初中2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的4個選項中，只

有一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

1.（3分）中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻.觀察下列漢字，其中

是軸對稱圖形的是（）

A.愛B.我C.中D.華

2.（3分）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（)

A.x<lB.x>\C.xWlD.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.a8-i-a2=a4B.〃+/=/C.(a2)3=『D.a2,a3=a5

4.（3分）某校組織青年教師教學競賽活動,包含教學設(shè)計和現(xiàn)場教學展示兩個方面.其中

教學設(shè)計占20%,現(xiàn)場展示占80%.某參賽教師的教學設(shè)計-go分，現(xiàn)場展示95分，則

她的最后得分為（）

A.95分B.94分C.92.5分D.91分

5.連接AC,BD,若N1=20°，則N2的度數(shù)為（）

C.70°D.80°

6.（3分）如圖，平面直角坐標系中，。是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y=K（kWO）圖

X

象上的一點，過點A分別作軸于點M,ANJ_y軸于點N,若四邊形AMON的面

)

-2C.1D.-1

7.（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑為4,則這個圓錐的側(cè)面展開圖中曠■的長為（）

A

C.8nD.167r

8.（3分）某校組織九年級學生赴韶山開展研學活動，已知學校離韶山50千米.師生乘大

巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往,

結(jié)果同時到達.設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（）

A.-^2.=-j,Q—+AB.^2.+io=...^Q—

x1.2x6x1.2x

C.50=5。+1。D.50+l-50

x1.2xx61.2x

二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分，在每小題給出的4個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案

的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

（多選）9.（3分）下列選項中正確的是（）

A.8。=1B.|-8|=8C.-（-8）=8D.J§=±2亞

（多選）10.（3分）2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目.為了解某校九年級男

生投擲實心球水平，隨機抽取了若干名男生的成績（單位：米），列出了如表所示的頻數(shù)

分布表并繪制了扇形圖：

類別ABCDE

成績6?77?88?99?1010Wx<ll

頻數(shù)2625125

B.成績在9<x<IO米的人數(shù)最多

C.扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為180°

D.成績在7WxV8米的頻率為0.1

（多選）11.（3分）如圖，AC是。。的直徑，8為弦，過點A的切線與CD延長線相交

于點B,若AB=AC,則下列說法正確的是（）

A.AD1.BCB.NC4B=90°C.DB=ABD.AD=^BC

2

（多選）12.（3分）如圖，拋物線與x軸交于點（3,0）,則下列結(jié)論中正確

c>0C.層-4ac<0D.9a+3b+c=0

三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上）

13.（3分）數(shù)軸上到原點的距離小于灰的點所表示的整數(shù)有.（寫出一

個即可）

14.（3分）已知實數(shù)”，〃滿足（a-2）2+|ft+l|=0,則/=.

15.（3分）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以小

于AC長為半徑作弧，分別交AC,48于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于2MN

2

的長為半徑作弧，在NBAC內(nèi)兩弧交于點O；③作射線AO,交BC于點D.若點3到

AB的距離為1,則CD的長為

C

D

M

16.（3分）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具.某同學用邊長為4而7的正方形紙

板制作了一副七巧板（見圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組

成.則圖中陰影部分的面積為，加2.

四、解答題（本大題共10個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,

請將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上）

17.（6分）解不等式組：并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

12（x+3）＞x+4（2）

-5-4-3-2-1012345

C2工

18.（6分）先化簡，再求值：（1+上_）?2」引，其中x=6.

x+1X2-9

19.（6分）在RtZWBC中，ZBAC=90°,4。是斜邊BC上的高.

（1）證明：

（2）若AB=6,BC=10,求BO的長.

A

20.（6分）為落實“雙減”政策要求，豐富學生課余生活，某校七年級根據(jù)學生需求，組

建了四個社團供學生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面

點社團）.學生從中任意選擇兩個社團參加活動.

（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結(jié)

果；

（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定

隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率.

