高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

一、函數(shù)

1、若集合A中有n(〃eN)個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為

T_,所有非空真子集的個(gè)數(shù)是子-2。

二次函數(shù)y=?+bx+c的圖象的對(duì)稱軸方程是犬=-最，頂點(diǎn)坐

標(biāo)是_二，。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解

(2Q4a)

析式的設(shè)法有三種形式，即f(x)=ax2+bx+c(一般式)，

/(x)=a(x-xj-(x-x2)(零點(diǎn)式)和/(x)=a(x-m)2+n

(頂點(diǎn)式)。

m

2、基函數(shù)y,當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m<n時(shí)，其大致圖象

是

3、函數(shù)y=,2-5x+6(的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是

［2,2.5］和［3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,2］和［2.5,3］。

二、三角函數(shù)

1、以角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角

a的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為

.yxyxrr

r,則nilsincr=—,cosa=—,tga=—,ctga二一,seca=—,esca--。

rrxyxy

2、同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sii?a+cos2a=1,

\+tg2a=sec2a,\+ctg2a=esc2a；

倒數(shù)關(guān)系是：tga-etga=1,sina?csc6r=1,cosa?seca=l；

cosa

相除關(guān)系是：=些,ct2a=-------

cosasina

3、誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。如：

?力乃、Z15TF、z_.

sin(萬一a)=-cosa,c/g(———a)=tga,tg(^7i-a)=-tgao

4、函數(shù)y=Asin(奴+0)+8(其中A>0,G>0)的最大值是

A+B,最小值是3—A,周期是丁=2工，頻率是/=&,相位

co2乃

是GT+0,初相是0；其圖象的對(duì)稱軸是直線

TT

5+9=k7T+—(k&Z),凡是該圖象與直線y=B的交點(diǎn)都是該

圖象的對(duì)稱中心。

5、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

jrTC

y=sinx的遞增區(qū)間是2%乃一5,2匕r+](ksZ),遞減區(qū)間是

yr37r

IkTi—,2k7T+—(kGZ)；y=cosx的遞增區(qū)間是

\2k7r-乃,2匕r](A￡Z),遞減區(qū)間是[2Z?,2攵萬+〃](k￡Z),y=fgx的

遞增區(qū)間是(匕r-5，攵〃+1)(攵EZ),y=agx的遞減區(qū)間是

(左乃,ki+乃)(％￡Z)。

6^sin(a±P)=sincrcos^±coscrsin(3

cos@±/?)=cos(7cos/?4:sincrsinP

tga土區(qū)。

tg(a±f3)=

\+tga-tg(3

7^二倍角公式是：sin2a=2sina?cosa

cos2cr=cos2a-sin2a=2cos2cif-l=l-2sin2a

2tga

tg2a

1—g%

8、三倍角公式是：sin3cr=3sin?-4sin3acos3a=4cos3a—3cosc

?小而八TE,.a1-cosaa./1+cosa

9、半角公式是：sin—=±------------cos——=±------------

2V22V2

a./I-costz1-cosasina

tg—=±J----------=-----------=-----------

2Vl+cosasina1+cosa

oc

10、升嘉公式是：1+cosa=2C0S0?—1-cosa=g2si?n2—a

22

11降基公式導(dǎo)?sin?a-1-c°s2a2_l+cos2<z

11、P￡r你'ZA工人1匕?S111(JC—cos-a-—a

22

-aaa

2tg0?2%

12^萬能公式：sina=-----------cosa—_2[get—

t2aat2a

1+吆5f+吆2~2一次2

13、特殊角的三角函數(shù)值：

兀71717C31

a071

~67J~2T

V2

sina0V310-1

22V

V3J2

cosa10-10

~T~T2

不存不存

tga0縣10

在在

不存旦不存

etger百100

在V在

14、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圓半徑）:

