理論力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)(知識(shí)點(diǎn))

第一篇靜力學(xué)

第1章靜力學(xué)公理與物體的受力分析

1.1靜力學(xué)公理

公理1二力平衡公理：作用于剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件

是：這兩個(gè)力大小相等、方向相反且作用于同一直線上。F=-F'

工程上常遇到只受兩個(gè)力作用而平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件或二力桿。

公理2加減平衡力系公理：在作用于剛體的任意力系上添加或取去任意平衡力系，

不改變?cè)ο祵?duì)剛體的效應(yīng)。

推論力的可傳遞性原理：作用于剛體上某點(diǎn)的力，可沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一

點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用。

公理3力的平行四邊形法那么：作用于物體上某點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，也作用于同一

點(diǎn)上，其大小和方向可由這兩個(gè)力所組成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表示。

推論三力平衡匯交定理：作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力，假設(shè)其中兩個(gè)力的作用

線匯交于一點(diǎn)，那么此三個(gè)力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過(guò)匯交點(diǎn)。

公理4作用與反作用定律：兩物體間相互作用的力總是同時(shí)存在，且其大小相等、

方向相反，沿著同一直線，分別作用在兩個(gè)物體上。

公理5鋼化原理：變形體在某一力系作用下平衡，假設(shè)將它鋼化成剛體，其平衡

狀態(tài)保持不變。對(duì)處于平衡狀態(tài)的變形體，總可以把它視為剛體來(lái)研究。

1.2約束及其約束力

1.柔性體約束

2.光滑接觸面約束

3.光滑較鏈約束

第2章平面匯交力系與平面力偶系

1.平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線通過(guò)各力作用線的匯交點(diǎn)，其大小和

方向可由失多邊形的封閉邊來(lái)表示，即等于個(gè)力失的矢量和，即FR=F1+F2+…+Fn=EF

2.矢量投影定理：合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數(shù)和。

3.力對(duì)剛體的作用效應(yīng)分為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力失來(lái)度量；力對(duì)剛體的

轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來(lái)度量，即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理

量。(Mo(F)=±Fh)

4.把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系稱

為力偶,記為(FF)o

例2-8

如圖2」7[a)所示的結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶，其力偶矩

為500kN?m,求A、C兩點(diǎn)的約束力。

解構(gòu)件BC只在B、C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)，因此BC是二力桿，其受力如圖2-17(b)

所示。

由于構(gòu)件AB上有矩為M的力偶，故構(gòu)件AB在較鏈A、B處的一對(duì)作用力FA、FB5

構(gòu)成一力偶與矩為M的力偶平衡(見圖2-17[c))。由平面力偶系的平衡方程EMi=0,得

-Fad+M=0

_______500

那么有FA=FB'=r-o,5-[「N=471.40N

由于FA、FB，為正值，可知二力的實(shí)際方向正為圖2-171c)所示的方向。

根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知FC=FB，=471.40N,方向如圖2-17(b)所示。

第3章平面任意力系

1.合力矩定理：假設(shè)平面任意力系可合成為一合力。那么其合力對(duì)于作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之

矩等于力系中各力對(duì)于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。

2.平面任意力系平衡的充分和必要條件為：力系的主失和對(duì)于面內(nèi)任意一點(diǎn)Q的主矩同時(shí)

為零，即FR'=0,MO=0.

3.平面任意力系的平衡方程：EFx=O,EFy=O,EMo(F)=0.平面任意力系平衡的解析條件

是,力系中所有力在作用面內(nèi)任意兩個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零,各力對(duì)

于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也是等于零.

例3-1

如圖3-81a)所示，在長(zhǎng)方形平板的四個(gè)角點(diǎn)上分別作用著四個(gè)力，其中Fl=4kN,

F2=2kN,F3=F4=3kN,平板上還作用著一力偶矩為M=2kN?m的力偶。試求以上四個(gè)力及

一力偶構(gòu)成的力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，以及該力系的最后合成結(jié)果。