21.（6分）教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育勞動課程標準（2022年版）》.勞動課成為中小學的

一門獨立課程，湘潭市中小學已經(jīng)將勞動教育融入學生的日常學習和生活中.某校倡導

同學們從幫助父母做一些力所能及的家務(wù)做起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能.小明隨

機調(diào)查了該校10名學生某周在家做家務(wù)的總時間，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，過程如下：

收集數(shù)據(jù)：在家做家務(wù)時間：（單位：小時）

(1)m=，并補全頻數(shù)分布直方圖;

（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了.請根據(jù)圖表信息找回這兩個

數(shù)據(jù).若a<b,則a,b—

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請估計該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù).

頻數(shù)（個）

22.神舟十六號載人飛船成

功發(fā)射.某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關(guān)航天模型玩具進行試銷，進價為50

元/件.

（1）設(shè)每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元.求利潤y（元）關(guān)于售價x（元/

件）的函數(shù)表達式；

（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，

并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完

畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？

23.（8分）如圖，點A的坐標是（-3,0）,點B的坐標是（0,4）,點C為。8中點.將

△ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AA'BC'.

（1）反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點C',求該反比例函數(shù)的表達式；

x

（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A'兩點，求該一次函數(shù)的表達式.

24.（8分）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明朝科

學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)

定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120

秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為，?的如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車

半徑為2米.當/=0時，某盛水筒恰好位于水面4處，此時N4OM=30°,經(jīng)過95秒

后該盛水筒運動到點8處.

問題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到2處時，/3OM的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)

1.414,北比1.732）

圖①圖②

25.（10分）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在

正方形ABCD的邊BC上任意取一點G,以BG為邊長向外作正方形BEFG,將正方形

BEFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn).

圖①圖②圖③

特例感知：（1）當BG在BC上時，連接。F,AC相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為。尸的

中點，如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；

（2）小紅繼續(xù)連接EG,并延長與。尸相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是。尸中點P,如圖②.根

據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷△APE的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

（3）如圖③，將正方形BEFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,連接。F,點尸是。尸中點，連接

AP,EP,AE,△APE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

26.（10分）如圖，二次函數(shù)y=W+fet+c的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點,

其中B(1,0),C(0,3).

（1）求這個二次函數(shù)的表達式：

（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點P,使得S△由C=SMBC?若存在，請求出P點坐標;

若不存在，請說明理由；

（3）點。是對稱軸/上一點，且點Q的縱坐標為。，當△QAC是銳角三角形時，求,

的取值范圍.

2023年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的4個選項中，只

有一項符合題目要求，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

1.（3分）中國的漢字既象形又表意，不但其形美觀，而且寓意深刻.觀察下列漢字，其中

是軸對稱圖形的是（）

A.愛B.我C.中D.華

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷.

【解答】解：人漢字“愛”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

8、漢字“我”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、漢字“中”是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

。、漢字“華”不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2.（3分）若式子后T在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<\B.x>\C.D.

【分析】直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于0,進而得出答案.

【解答】解：式子匯I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x-l至0，

解得：

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解

題關(guān)鍵.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.a84-t/2=a4B.a+t/2=a3C.（t/2）3=a5D.a2,a3=a5

【分析】直接利用同底數(shù)塞的乘除運算法則以及塞的乘方運算法則、合并同類項法則分

別判斷得出答案.

【解答】解：A.故此選項不合題意；

B.a+a1,無法合并，故此選項不合題意;

C.（/）3=/,故此選項不合題意；

D.?2??3=?5,故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)基的乘除運算以及累的乘方運算、合并同類項，正確掌

握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）某校組織青年教師教學競賽活動，包含教學設(shè)計和現(xiàn)場教學展示兩個方面.其中

教學設(shè)計占20%,現(xiàn)場展示占80%.某參賽教師的教學設(shè)計90分，現(xiàn)場展示95分，則

她的最后得分為（）

A.95分B.94分C.92.5分D.91分

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和加權(quán)平均數(shù)的計算方法，可以計算出她的最終得分.

【解答】解：由題意可得，

90X20%+95X80%=94（分），

即她的最后得分為94分，

故選：B.