Clbc

=2R

sinAsinBsinC

15、由余弦定理第一形式，h2=a2+c2-2accosB

a22-b2

由余弦定理第二形式，cosB=^---+c------

2ac

16^AABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表

示，半周長(zhǎng)用p表示則：

①S=工a?h”=…;②S=—bcsinA=…；

22

③S=2R2sinAsin3sinC；@S=—；

4R

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

17、三角學(xué)中的射影定理：在AABC中，Z?=a-cosC+c-cosA,-

18、在4ABC中，A<3osinA<sinB,…

19、在4ABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BCA+B,CA+BC

sin-----=cos—cos-----=sin—tg-----=cts—

222222

tgA.+tgB+tgC=tgA-tgB-tgC

三、不等式

1、若n為正奇數(shù)，由。<人可推出a"<b"嗎？(能)

若n為正偶數(shù)呢？(僅當(dāng)〃、。均為非負(fù)數(shù)時(shí)才能)

2、同向不等式能相減，相除嗎(不能)

能相加嗎？(能)

能相乘嗎？(能，但有條件)

3、兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是：竺2NJ茄

2

三個(gè)正數(shù)的均值不等式是：a+b+C>^bc

3

n個(gè)正數(shù)的均值不等式是：幺+幺+…+%>皿？…a.

n

4、兩個(gè)正數(shù)a、8的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之

間的關(guān)系是

1,12V2

ab

6、雙向不等式是:M一網(wǎng)業(yè)土耳業(yè)1+打

左邊在ab<0(>0)時(shí)取得等號(hào)，右邊在ab>0(<0)時(shí)取得等號(hào)。

四、數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是%=4+(“-1)4,前n項(xiàng)和公式是：

〃(％+%)1

Sn=----------nax+—n｛n-V)d。

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是%=a.q"-',

nat(<7=1)

前n項(xiàng)和公式是：S“=Ia?—q"),八

-5--------(<7*1)

I"q

3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛a“｝的公比q滿足時(shí)，HmS“=S=-^—。一般地，

'1一夕

如果無窮數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和的極限limS“存在，就把這個(gè)極限稱為這

/I—X?

個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和(或所有項(xiàng)的和)，用S表示，即S=limS”。

n^x>

4^若m、n、p、q￡N,且機(jī)+力=p+q,那么：當(dāng)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)

列時(shí)，有%,+4=%+露；當(dāng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列時(shí)，有

a”,?4=%%。

5、等差數(shù)列｛a“｝中，若Sn=10,S2n=30,則S3n=%；

6、等比數(shù)列｛4｝中，若Sn=10,S2n=30,則S3n=2Q；

五、復(fù)數(shù)

1、i"怎樣計(jì)算？（先求n被4除所得的余數(shù)，/—=廣）

1iFJ

2、=--+—i.0=—上—是1的兩個(gè)虛立方根，并且:

2222

3312211

69]=%=10=6920）2=--=60）---=幼

0）｝~（02

電=3?CO2=（Oxq+叱=—1

2

3、z-z=|z|o

六、排列組合、二項(xiàng)式定理

1、加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點(diǎn)？

加法分類，類類獨(dú)立；乘法分步，步步相關(guān)。

V）I

2、排列數(shù)公式是：片"=〃（〃一1）一?（“一〃2+1）=—=--；

（〃-m）l

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：P："

組合數(shù)公式是：/=.“5一1）二（仁-+'=——-——；

1x2x???xm加!?（〃一機(jī)）!

組合數(shù)性質(zhì)：c：=c;;-mC：+C：T=c;;,

is；=2"簿；=仁二；

r=0

。;+/+。二+--+禺=。::：

3、二項(xiàng)式定理：

(a+b)"=C°a"+C\an-'b+Clan-2b2+???+C；a""〃+…+C?"

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：=C；a"-7/(r=0,1,2…，n)

七、解析幾何

1、沙爾公式：|人自=/一X其

2、數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：|4目=|4—xj

3、直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：

山舄|=J(X|-々)2+(，-%)2

pP

4、若點(diǎn)P分有向線段而成定比人，貝ljA二一-—

PP?

