2024年上海市高考數(shù)學(xué)新高考新教材新增知識系列：對三角不等式的理解與應(yīng)用

【學(xué)生版】微專題對三角不等式的理解與應(yīng)用

1、定理（三角不等式）：如果a、6是實數(shù),那么|〃+/0。|+|加；當(dāng)且僅當(dāng)"20時，等號成立。

2、推廣

（D如果。、?是實數(shù),那么||。|+|6區(qū)|?！?兇。|+|“（由定理通過代換可以推得）；

（2）如果a、b、c是實數(shù)，那么|a—dW|a—4+M—c|,當(dāng)且僅當(dāng)（Q）（Q）》0時，等號成立;

一'定理的多視角證明

1、定理（三角不等式）：如果a、b是實數(shù),那么|。+匕國。|+|回；當(dāng)且僅當(dāng)必20時.，等號成立。

【提示】

【證明】方法1：

【證明】方法2：（比較法+不等式性質(zhì)）

【證明】方法3:（分析法）；

【證明】方法4：（利用絕對值的幾何意義）;

【證明】方法5：（從向量的模與復(fù)數(shù)的模視角理解）

定理（三角不等式）：如果a、6是實數(shù)，那么|a+回ga|+M|；當(dāng)且僅當(dāng)出720時，等號成立。

不等式中，用向量分別替換實數(shù)。、b；

則當(dāng)不共線時，由向量加法三角形法則：

—?—?—?—?1―*—?a+b

向量a,a+匕構(gòu)成三角形，因此，有|a+川W|a|+|》|（a、匕同向時取等號）

定理的幾何意義：完善后的定理，從形式來看具有三角形的兩邊之和大于第三邊關(guān)系，因此有時把定理稱為絕對值

三角不等式定理。

二、定理的理解與應(yīng)用

例1、（1）設(shè)a、b為實數(shù)，求證：,+4+,-4之鼻汗.

【提示】

【證明】

（2）設(shè)°、6為實數(shù),求證:\a+t\+\a-l\>^\.

【證明

【說明】本題考查了教材要求的由等式代換結(jié)合三角不等式證明不等式；

例2、已知於）=上一2x+7,且|x—刑<3,求證：y（m）|<6|/n|+15.

【提示】；

【證明】

【說明】本題考查了利用絕對值三角不等式證明不等式；兩類含絕對值不等式問題的證明技巧；

一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)符號化為常見的不等式證明，或利用|團(tuán)-

|Z?||<|?±Z?|<|a|+族I,通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦椬C明.

另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利

用一元二次方程的根的分布等方法來證明；

例3、設(shè)機(jī)等于同，依和1中最大的一個，當(dāng)網(wǎng)>機(jī)時，求證：￡+￥<2.

【提示】

【證明】

【說明】本題考皆借助三角不等式證明含絕對值的不等式；

1、將文字語言”等于⑷，步1,1中最大的一個"轉(zhuǎn)化為符號語言“嗚川，>n>\b\.論1”是證明本題的關(guān)鍵.

2、運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)證明不等式時，要注意放縮的方向和“尺度”，切忌放縮過度.

例4、對任意xCR,求使不等式|x+l|+|x+2生機(jī)恒成立的根的取值范圍.

【提示】

【說明】方法1：

【說明】本題考查了運(yùn)用絕對值不等式求最值與范圍；

1、本題也可利用絕對值的幾何意義求解；

2.對于含有兩個絕對值以上的代數(shù)式，通常利用分段討論的方法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求函

數(shù)最值；

例5、不等式|sinx+tanx|V。的解集為N；不等式|sinx|+|tanx|V。的解集為M,則解集M與N的關(guān)系是（）

A.NJMB.MWN

C.M=ND.MN

例6、若不等式|2〃-對一切非零實數(shù)1恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[1,2]

-13"|「3一

C.-2?2D.0,2

例7、已知p,q,且pqK）,燈0,則px+彳與入%的大小關(guān)系是

例8、設(shè)小b￡R,且|〃+。+1區(qū)1,|〃+2。+4區(qū)4,求同+制的最大值.

從初中的絕對值、三角形到高中的向量，在這些看似無序無關(guān)的知識中，讓學(xué)生直觀感受實數(shù)絕對值三角不等

式|a+@w|a|+M|的若影若現(xiàn)，產(chǎn)生對新知識學(xué)習(xí)的渴望；在一個個問題的研究中，使學(xué)生的思維層次不斷提升,

由從特殊值和幾何圖形的直觀想象延伸到精準(zhǔn)的邏輯推理證明；從大量的實際問題中，讓學(xué)生提煉出絕對值三角不

等式的模型，并充分體會它的特征，并能充分的利用這些特征解決問題，突顯它的價值和意義。

絕對值不等式|。±5區(qū)團(tuán)+步I,從左到右是一個放大過程，從右到左是一個縮小過程，證明不等式可以直接用，

也可利用它消去變量求最值.絕對值不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當(dāng)?shù)淖?/p>

形使其符合絕對值不等式的條件.