【點評】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的算式.

5.（3分）如圖，菱形ABCD中，連接AC,BD,若Nl=20°,則N2的度數(shù)為（）

［分析］根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCC是菱形，

：.AB//CD,AC.LBD,

AZ￡)CA=Z1=20°,

.??Z2=90°-Z￡)CA=70°,

故選：C.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

6.（3分）如圖，平面直角坐標系中，。是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y=K（々W0）圖

X

象上的一點，過點A分別作AMLx軸于點M,AN-Ly軸于點N,若四邊形AMON的面

)

-2C.1D.-1

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)四邊形面積與反比例函數(shù)的關(guān)系即可得解.

【解答】解：由題意，設(shè)A（〃，b）,

??cib=k.

又SwijimANOM=2=ab,

：.k=2.

故選：A.

【點評】本題主要考查了反比例的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要能熟悉題意學會轉(zhuǎn)化是

關(guān)鍵.

7.（3分）如圖，圓錐底面圓的半徑為4,則這個圓錐的側(cè)面展開圖中AA'的長為（）

B.6TtC.8irD.16IT

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中弧的長等于圓錐底面周長即可得出答案.

【解答】解：這個圓錐的側(cè)面展開圖中AA'的長為如X4=8ir.

故選：C.

【點評】本題考查了圓錐的計算.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，計算要體現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：1.圓

錐的母線長為扇形的半徑，2.圓錐的底面圓周長為扇形的弧長.

8.（3分）某校組織九年級學生赴韶山開展研學活動，已知學校離韶山50千米.師生乘大

巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往,

結(jié)果同時到達.設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則可列方程為（）

A..50_=_50_+_1_B..5°.+10=―5°.

x1.2x6x1.2x

c.^2.=.jQ—+10D.旦L+-l=—

x1.2xx61.2x

【分析】設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則小車的平均速度為1.2%千米/時，根據(jù)題意

列出方程即可.

【解答】解：設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時，則小車的平均速度為1.2x千米/時，

根據(jù)題意可得：毀

x1.2x6

故選：A.

【點評】本題主要考查由實際問題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵關(guān)鍵是分析題意找出相等

關(guān)系.

二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分，在每小題給出的4個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請將正確答案

的選項代號涂在答題卡相應(yīng)的位置上）

（多選）9.（3分）下列選項中正確的是（）

A.8°=1B.|-8|=8C.-（-8）=8D.弧=±2&

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值、相反數(shù)的含義和求法，以及零指數(shù)基的運算方法，

逐項判斷即可.

【解答】解：

???選項A符合題意；

VI-8|=8,

二選項B符合題意;

：-（-8）=8,

選項C符合題意;

???我=2我,

...選項。不符合題意.

故選：ABC.

【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根、絕對值、相反數(shù)的含義和求法，以及零指數(shù)暴的

運算方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①『=1②0°#1.

（多選）10.（3分）2023年湘潭中考體育考查了投擲實心球的項目.為了解某校九年級男

生投擲實心球水平，隨機抽取了若干名男生的成績（單位：米），列出了如表所示的頻數(shù)

分布表并繪制了扇形圖：

類別ABCDE

成績6?770V880V99?10lOWxVll

頻數(shù)2625125

B.成績在9Wx<10米的人數(shù)最多

C.扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為180°

D.成績在7Wx<8米的頻率為0.1

【分析】把各類頻數(shù)相加可得樣本容量；根據(jù)分布表可得成績在9Wx<10米的人數(shù)最多;

用360°乘C類所占比例可得扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角度數(shù)：用B類的頻數(shù)除以樣本

容量可得成績在7Wx<8米的頻率.

【解答】解：樣本容量為：2+6+25+12+5=50,故選項4符合題意；

成績在8Wx<9米的人數(shù)最多，故選項8不符合題意；

扇形圖中C類對應(yīng)的圓心角為：360°X至=180°,故選項C符合題意；

50

成績在7<x<8米的頻率為：A=0.12,故選項。不符合題意.

50

故選：AC.