5、若點(diǎn)片(看,必),P2(x2,y2),P(x,y),點(diǎn)P分有向線段6鳥成定比

X,則：入二忙立二口

々一工力一＞

X]+&2

X-

1+4

y+儀

1+A

若A(X|,y),B(X2,y2),C(x3,y3),則z\ABC的重心G的坐標(biāo)是

%1+x2+x3必+為+為

33

6、求直線斜率的定義式為1<=火。，兩點(diǎn)式為k=一”

/一玉

7、直線方程的幾種形式：

點(diǎn)斜式：y-%=女(工一/)，斜截式：y=kx-\rb

兩點(diǎn)式：上二$_=三二，截距式：二+2=1

力一y82一司ab

一般式：Ax+By+C=0

經(jīng)過兩條直線kA/+gy+G=0和4：&%+82>+。2=0的

交點(diǎn)的直線系方程是：A/+gy+G+A(A2x+B2y+C2)^0

8、直線Vy=k}x+bi,l2：y=k2x+b2,則從直線/1到直線4的角

。滿足：tge=七勺-

1+K,K2

直線L與4的夾角。滿足：吆。=

直線4：A,x+Bty+Cl=0,/2：&*+鄉(xiāng)丁+。2=0,則從直線4

到直線12的角0滿足：tgd=4也-

A}A2+B}B2

直線4與12的夾角0滿足：tgd=—二』

A1A，2+B[B]

9、點(diǎn)P(%,yo)到直線/：Ax+3y+C=0的距離:

d_k.+B%+q

A/A2+B~

10>兩條平行直線/］：Ar+gy+G=。，七Ax+8y+Q=°距離是

H=」G二c?[

A2+B

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x-a)2+(y-0)2=產(chǎn)

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>Q)

(nE

，圓心坐標(biāo)是|---，-----

I22

思考：方程/+/+陵+4+/=0在。2+￡；2-4/7=0和

D2+E2-4F<0時(shí)各表示怎樣的圖形？

XM

12、若A(”),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(X7j(xx2)+(yy)(yy2)=0

經(jīng)過兩個(gè)圓

2222

x+y+Dtx+Eiy+F,=0,x+y+D2x+E2y+F2-0

的交點(diǎn)的圓系方程是：

x~+y2+Dj+E]y+Ej++y~+D-,x+E,y+居)=0

經(jīng)過直線/：AJC+By+C^0與圓/+｝；2+。丫+或+/?=0的

交點(diǎn)的圓系方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)^0

13、圓1+丁=/的以尸(%,打)為切點(diǎn)的切線方程是

xox+yoy=r

一般地，曲線A^+Cy?一以+或+/=0的以點(diǎn)尸(/，兒)為切點(diǎn)

的切線方程是：Axox+Cyoy-D-^^-+E-^^-+F=Q.例如，拋

y_1_1

物線y2=4x的以點(diǎn)p（L2）為切點(diǎn)的切線方程是：2y=4X±F，即:

y=x+1。

注意：這個(gè)結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按

照求切線方程的常規(guī)過程去做。

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式法：A>0,=0,<0,等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；

②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大于半徑、等于

半徑、小于半徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。

15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：y2=-2px,

x~-2py,x2=-2py°

16、拋物線V=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：Ao,準(zhǔn)線方程是：x=-g.

若點(diǎn)P（x0,y0）是拋物線=2Px上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)

的距離（稱為焦半徑）是：匹）+"，過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋

2

物線對(duì)稱軸的弦（稱為通徑）的長(zhǎng)是：2°。

2222

17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：=+二=1和二+==1

ab-ab-

（?>/?>0）o

18、橢圓靛+京（a>>>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土c,0）準(zhǔn)線方程是

〃2c2b2

x=±—9離心率是6=上，通徑的長(zhǎng)是工。其中*=。2-62。

caa--------------

22

19、若點(diǎn)尸（%,打）是橢圓0+4=1（。＞匕＞0）上一點(diǎn)，片、F2是

ah~

其左、右焦點(diǎn)，則點(diǎn)P的焦半徑的長(zhǎng)是戶用=。+00和

|P7s|=ci—ex0o

2222

20、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：0—2=1和5-0=1

abab~

（q＞0,h＞0）o

222

21、雙曲線與一4=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±c,0）,準(zhǔn)線方程是x=±M,

ab"------------c

2

（、2/JX2v2

離心率是e=2,通徑的長(zhǎng)是'L,漸近線方程是。-==0。

aaa~h

其中°?=/+82。

22

22、與雙曲線雪-'=1共漸近線的雙曲線系方程是

ab

X2y2x2y2

=與雙曲線三一彳=1共焦點(diǎn)的雙曲線系方

abab

23＞若直線y=Zx+b與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（xi，yi）,B（X2，y2），則弦

