明見解析；(2)5

【解析】

(1)根據(jù)余弦定理，可得43,班),利用可得CD〃平面然后利用線面平行的性質(zhì)定理，

CD//MN,最后可得結(jié)果.

(2)根據(jù)二面角河―A6—。平面角大小為30,可知N為的中點(diǎn)，然后利用建系，計(jì)算尸。以及平面的

一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)不妨設(shè)AB=2,則AO=4,

在A/WD中，

BD2=AB~+AD2+2ABADcosA

貝陷=2石，

因?yàn)橹?+6￡)2=4+12=16=AD2,

所以因?yàn)锳B〃CD,

且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以8〃平面ASMN.

又平面ABW平面PCD=MN,所以CD”MN.

而CD_L3Z),MN±BD

(2)因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD,且PBLBD,

所以/>5,平面BCD,PB±AB,

因?yàn)樗訟B_L平面PBD,BNLAB,

因?yàn)?0,A3,平面血勿V與平面5CD夾角為30。，

所以NDBN=30°,在Rt△尸80中，易知N為的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

畫8（0,0,0）P（0,0,2）。（2,26,0）

,

N（0,A/3,1）M（1,^,1）

W=（1,0,0）BN=（0,6,1）PC=（2,2點(diǎn)—2）

設(shè)平面BMV的一個(gè)法向量為"=（x，y，z）,

n-NM=0p=0

m[n-BN=0^[^y+z=0j

令y=i,得⑹

設(shè)PC與平面BMN所成角為o,

|n-PC|叵

。=（。）

sincos90-6=R7M

則

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡(jiǎn),

屬中檔題.

Tn￡J'"

20、(1)""一(2)L”>

【解析】

10,

。]=—3]+1__r\

(1)由2，可求4,然后由*2時(shí)，4=5〃一$，1可得4=/4-1,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求

c—-1-----—...1..........-1_-1------

（2）由2=l°g24=l0g22"=〃，而〃帥用H（H+1）n〃+1,利用裂項(xiàng)相消法可求九

【詳解】

10,

_3]+1_Q

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，2，解得4

當(dāng)”..2時(shí)，2

an=7S,+L..

2②

1

aa

n~n-l=7%a

②—①得2,即n=2al

???數(shù)列//是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

blo

(2)n=g2an=log2V=n

1111

c=-------=----------=------------

.nb"b"+in(n+1)nn+1

1_11111

.+---------=1--—

2~33-4nn+1n+1

1e(0,1]

neN*n+1

/.2.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推公式4=S"—41(”一2)在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)

與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

n+1

an=------

21、(1)不是，見解析(2)(3)2

【解析】

(1)利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步驗(yàn)證〃=1時(shí)，氏+卜用一°"+』是否為數(shù)列｛"/中的項(xiàng)，即可得答案;

(2)由題意得見+1%——⑷，再對(duì)公差進(jìn)行分類討論，即可得答案；

(3)由題意得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列."｝的公差為?"°),再根據(jù)不等式為<"3一片<"用得到公差的值,

即可得答案；

【詳解】

⑴當(dāng)“22時(shí),a“=S“-S,i=4"-2”2-4(〃-1)+2(a-1)2=-4"+6

又q=S]=2=4xl_2,所以％=—4〃+6.

所以見+|%+I_4+2|=-4"+6+4=10_4"

當(dāng)〃=1時(shí)，+|%+1-。"+21=6,而％<2,

所以”=1時(shí)，4+,向一4+21不是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)，故數(shù)列｛4｝不是為“T數(shù)列”

(2)因?yàn)閿?shù)列7是公差為"的等差數(shù)列，

所以見+1an+l-an+2\=ai+(n-I)d+\d\

因?yàn)閿?shù)列｛"〃｝為“丁數(shù)列”

所以任意〃eN*,存在加eN*,使得4+5T)d+Id1=%,即有(加―〃)d=|d|

①若d'°,則只需m="+lcN*,使得O_〃)d=jd],從而得見+,，，+1一4+2|是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng).

②若d<°,則加=〃-1.此時(shí)，當(dāng)〃=1時(shí)，加=°不為正整數(shù)，所以d<0不符合題意.綜上，d，。.

(3)由題意""<""+1,所以=+口"+1一2+2尸%+4+2-.+1,

又因?yàn)?%+2_°"+i=%+2_(°用_