【點評】本題考查了頻率分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖，讀懂圖意是解決本題的關(guān)鍵；用到

的知識點為：頻數(shù)=總數(shù)X相應(yīng)頻率.

（多選）11.（3分）如圖，AC是。。的直徑，CD為弦,過點A的切線與CD延長線相交

于點8,若AB=AC,則下列說法正確的是（）

A.ADA.BCB.ZCAB=90°C.DB=ABD.AD=^BC

2

【分析】利用圓周角定理即可判斷A;根據(jù)切線的性質(zhì)即可判斷8；利用等腰直角三角形

的性質(zhì)即可判斷C；利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷D.

【解答】解：A、是。。的直徑，

AZADC=90°,

：.AD±BC,故A正確；

8、AC是。。的直徑，A8是。。的切線，

J.CA1.AB,

：.ZCAB=90°,故8正確；

C、'：ZCAB=90°,AB=AC,

/.ZB=45°

\'AD±BC,

:.BD=?-AB,故C錯誤；

2

D、'：AC=AB,AD±BC,

：.CD=BD,

,：ZCAB=9Q°,

，AO=/BO故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

（多選）12.（3分）如圖，拋物線y=o?+fcc+c與x軸交于點（3,0）,則下列結(jié)論中正確

的是（)

C.b2-4?c<0D.9a+3/?+c=0

【分析】根據(jù)圖象的開口方向可判斷選項4根據(jù)圖象與x軸的交點位置，可判斷選項3；

根據(jù)拋物線和x軸交點個數(shù)可判斷；C：根據(jù)x=3的函數(shù)值的情況，可判斷選項D

【解答】解：A、由函數(shù)圖象得，拋物線開口方向向下，故故A錯誤；

B、圖象與），軸的交點在原點上方，故c>0,故B正確；

C、因為拋物線和x軸有兩個交點，故戶故。正確；

D、當x=3時，y—9a+3b+c—0,故￡）正確.

故選BD.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)有

關(guān)性質(zhì)、以及二次函數(shù)的圖象特點.

三、填空題（本題共4個小題，每小題3分，共12分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上）

13.（3分）數(shù)軸上到原點的距離小于泥的點所表示的整數(shù)有0（答案不唯一）.（寫

出一個即可）

【分析】數(shù)軸上到原點的距離小于粕的點所表示的數(shù)為-通與粕之間的所有數(shù)，然后

寫出其中的一個整數(shù)即可.

【解答】解：數(shù)軸上到原點的距離小于遙的點所表示的數(shù)為-遙與遙之間的所有數(shù),

則其中的整數(shù)為0（答案不唯一），

故答案為：0（答案不唯一）.

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

14.（3分）已知實數(shù)a,b滿足（a-2）2+|Z>+l|=0,則/=A.

~2~

【分析】根據(jù)偶次塞及絕對值的非負性求得a,b的值，然后代入/中計算即可.

2

【解答】解：（。-2）2+收+1|=0,（a-2）>0,|6+1|20,

??a~2=0,Z?+1—0,

??。=2,b=~1,

則a"=2"=上，

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查偶次幕及絕對值的非負性和代數(shù)式求值，結(jié)合已知條件求得。，力的值

是解題的關(guān)鍵.

15.（3分）如圖，在RtZVIBC中，/C=90°,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以小

于4c長為半徑作弧，分別交AC,AB于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于工MN

2

的長為半徑作弧，在NBAC內(nèi)兩弧交于點0；③作射線40,交8c于點D若點。到

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到C。=點。到AB的距離=1.

【解答】解：由作圖知平分/84C,

NC=90°,點D到AB的距離為1,

：.CD=\.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖及角平

分線的性質(zhì).

16.（3分）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具.某同學用邊長為4小〃的正方形紙

板制作了一副七巧板（見圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組

成.則圖中陰影部分的面積為2dm2.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點，求得0E的長，即可求解.