解[1)求主矢FR"建立如圖3-81a)所示的坐標(biāo)系，有

F,Rx=EFx=-F2cos600+F3+F4cos30°=4.598kN

F'Ry=￡Fy=Fl—F2sin60°+F4sin30°=3.768kN

所以，主矢為

F'R=\'F*RU-FR\-=5.945kN

主矢的方向

cos〔F'R,i)=禽0.773,N(F'R,i)=39.3°

cos〔F'R,j)=用0.634,Z〔F'R,j)=50.7°

(2)求主矩，有

M0=EM0〔F)=M+2F2cos60°-2F2+3F4sin30°=2.5kN?m

由于主矢和主矩都不為零，故最后的合成結(jié)果是一個(gè)合力FR,如圖3-8〔b)所示，

FR=FR,合力FR到0點(diǎn)的距離為

M0

d=^=0.421m

例3-10

連續(xù)梁由AC和CE兩局部在C點(diǎn)用錢鏈連接而成，梁受載荷及約束情況如圖3-18〔a)所

示，其中M=10kN?m,F=30kN,q=10kN/m,l=lm。求固定端A和支座D的約束力。

解先以整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-181a)所示。其上除受主動(dòng)力外，還受固定端A

處的約束力Fax、Fay和矩為MA的約束力偶，支座D處的約束力FD作用。列平衡方程有

EFx=0,Fax—Fcos45°=0

LFy=0,FAy-2ql+Fsin45°+FD=0

EMA[F)=0,MA+M-4ql2+3FDI+4Flsin45°=0

以上三個(gè)方程中包含四個(gè)未知量，需補(bǔ)充方程?，F(xiàn)選CE為研究對(duì)象，其受力如圖3-(b)

所示。以C點(diǎn)為矩心，列力矩平衡方程有

EMC(F)=0,-1ql2+FDI+2Flsin45°=0聯(lián)立求解得

FAx=21.21kN,Fay=36.21kN,MA=57.43kN?m,FD=-37.43kN

第4章考慮摩擦的平衡問題

1.摩擦角：物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。tan3m=fs

2.自鎖現(xiàn)象：當(dāng)主動(dòng)力即合力Fa的方向、大小改變時(shí)，只要Fa的作用線在摩擦角內(nèi)，C

點(diǎn)總是在B點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。

例4-3

梯子AB靠在墻上，其重為W=200N,如圖4-7所示。梯長(zhǎng)為I,梯子與水平面的夾角為。=60°

接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25o今有一重650N的人沿梯上爬，問人所能到達(dá)的最高點(diǎn)C到A

點(diǎn)的距離s為多少？

解整體受力如圖4-7所示，設(shè)C點(diǎn)為人所能到達(dá)的極限位置，此時(shí)

FsA=fsFNA,FsB=fsFNB

ZFx=0,FNB-FSA=0

EFy=0,FNA+FsB-W-Wl=0

EMA[F)=0,-FNBsin9-FsBIcos9+Wycos6+Wlscos9=0

聯(lián)立求解得S=0.456l

第5章空間力系

1.空間匯交力系平衡的必要與充分條件是:該力系的合力等于零，即FR=LFi=O

2.空間匯交力系平衡的解析條件是:力系中各力在三條坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于

零.

3.要使剛體平衡,那么主失和主矩均要為零，即空間任意力系平衡的必要和充分條件是:該

力系的主失和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零,即FR'=LFi=0.Mo=EMo(Fi)=0

4.均質(zhì)物體的重力位置完全取決于物體的幾何形狀,而與物體的重量無(wú)關(guān).假設(shè)物體是均

質(zhì)薄板，略去Zc,坐標(biāo)為xc=EAi*xi/A,yc=EAi*yi/A

5.確定物體重心的方法

(1)查表法

(2)組合法:①分割法;②負(fù)面積(體積)法

(3)實(shí)驗(yàn)法

例5-7

試求圖5-21所示截面重心的位置。

解將截面看成由三局部組成：半徑為10mm的半圓、50mmX20mm的矩形、半徑為5mm

的圓，最后一局部是去掉的局部，其面積應(yīng)為負(fù)值。取坐標(biāo)系Oxy,x軸為對(duì)稱軸，那么截

面重心C必在x軸上，所以yc=0.這三局部的面積和重心坐標(biāo)分別為

?X102。。4R

Al=--mm=157mm,xl=-^j=-4.246mm,yl=0

A2=50X20mm2=1000mm2,x2=25mm,y2=0

A3=-"X52mm2=-78.5mm2,x3=40mm,y3=0

用負(fù)面積法，可求得

Alxl+A2x2tA3x3157X(-4246)+1000X25+(-785)x叫

Xc-A1+A2+A3I-157+1000+(-785)

第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)