1、知識層面

定理（三角形不等式）：如果a2是實數(shù)，則|a+A|W同+可，注意取等的條件。

2、方法層面

綜合法'分析法、放縮法、作差法等。

3、思想層面

分類討論思想、對稱思想'轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

4、素養(yǎng)層面

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等。

絕對值三角不等式結(jié)構(gòu)優(yōu)美，構(gòu)思巧妙，他的發(fā)現(xiàn)'證明'應(yīng)用能夠培養(yǎng)學(xué)生的探索、發(fā)現(xiàn)、推理能力，有著

良好的培養(yǎng)學(xué)生能力的機(jī)會；

1、已知實數(shù)a,b滿足ab<0,則下列不等式成立的是（）

A.\a-\-b\>\a-b\B.|a+b|<|a—

C.|〃一例<|同一|加D.|a一例<|a|十|例

2、"|x—且|y-是"|x—y,a,巾6町的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

3、設(shè)間<1,|目<1,則|a+M+|a—臼與2的大小關(guān)系是（）

A.\a+b\+\a-b\>2B.\a+b\+\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\=2D.不能比較大小

4、已知實數(shù)a,b滿足必<0,則下列不等式成立的是（）

A.\a+b\>\a-b\B.\a+b\<\a-b\

C.,\a-b\<\\a\-\b\\D.\a-b\<\a\+\b\

5、|x+l|+|2一M的最小值是

6、已知同理叫，”=用譚，"=骷’，則必〃之間的大小關(guān)系是

【提示】利用絕對值三角不等式定理分別判定用，〃與1的大小.

7、若關(guān)于x的不等式|x—l|+|x+m|>5的解集為R,則實數(shù)〃?的取值范圍是.

8、已知函數(shù)y（x）=|x—2|,g（x）=一|x+3|+m.若函數(shù)./U）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，則機(jī)的取值范圍是

9、若於）=f—x+c（為常數(shù)）,且僅一。|<1,求證：［/（%）一大砌〈2（同+1）.

inZZl/hilinziM~\b\M+\b\

10、已知同判例，"2=0_加'n=\a+b\f比較相，〃之間的大小;

【教師版】微專題對三角不等式的理解與應(yīng)用

1、定理(三角不等式)：如果a、b是實數(shù)，那么國。|+|6；當(dāng)且僅當(dāng)"20時，等號成立。

2、推廣

(1)如果4、b是實數(shù)，那么||a|+|。區(qū)|。土匕國。|+|北(由定理通過代換可以推得)；

(2)如果a、b、c是實數(shù)，那么|a—c|W|a-[+|。一。|,當(dāng)且僅當(dāng)(Q)(Q)20時，等號成立;

一、定理的多視角證明

1、定理(三角不等式)：如果。、力是實數(shù)，那么區(qū)+當(dāng)且僅當(dāng)，方20時，等號成立。

【提示】不妨從實數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)的絕對值的代數(shù)與幾何意義；以及向量的模、復(fù)數(shù)的模的幾何意義視角進(jìn)行分析

與理解；

【證明】方法1：(1)當(dāng)"N0時,則回，

再由|a+Z?|=J(a+Z?)2

=sla2+2ah+b2=+2|a"=J(|a|+網(wǎng)>=|a|+網(wǎng)，

(2)當(dāng)而<0時,則必=一|"|,

再由|a+Z?|=J(a+Z?)2；

=&+2ab+b。=一2|曲+網(wǎng)?

il2

<y/\a\+2\ab\+\b\=yl(,\a\+\b\)=\a\+\b\

綜合以上(1)、(2)|a+8區(qū)|a|+|〃|成立；當(dāng)且僅當(dāng)"20時，等號成立。

【證明】方法2：(比較法+不等式性質(zhì))由

(|。+4)2—刎+眇2=(a+Z?)2—刎+碼了=a2+b2+2ab-a2—b1=2a/?_21aq當(dāng)

時，明=a力，原式=2aZ>-2a6=0,即a+4=時+網(wǎng)

當(dāng)a〃<0時j羽=-曲原式=2r活+2a/?=4"<0,艮膽+母<同+忖

綜上所述：4a+折一刎+忖)2?0,即a+4?同+%且必20時取等號)

綜合以上|a+。區(qū)|。|+|加成立；當(dāng)且僅當(dāng)出?N0時，等號成立。

【證明】方法3：(分析法)；兩邊平方(可以參照證法2)

【證明】方法4：(利用絕對值的幾何意義)；探究\b\,|。+。|之間的關(guān)系.