【解答】解：如圖所示，

依題意，0。=返/。=2&,OE=LOD=a,

22

，圖中陰影部分的面積為。產(chǎn)=（&）2=2（dm2）,

故答案為：2.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

四、解答題（本大題共10個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,

請將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上）

[7x744。①

17.（6分）解不等式組:,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

[2(x+3)>x+4(2)

-5-4-3-2-1012345

【分析】先解不等式組求得其解集，然后在數(shù)軸上表示其解集即可.

[7x-14<0①

【解答】解:

[2(x+3)>x+4<2)

由①得7xW14,

則xW2,

由②得2x+6>x+4,

則x>-2,

故原不等式組的解集為：-2<xW2,

在數(shù)軸上表示其解集如下：

III&IIII〉

-5-4-3-2-1012345

【點評】本題考查在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集，正確解不等式組求得其解集

是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）先化簡，再求值：（1+，_）?立蘭，其中x=6.

x+1X2-9

【分析】利用分式的運算法則將分式進行化簡，然后代入已知數(shù)據(jù)進行計算即可.

［解答］解：原式=幻±辿?X(x：l)

x+1(x+3)(x-3)

=x+3.x(x+l)

x+1(x+3)(x-3)

=^—,

x-3

當x=6時，

原式=_§_=2.

6-3

【點評】本題考查分式的化簡求值，將分式化簡為上是解題的關(guān)鍵.

x-3

19.(6分)在Rt^ABC中，ZBAC=90°,A￡>是斜邊BC上的高.

(1)證明：XABDs/\CB限

(2)若AB=6,BC=10,求8。的長.

【分析】(1)根據(jù)已知條件得出NBD4=/B4C,又為公共角，于是得出△ABOs4

CBA；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出8。的長.

【解答】(1)證明：是斜邊BC上的高，

AZBDA=90°,

VZBAC=9O°,

：.ZBDA=ZBAC,

又.../B為公共角，

AABDsACBA；

(2)解：由(1)知△ABQs/XCBA,

.BDBA

，，BA=BC，

?..-B-D-=--6-,

610

：.BD^3.6.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知有兩個角相等的兩個三角形相似是

解題的關(guān)鍵.

20.(6分)為落實“雙減”政策要求，豐富學生課余生活，某校七年級根據(jù)學生需求，組

建了四個社團供學生選擇：A（合唱社團）、B（硬筆書法社團）、C（街舞社團）、D（面

點社團）.學生從中任意選擇兩個社團參加活動.

（1）小明對這4個社團都很感興趣，如果他隨機選擇兩個社團，請列舉出所有的可能結(jié)

果；

（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團C（街舞社團），第二個社團他倆決定

隨機選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團的概率.

【分析】（1）列舉出所有的可能結(jié)果即可；

（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團的結(jié)果有3種，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）所有的可能結(jié)果共有6種，分別為：AB、AC、AD,BC、BD、CD；

（2）畫樹狀圖如下：

開始

ABD

/KZl\/N

ABDABDABD

共有9種等可能的結(jié)果，其中小宇和小江選到相同社團的結(jié)果有3種，

，他倆選到相同社團的概率為3=」.

93

【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

21.（6分）教育部正式印發(fā)《義務(wù)教育勞動課程標準（2022年版）》.勞動課成為中小學的

一門獨立課程，湘潭市中小學已經(jīng)將勞動教育融入學生的日常學習和生活中.某校倡導

同學們從幫助父母做一些力所能及的家務(wù)做起，培養(yǎng)勞動意識，提高勞動技能.小明隨

機調(diào)查了該校10名學生某周在家做家務(wù)的總時間，并對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，過程如下：

收集數(shù)據(jù)：在家做家務(wù)時間：（單位：小時）

1541a32b34

整理數(shù)據(jù)：

時間段0?33?66?9

人數(shù)36m

分析數(shù)據(jù):

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

數(shù)據(jù)3.43.54

請結(jié)合以上信息回答下列問題：

（1）m=1,并補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成后，小明發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)不小心丟失了.請根據(jù)圖表信息找回這兩個

數(shù)據(jù).若a<b,則。=4,b=7；

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請估計該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù).