第6章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

6.2直角坐標(biāo)法

運(yùn)動(dòng)方程x=f(t)y=g(t)z=h(t)消去t可得到軌跡方程f(x,y,z)=0其中

例題6-1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖6-4(a)所示，曲柄oc以等角速度w繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)連桿AB

帶動(dòng)滑塊A、B在水平和豎直槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，OC=BC=AC=L。求：(1)連桿上M點(diǎn)(AM=r)

的運(yùn)動(dòng)方程；12)M點(diǎn)的速度與加速度。

解：(1)列寫點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

由于M點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，故建立坐標(biāo)系。點(diǎn)M是BA桿上的一點(diǎn)，該桿兩端

分別被限制在水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)。曲柄做等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，?=wto由這些約束條件寫出M

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程x=(2L-r)coswty=rsinwt消去t得軌跡方程：(x/2L-r)?+(y/x)2=1

12)求速度和加速度

對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得dx/dt=-(2L-r)wsinwtdy/dt=rsinwt再求導(dǎo)al=-(2L-r)w2coswt

a2=-rw2sinwt由式子可知a=ali+a2j=-w2r

6.3自然法

2.自然坐標(biāo)系：b=tXn其中b為副法線n為主法線t

3.點(diǎn)的速度v=ds/dt切向加速度at=dv/dt法向加速度an=v2/p

習(xí)題6-10滑道連桿機(jī)構(gòu)如下圖，曲柄OA長(zhǎng)r,按規(guī)律0=9，+wt轉(zhuǎn)動(dòng)(。以rad計(jì)，

t以s計(jì))，w為一常量。求滑道上C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)、速度及加速度方程。

解：

第七章剛體的根本運(yùn)動(dòng)

7.1剛體的平行運(yùn)動(dòng)：剛體平移時(shí)，其內(nèi)所有各點(diǎn)的軌跡的形狀相同。在同一瞬時(shí)，所有

各點(diǎn)具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平移問題可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題。

7.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：瞬時(shí)角速度w=limA0/^t=de/dt

瞬時(shí)角加速度aTim^w/At=dw/dt=d29/dt2

轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度的代數(shù)值等于該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離與剛體角速度的乘積

a=V(a2+b2)=RV(a2+w2)9=arctanlal/b=arctanla|/w2

轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)速度和加速度的大小都與該點(diǎn)至轉(zhuǎn)軸的距離成正比。

例題7-1如下圖平行四連桿機(jī)構(gòu)中，01A=02B=0.2m,0102=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A

按6=15"t的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，其中。以rad計(jì)，t以s計(jì)。試求t=0.8s時(shí)，M點(diǎn)的速度與加速度。

解：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿AB始終與0102平行。因此，桿AB為平移，O1A為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)平移的特點(diǎn)，在同一瞬時(shí)M、A兩點(diǎn)具有相同的速度和加速度。A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，它

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為S=O1A,④=3ntm

所以VA=ds/dt=3mm/s3tA=dv/dt=0SnA=(VA)2/01A=45m/s

為了表示Vm、am的2,需確定t=0.8s時(shí)，AB桿的瞬時(shí)位置。當(dāng)t=0.8s時(shí)，S=2.4nm

01A=0.2m,小=2.4H/0.2=12JI,AB桿正好第6次回到起始位置0點(diǎn)處，Vm、am的方向

如下圖。

第8章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

8.1合成運(yùn)動(dòng)的概念:相對(duì)于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相對(duì)于其他參考系的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而

成，這種運(yùn)動(dòng)稱為合成運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)研究的問題涉及兩個(gè)參考系時(shí)，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系，簡(jiǎn)稱定

系。吧相對(duì)于定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系。研究的對(duì)象是動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于

定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)參考系相對(duì)于

定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)。動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著，因此，牽連運(yùn)動(dòng)具體有剛體運(yùn)動(dòng)

的特點(diǎn)，常見的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也可分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽

連運(yùn)動(dòng)。在研究比擬復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果適當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)參考系，往往能把比擬復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分

解為兩個(gè)比擬簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)。這種研究方法無(wú)論在理論上或?qū)嵺`中都具有重要意義。

動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度、相對(duì)加速度，分別用Vr和Hr

表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，分別用Va和

aa表示。換句話說(shuō)，觀察者在定系中觀察到的動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為絕對(duì)速度和絕對(duì)加