①曲>0時，如下圖，容易得：|a+b|=|a|+S|.

0~aa+ba+bb0

②必<0時，如下圖，容易得：|a+b|<|a|+|b|；

ba+baxd6a+bbx

③而=0時，如下圖，容易得：|。+6|=|〃|+|。|；

綜上|。+力區(qū)|。|+|切成立；當(dāng)且僅當(dāng)，出20時，等號成立。

【證明】方法5：(從向量的模與復(fù)數(shù)的模視角理解)

定理(三角不等式)：如果。、人是實數(shù)，那么|。+8區(qū)］。|+|切；當(dāng)且僅當(dāng)出?20時，等號成立。

不等式中，用向量a,6分別替換實數(shù)a、b；

則當(dāng)a,〃不共線時，由向量加法三角形法則：______________

.________a+b

向量a,A,。+匕構(gòu)成三角形，因此，有|a+"W|a|+|Z?|(。、。同向時取等號)

定理的幾何意義：完善后的定理，從形式來看具有三角形的兩邊之和大于第三邊關(guān)系，因此有時把定理稱為絕對值

三角不等式定理。

二、定理的理解與應(yīng)用

例1、(1)設(shè)a、b為實數(shù)，求證：,+4+,一422時.

【提示】除了利用實數(shù)性質(zhì)直接證明外，也可以考慮體驗定理(三角不等式)或代換法證明；

【證明】因為2a=(a+?+(a—加，由三角不等式可得，

［2?|=|(4z+^)+(a-Z>)|<|?+Z>|+|a-^|,即|a+/?|4-|tz—Z?|>2|?|.；

其中，等號當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)(a-8)20時，等號成立；

(2)設(shè)a、b為實數(shù),求證：|a+q+|a—耳

【證明】因為a=(6+a)+S—a),由三角不等式可得，

|2Z?|=|(/>++(/>-?)|<|/?+?|+|Z>-a|=|a+/?|+|a-/?|,即|a+b|+|a_司N2Z?.；

其中，等號當(dāng)且僅當(dāng)(a+0)(a—1之0時，等號成立；

【說明】本題考查了教材要求的由等式代換結(jié)合三角不等式證明不等式；

例2、已知y（x）=/—2x+7,且|x—〃“<3,求證：［/（X）<6|/n|+15.

【提示】注意題設(shè)“結(jié)構(gòu)”與三角不等式的關(guān)聯(lián)，體驗等式到不等式的過渡；

【證明】[A^)~f(m)I=|(x-/n)(x+—2)|

=|x—ff/Hx+z/j—2|<3|x+/n—2|

S3(|x|+|m|+2).

又|x-m|V3,

所以—3+，〃<xV3+，〃.

所以3(|r|+|m|+2)V3(3+|?i|+|ni|+2)

=6|/n|+15.

所以|/U)一人》01<6網(wǎng)+15.

【說明】本題考直了利用絕對值三角不等式證明不等式；兩類含絕對值不等式問題的證明技巧；

一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)符號化為常見的不等式證明，或利用阿-

|Z?||<|?±&|<|fl|+步I,通過適當(dāng)?shù)奶?、拆項證明.

另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利

用一元二次方程的根的分布等方法來證明；

例3、設(shè)等于⑷，步|和1中最大的一個，當(dāng)|邸>加時，求證：<2.

【提示】不管⑷，\b\,1的大小，總有m>|a|,m>\b\,m>\,

然后利用絕對值不等式的性質(zhì)證明；

【證明】依題意"以"I，，〃2回，ni>\,

X|x|>m,|x|>|?|,|x|>l,從而|xF>網(wǎng).

因此■+能用+慢

_回JL上

一|x|十月啕十照一2,

即I匕a,+對bI<2.

【說明】本題考查借助三角不等式證明含絕對值的不等式；

1、將文字語言等于⑷,161,1中最大的一個“轉(zhuǎn)化為符號語言”"以al,>n>\b\,"之1”是證明本題的關(guān)鍵.

2、運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)證明不等式時，要注意放縮的方向和“尺度”，切忌放縮過度.

例4、對任意xWR,求使不等式優(yōu)+1|+僅+2佇加恒成立的小的取值范圍.

【提示】令f=|x+l|+僅+2|,只需，〃3min.