長(zhǎng)為\A^=J（l+公）（一一叱）2；

若直線x=+/與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（xi，y）B（X2,y2），則弦

長(zhǎng)為.且=,（1+療）（必一%）2。

24、圓錐曲線的焦參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,對(duì)于橢圓和

雙曲線都有：p=L

c

25、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O'在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h,k）,

若點(diǎn)P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（x,y）,在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是

（%'?）,則x'=x-.,yr=y-ka

八、極坐標(biāo)、參數(shù)方程

1、經(jīng)過點(diǎn)外（工0，打）的直線參數(shù)方程的一般形式是：

心+1”是參數(shù)）。

2、若直線/經(jīng)過點(diǎn)凡（與,%）,傾斜角為a,則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形

Y—Y~+tCOSCK

式是：1°。是參數(shù)）。其中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的幾何

y=y0+，sina

意義是:有向線段存的數(shù)量。

若點(diǎn)Pl、P2、P是直線/上的點(diǎn)，它們?cè)谏鲜鰠?shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)

分別是小J和/，則：|片乙』1—2||；當(dāng)點(diǎn)P分有向線段

而成定比％時(shí)，//+也;當(dāng)點(diǎn)P是線段P|P2的中點(diǎn)時(shí)，

f_八+，2

I-a

2

3、圓心在點(diǎn)C（a,b）,半徑為r的圓的參數(shù)方程是：

/=，/+rcosag是參數(shù)）。

y=b+rsina

3、若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)

P的極坐標(biāo)為（夕,。），直角坐標(biāo)為（x,y）,則x=pcos0,

y=psmO,p-J—+J,吆。=）。

x

4、經(jīng)過極點(diǎn)，傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：或6=乃+2，

經(jīng)過點(diǎn)（。,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：pcss?=a,

jr

經(jīng)過點(diǎn)（a,彳）且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：psin6>=a,

經(jīng)過點(diǎn)So，%）且傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：

psin（/9-a）=/?（）sin?-a）。

5、圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是夕=廣；

圓心在點(diǎn)（a,0）,半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是°=2acos6；

■7T

圓心在點(diǎn)（小萬），半徑為口的圓的極坐標(biāo)方程是p=2asin6；

圓心在點(diǎn)（「。，為），半徑為廠的圓的極坐標(biāo)方程是

P2+Po-2ppocos（6-%）=產(chǎn)。

6、若點(diǎn)M（p[,用）、NO2，久），則

\MN\=Jp；+0；-2p\0cos（4一%）。

九、立體幾何

q，

1、求二面角的射影公式是cos。=',其中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二

S

面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，S'是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的

射影，。是二面角的大小。

2、若直線/在平面a內(nèi)的射影是直線直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過/的斜

足的一條直線，/與/'所成的角為仇，/'與m所成的角為名,/與m

所成的角為。，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是cos6=cosd-cos%。

3、體積公式：

柱體：V^S-h,圓柱體：V=兀於?h。

斜棱柱體積：V=S'?/(其中，S'是直截面面積，/是側(cè)棱長(zhǎng))；

錐體：V^-S-h,圓錐體：V^-7rr2h.

33

7,

臺(tái)體：V=1./7(S+VFS+S),

3

圓臺(tái)體：V=：#?(R2+火〃+產(chǎn))

4：

球體：V=-7tr。

3

4、側(cè)面積：

直棱柱側(cè)面積：S=ch,斜棱柱側(cè)面積：S=c'-h

正棱錐側(cè)面積：S=-ch',正棱臺(tái)側(cè)面積：S=-(c+c')h'；

22

圓柱側(cè)面積：S=c-h-27irh