速度；在動(dòng)系中觀察到動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度分別為相對(duì)速度和相對(duì)加速度。

在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)M相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的牽連點(diǎn)。如在某

瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么動(dòng)點(diǎn)將沿著牽連點(diǎn)的軌跡而運(yùn)動(dòng)。牽連點(diǎn)是動(dòng)系上的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)到動(dòng)系上的哪一點(diǎn)，該點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。定義某瞬時(shí)牽連點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、

加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度、牽連加速度，分別用Ve和ae表示。

動(dòng)系O*V與定系Oxy之間的坐標(biāo)系變換關(guān)系為

x=xo+x'cos0-y'sin9y=yo+x'sin9+y'cos9

在點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間t,即得點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡；在點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)

間3即得點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。

例題8-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如下圖。站在地面上觀察礦砂下落的速

度為vi=4m/s,方向與豎直線成30角。傳送帶B水平傳動(dòng)速度v?=3m/s.求礦砂相對(duì)于傳送

帶B的速度。

解：以礦砂M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B上。礦砂相對(duì)地面的速度皿為絕對(duì)速度；

牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的哪一點(diǎn)的速度。可設(shè)想動(dòng)參考系為無(wú)限大，由于它

做平移，各點(diǎn)速度都等于w。于是vz等于動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度。

由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對(duì)速度必須是對(duì)角線，因此作出的

速度平行四邊形如下圖。根據(jù)幾何關(guān)系求得

Vr=V(ve2+va2-2vevacos60°)=3.6m/s

Ve與va間的夾角B=arcsin(ve/vr*sin60°)=46°12'

總結(jié)以上，在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系是運(yùn)動(dòng)的，因

此它們不能處于同一物體；為便于確定相對(duì)速度，動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)簡(jiǎn)單清楚。

8.3當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。

第9章剛體的平面運(yùn)動(dòng)

9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的分析：其運(yùn)動(dòng)方程x=fi(t)y=f2(t)9=f3(t)完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

在剛體上，可以選取平面圖形上的任意點(diǎn)為基點(diǎn)而將平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，其

中平面圖形平移的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加

速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。

9.2剛體平面運(yùn)動(dòng)的速度分析：

平面圖形在某一瞬時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等，這就是速度

投影定理。Vcosa=vcosb

例9-1

橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動(dòng)，曲柄以勻角速度3。繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖9-7所示，

OC=BC=AC=r,求圖示位置時(shí)，滑塊A、B的速度和橢圓規(guī)尺AB的角速度。

解OC繞軸O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，橢圓規(guī)尺AB做平面運(yùn)動(dòng)，vc=30r。

(1)用基點(diǎn)法求滑塊A的速度和AB的角速度。因?yàn)镃的速度，選C為基點(diǎn)。

vA=Vc+VAC

式中的vc的大小和方向是的，vA的方向沿y軸，vAC的方向垂直于AC,可以作出速度矢

量圖，如圖9-7所示。

由圖形的幾何關(guān)系可得

vA=2vccos30°=x'3?Or,Vac=Vc,Vac=wABr

解得

3AB=30〔順時(shí)針)

(2)用速度投影定理求滑塊B的速度，B的速度方向如圖9-7所示。

[vB]BC=[vC]BC

Vccos30°=vBcos30°

解得

Vb=vC=3Or

例9-5

圖9-15所示機(jī)構(gòu)中，長(zhǎng)為1的桿AB的兩端分別與滑塊A和圓盤B沿豎直方向光滑移動(dòng)，

半徑為R的圓盤B沿水平直線做純滾動(dòng)。在圖示的位置時(shí)，滑塊A的速度為vA,求該瞬時(shí)

桿B端的速度、桿AB的角速度、桿AB中點(diǎn)D的速度和圓盤的角速度。

解根據(jù)題意，桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，vA的方向，圓盤中心B的速度沿水平方向，那么桿AB

的速度瞬心為P點(diǎn)，有

vAvA

°AB=AP=kwV

vB=3AB,BP=vAtan9

vAi11vAI

vD=3AB?DPQE@,2^2cose

vBvA

圓盤B做平面運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)為其速度瞬心，那么3B=R=Rtan。

第三篇?jiǎng)恿W(xué)

第10章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的根本方程

1.牛頓第一定律：不受了作用(包括受到平衡力系作用)的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或做勻速直