頻數(shù)（個）

【分析】（1）根據(jù)各組頻數(shù)之和等于樣本容量可求出m的值，進而補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）根據(jù)眾數(shù)的定義確定a的值，再由平均數(shù)、中位數(shù)確定b的值即可；

（3）求出樣本中“學生在這一周勞動時間不少于3小時學生”所占的百分比，進而估計

總體中“學生在這一周勞動時間不少于3小時學生”所占的百分比，由頻率=蓼鰲進行

計算即可.

【解答】解：（1）加=10-3-6=1,補全頻數(shù)分布直方圖如下：

頻數(shù)（個）

（2）樣本中1、3、4都出現(xiàn)2次，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4,因此漏掉的兩個數(shù)中必有一

個是4,而因此〃=4,

這10個數(shù)的中位數(shù)是3.5,平均數(shù)是3.4,因此漏掉的另一個數(shù)是7,即6=7,

故答案為：4,7；

（3）2000X_i_=1400（人），

10

答:該校2000名學生在這一周勞動時間不少于3小時的人數(shù)大約有1400人.

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均

數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法以及頻率=色饕是正確解答的前提.

總數(shù)

22.（6分）我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成

功發(fā)射.某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關(guān)航天模型玩具進行試銷，進價為50

元/件.

（1）設(shè)每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元.求利潤y（元）關(guān)于售價x（元/

件）的函數(shù)表達式；

（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，

并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完

畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？

【分析】（1）根據(jù)每件的利潤X件數(shù)=總利潤求解即可；

（2）設(shè)該商店繼續(xù)購進了〃?件航天模型玩具，根據(jù)資助經(jīng)費恰好10000元，列方程，求

解即可.

【解答】解：（1）y=1000（x-50）=lOOOx-50000；

（2）設(shè)該商店繼續(xù)購進了，"件航天模型玩具，

（60-50）（1000+/M）X20%=10000,

解得m=4000,

答：該商店繼續(xù)購進了4000件航天模型玩具.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立相應(yīng)關(guān)系式是解題的關(guān)

鍵.

23.（8分）如圖，點4的坐標是（-3,0）,點8的坐標是（0,4）,點C為08中點.將

△ABC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4'BC.

（1）反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點C',求該反比例函數(shù)的表達式;

x

（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A'兩點，求該一次函數(shù)的表達式.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函

數(shù)的解析式；

（2）作A'軸于從證明AAOB絲△BHA'（M5）,推出OA=BH,08=A'H,

求出點A'坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式.

【解答】解：（1）:點A的坐標是（-3,0）,點B的坐標是（0,4）,點C為。8中點,

；.OA=3,08=4,

：.BC=2,

將△ABC繞著點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BC,

：.C(2,4),

；反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點C',

X

"=2X4=8,

該反比例函數(shù)的表達式為

X

(2)作A'軸于”.

VZAOB=ZA,HB=ZABA,=90°,

AZABO+ZAfBH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

：.ZBAO=ZA'BH,

t：BA=BA,,

??./XAOB^/XBHA'(A4S),

：?OA=BH,OB=A,H,

???OA=3,OB=4,

:.BH=OA=3,A'H=OB=4,

???0H=1，

：.Af(4,1),

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=ax^b,

把A(-3,0),A,(4,1)代入得，P3a+b=0

I4a+b=l

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，

坐標與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形

解決問題.

24.（8分）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明朝科

學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)

定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120

秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為，的。O.如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車

半徑為2米.當f=0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時/AOM=30°,經(jīng)過95秒

后該盛水筒運動到點B處.

問題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，NBOM的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)

1.414,百Q(mào)1.732）

0

圖①圖②

【分析】（1）求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進行計算即可；

（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出。。、0C即可.

【解答】解：（1）由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.所以每秒轉(zhuǎn)過3600+120=3°,

.?./8OM=360°-3°X95-30°=45°；

（2）如圖，過點B、點A分別作的垂線，垂足分別為點C、D,

在RtZXAOQ中，NAO￡>=30°,0A=2米，

：.0D=^-0A=M（米）.