線運(yùn)動(dòng)。又稱慣性定律。

2.牛頓第二定律：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方

向與力的方向相同。F=ma

3.牛頓第三定律：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一直

線，同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。

例10-2：曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖10-2⑸。曲柄OA以勻角速度3轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r,AB=L

當(dāng)入=r/l比擬小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似表示為

X=l(l--^-)+r(cos3t+-^-cos2t)

如滑塊的質(zhì)量為m,忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)3=31=0和割寸，連桿AB所受的

力。

解以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng)巾=3t時(shí)，其受力如圖10-2(b)所示。由于連桿不計(jì)

質(zhì)量，AB應(yīng)為二力桿，所以受平衡力系作用，它對(duì)滑塊B的拉力F沿AB方向?；瑝K喘x

軸的運(yùn)動(dòng)方程

Max=-FcosB

由滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可得

d*X

Ax=^-r32sos3t+Acos23t）

當(dāng)3t=0時(shí)，ax=-rw2（1+入），且B=0,得

F=mrw2（l+X）

桿AB受拉力。

nniri3」

同理可得，當(dāng)3t=2時(shí)，F(xiàn)=-1=f,桿AB受壓力

例10-5

物塊在光滑水平面上并與彈簧相連，如圖10-5所示。物塊的質(zhì)量為m,彈簧的剛度系數(shù)為

k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為a時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為1x1,彈簧力大小為

F=klxl,并指向O點(diǎn)，如圖10-5所示，那么此物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為m^=Fx=-kx

kJC

令（^口不，將上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式不”32nx=0

上式的解可寫為X=Acos（wnt+。）

其中A、。為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，當(dāng)t=0時(shí)，*0,x=a,代入

上式，解得。=0,A=a,代入式中，可解得運(yùn)動(dòng)方程為X=acos3nt

第11章動(dòng)力定理p=mvc

1.動(dòng)量：等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積.

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：

①微分形式:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和.

②積分形式:質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在任一時(shí)間間隔內(nèi)的變化，等于在同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在該指點(diǎn)

系上所有外力的沖涼的矢量和.（沖涼定理）

3.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：如果所有作用于質(zhì)心系的外力在x軸上投影的代數(shù)和恒等于零，即

EF=0,那么Vcx=常量，這說(shuō)明質(zhì)心的橫坐標(biāo)xc不變或質(zhì)心沿x軸的運(yùn)動(dòng)時(shí)均勻的。

例H-5：液體在直角彎管ABCD中做穩(wěn)定流動(dòng)，流量為Q,密度為P,AB端流入截

面的直徑為d,另一端CD流出截面的直徑為dl。求液體對(duì)管壁的附加動(dòng)壓力。

解取ABCD一段液體為研究對(duì)象，設(shè)流出、流入的速度大小為vl和v2,那么

4Q4Q

V1LF，丫2=嬴

九di

4PQ2

建立坐標(biāo)系，那么附加動(dòng)反力在x、y軸上的投影為F"Nx=PQ（v2-0）=口生

40Q2

F,,Ny=PQ[0-[-vl）]

例J11-7：圖11-6所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng),

滑塊B沿x軸滑動(dòng)。假設(shè)OA=AB=1,OA及AB都為均質(zhì)桿，質(zhì)量都為ml,滑塊B的質(zhì)量

為m2。試求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程、軌跡及此系統(tǒng)的動(dòng)量。

解設(shè)t=0時(shí)桿OA水平，那么有=wt。將系統(tǒng)看成是由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的，分別位于桿

OA的中點(diǎn)、桿AB的中點(diǎn)和B點(diǎn)。系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為

11.媼2(ml+m2)l

Xc=mlz+m27+Q2m21cos——Icos3t

-------------:----------2ml+mz

2ml+m2

2/Iml

Yc=sin?t=-~~------Hsin?t

Zml+m2

2ml+m2

上式即系統(tǒng)質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程。由上兩式消去時(shí)間t,得

2ml+m22ml+m2

L,^.xc]2+[2=1

2(ml+mZ)I----m-H----Jyc]

即質(zhì)心C的運(yùn)功軌跡為一橢圓，如圖11-6中虛線所示。應(yīng)指出，系統(tǒng)的動(dòng)量，利用式m-15)

的投影式，有

dxc

Px=mvcx=(2m1+m2)-jp=-2(m1+m2)lssin3t

dye

Py=mvcy=(2m1+m2)-^=m113cos31

例11-11：平板D放置在光滑水平面上，板上裝有一曲柄、滑桿、套筒機(jī)構(gòu)，十字

套筒C保證滑桿AB為平移，如圖示。曲柄OA是一長(zhǎng)為r,質(zhì)量為m的均質(zhì)桿，以勻角速

度w繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)?；瑮UAB的質(zhì)量為4m,套筒C的質(zhì)量為2m,機(jī)構(gòu)其余局部的質(zhì)量為20m,

設(shè)初始時(shí)機(jī)構(gòu)靜止，試求平板D的水平運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)o

解去整體為質(zhì)點(diǎn)系，說(shuō)受的外力有各局部的重力和水平面的反力。因?yàn)橥饬υ谒?/p>

軸上的投影為零，且初始時(shí)靜止，因此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心在水平軸上的坐標(biāo)保持不變。建立坐標(biāo)系，

并設(shè)平板D的質(zhì)心距0點(diǎn)的水平距離為a,AB長(zhǎng)為1,C距0點(diǎn)的水平距離為b,那么初始

時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的水平軸的坐標(biāo)為

Xd=20ma+mg+4m(r+；)+2m*20a+g+4r+21+

20m+m+4m+2m|27

設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t,平板D向右移動(dòng)了x(t),曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)了角度wt,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)為

Xc2=2°m|x(l)+a|+m^x(t)+產(chǎn)sc>l]+4m|x(l)+rcos31+Q]+2m|x(t)+b]

27m

因?yàn)樵谒椒较蛏腺|(zhì)心守恒，所以xcl=xc2,解得：X(t)=；/l-cos3t)

D

P207習(xí)題11-3

第12章動(dòng)量矩定理

1.質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩:

⑴指點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩失在Z軸的投影,等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩，即「Lo(mv)」=Lz(mv)

⑵質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和.即:Lo=ELo(mv)

2.繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的裝動(dòng)慣量與角速度的乘

積.(Lz=wJz)

3.平行軸定理:剛體對(duì)于任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與該軸平行的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣

量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積.

4.動(dòng)量矩定理:質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一點(diǎn)的

矩.

12-2:均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量都為m,圓盤半徑為R,桿長(zhǎng)3R,求擺對(duì)通過(guò)

懸掛點(diǎn)O并垂直于圖面的Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解擺對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Jz=Jz桿+Jz盤

桿對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

11

Jz桿=泮12=^m(3R)2=3mR2

圓盤對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

1

Jzc2=^mR2

利用平行軸定理

33

女盤=文。2+111(R+12)=—mR2+16mR2=^-mR2

所以

333q

Jz=Jz桿+Jz盤=3mR2+—mR2mR2

12-3：質(zhì)量為Ml的塔倫可繞垂直于圖面的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，繞在塔輪上的繩索于塔輪

間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繞在半徑為r的輪盤上的繩索于剛度系數(shù)為k的彈簧相連接，彈簧的另一端

固定在墻壁上，繞在半徑為R的輪盤上的繩索的另一端豎直懸掛質(zhì)量為M2的重物。假設(shè)

塔輪的質(zhì)心位于輪盤中心O,它對(duì)軸0的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo=2mr,R=2r,Ml=m,M2=2m.求彈簧被拉

長(zhǎng)s時(shí)，重物M2的加速度。

解塔輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)該瞬時(shí)角速度為w,重物作平移運(yùn)動(dòng)，那么它的速度為丫=1<卬,

它們對(duì)。點(diǎn)的動(dòng)量矩分別為L(zhǎng)ol,Lo2,大小為

Lol=-Jo,w=-2mr2w,Lo2=-2mR2w=-8mr2o2

系統(tǒng)對(duì)0點(diǎn)的外力矩為

MO〔Fi,)=F?r-m2g,R=ksr-4mgr

根據(jù)動(dòng)量矩定理：L0=2MO(Fi?I)

dt

得lOmr2-jp=(4mg-ks)r

d<*>-ks

a=.=----------

dtlOmr

4mg-ks

因重物的加速度a2=Ra,所以：a2=Ra

第13章動(dòng)能定理

1.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分,等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所做元功的和，這就是質(zhì)點(diǎn)系微分形式的

動(dòng)能定理.(13-23)

2.質(zhì)點(diǎn)系積分形式的動(dòng)能定理:質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系

上所有力在