2

在RtaBOC中，ZBOC=45a,。8=2米，

.?.0。=亞08=&（米），

2

：.CD=0D-OC=V3*72^0.3（米），

即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時到水面的距離約為0.3米.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

25.（10分）問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在

正方形ABCD的邊BC上任意取一點G,以BG為邊長向外作正方形BEFG,將正方形

BEFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn).

圖①圖②圖③

特例感知：(1)當2G在8c上時，連接。F,AC相交于點P,小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為。尸的

中點，如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；

(2)小紅繼續(xù)連接EG,并延長與。尸相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是。尸中點P,如圖②.根

據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷AAPE的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

(3)如圖③，將正方形8EFG繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,連接。F,點P是。/中點，連接

AP,EP,AE,ZVIPE的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

【分析】(1)延長FG,交AC于“，可推出FG=BG,CG=GH,從而CD=FH,進而

得出△C￡>P絲△HFP,進一步得出結(jié)論；

(2)延長EG,交AO的延長線于點M,設(shè)OF和EG交于點Q,同理(1)可證得△OQM

會△尸。E,從而￡>。=尸0,從而得出點。和點P重合，進一步得出結(jié)論；

(3)延長EP至Q,是PQ=PE,連接QQ,延長D4和FE,交于點N,/\PDQ^/\PFE,

從而DQ=EF,NPQD=NPEF,所以NN+NA￡>Q=180°,可推出/N+NABE=180°,

進而推出△AOQ絲△ABE,AE=AQ,ZDAQ^ZBAE,進而推出/QAE=90°,進一步

得出結(jié)論.

圖1

延長FG,交AC于H,

四邊形A8CZ)和四邊形BEFG是正方形,

：.BC=CD,FG=BG,CD//AE,FG//AE,NCGH=NBGF=90°,

/.ZCHG=45°,CD//FG,

：.ZACB^ZCHG,4CDP=NHFP,NDCP=4FHP,

:.CG=GH,

，CG+BG=GH+FG,

:.BC=FH,

:.CD=FH,

：./\CDP^/\HFP(ASA),

???點尸是。尸的中點；

(2)如圖2,

圖2

△APE是等腰直角三角形，理由如下：

延長EG,交的延長線于點例，設(shè)。/和EG交于點。，

???四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，

???N3AQ=90°,NBEG=45°,AD=AB,BE=EF,AD//BC//EF,NR4C=45°,

ZM=45°,NM=NGEF,/MDQ=/EFQ,

；?NM=NBEG,

：.AM=AE,

：.AM-AD=AE-AB,

:.DM=BE,

:.DM=EF,

:.4DQM經(jīng)4FQE(ASA),

:.DQ=FQ,

???點。和點尸重合，即：EG與。尸的交點恰好也是。尸中點P,

?.?NBAC=45°,NBEG=45°,

AZAPE=90°,AP=EP,

???△APE是等腰直角三角形；

(3)如圖3,

△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：

延長E尸至Q,是PQ=PE,連接。Q,延長D4和FE,交于點N,

"：DP=PF,NDPQ=NEPF,

:APDQQXPF皂(SAS),

：.DQ=EF,4PQD=/PEF,

.?./N+/A￡>Q=180°,

,/四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，

:.NBAN=NDAB=90°,NBEN=NBEF=9Q°,AB=AD,BE=EF,

...NN+NABE=360°-/BAN-NBEN=360°-90°-90°=180°,DQ=BE,

：.NABE=/ADQ,

AADQ^AABE(SAS),

：.AE=AQ,ZDAQ=ZBAE,

：.ZBAE+ZBAQ=ZDAQ+ZBAQ^ZBAD^90°,

/.ZQAE=90°,

：.AP±EQ,AP=P￡=AEQ,

...△APE是等腰直角三角形.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定

和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是“倍長中線”.

26.(10分)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與x軸交于A,8兩點，與y軸交于C點,

其中B(1,0),C(0,3).

O\；/AX

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