【說明】方法1：對XCR,|r+1|+|x+2|>|(x+l)-(x+2)|=1,

當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)(x+2)W0時，

即一20日—4時取等號.

，f=|x+l|+|x+2|的最小值為1,故鵬1.

?I實數(shù)，"的取值范圍是(-00,1].

—（2r+3）,x<~2,

方法2：/=|r+l|+|x+2|="1>-2<x<—1,

,2x+3,x>—1.

.1,則f=|x+l|+|x+2|的最小值為1,故mSl.

因此實數(shù)”，的取值范圍是（-8,1].

【說明】本題考直了運(yùn)用絕對值不等式求最值與范圍；

1、本題也可利用絕對值的幾何意義求解；

2、對于含有兩個絕對值以上的代數(shù)式，通常利用分段討論的方法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求函

數(shù)最值；

例5、不等式|sinx+tanx|<”的解集為N；不等式|sinx|+|tanx|V”的解集為M,則解集M與N的關(guān)系是（）

A.NUMB.MGN

C.M=ND.MN

【提示】注意題設(shè)結(jié)構(gòu)與三角不等式的關(guān)聯(lián)；

【答案】B；

【解析】由三角不等式，Wlsinx+tanx|<|sinx|+|tanx|,則MUM當(dāng)aWO時，M=N=0）：

【說明】本題考查了三角不等式與三角、集合知識的交匯；

例6、若不等式|2〃一1區(qū)k+?對一切非零實數(shù)x恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[1,2]

r133

^---

—-2D.O,2

2?

【提示】注意將求”與三角不等式建立聯(lián)系；

【答案】C；

【解析】因為x+;=團(tuán)+船2、廨j=2,當(dāng)且僅當(dāng)僅|==，即x=±l時，等號成立，所以|20一1￡2,解得一上

人陽YRIHl//

故選C；答案：C；

【說明】本題考查了三角不等式、基本不等式與恒成立問題的交匯；

例7、已知p,q,XSR,且pqK）,在0,則px+^與2標(biāo)的大小關(guān)系是.

【答案】|px+案2標(biāo)

【解析】當(dāng)pq=O時，）2[而顯然成立；

當(dāng)pg>0時，p與夕同號，則px與;也同號，

*e*Ipx+f|=網(wǎng)+罔N2標(biāo).

綜上知|px+：1

答案：卜2A病

例8、設(shè)a,6GR,且|a+6+l|Wl,|a+2Z>+4|<4?求同+|6|的最大值.

【解析】V|a+*+l|<l,|a+2Z>+4|<4,

.,.|a+i|=|(a+Z>4-l)-l|<|a+Z?-l|+|-l|=14-l=2,

|a-b|=|3(a+5+l)-2(a+2b+4)+5|

S3|a+b+l|+2|a+2b+4|+5

=3x1+2x4+5=16.

①當(dāng)a處0時,|a|+|Z>|=|a+Z>|<2；

②當(dāng)a*0時，則a(一m>0,

|a|+|Z>|=|a|+1-*|=|a+(-*)|=|a-*|<16.

由①②知，|a|+|Z>|<16.

而當(dāng)a=8,b=-8時，

二滿足|a+6+l|=L|a+2b+4|=4,且⑷+步|=16,

|Q|+網(wǎng)的最大值為16.

從初中的絕對值、三角形到高中的向量，在這些看似無序無關(guān)的知識中，讓學(xué)生直觀感受實數(shù)絕對值三角不等

式,+耳＜同+回的若影若現(xiàn)，產(chǎn)生對新知識學(xué)習(xí)的渴望；在一個個問題的研究中，使學(xué)生的思維層次不斷提升,

由從特殊值和幾何圖形的直觀想象延伸到精準(zhǔn)的邏輯推理證明；從大量的實際問題中，讓學(xué)生提煉出絕對值三角不

等式的模型，并充分體會它的特征，并能充分的利用這些特征解決問題，突顯它的價值和意義。

絕對值不等式|a士"W|a|+步|,從左到右是一個放大過程，從右到左是一個縮小過程，證明不等式可以直接用，

也可利用它消去變量求最值.絕對值不等式是證明與絕對值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時還需要通過適當(dāng)?shù)淖?/p>

形使其符合絕對值不等式的條件.

1、知識層面

定理（三角形不等式）：如果。方是實數(shù)，則|a+b|W|a|+W，注意取等的條件。

2、方法層面

綜合法'分析法'放縮法'作差法等。

3、思想層面

分類討論思想'對稱思想、轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

4、素養(yǎng)層面

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模,邏輯推理等。

絕對值三角不等式結(jié)構(gòu)優(yōu)美，構(gòu)思巧妙，他的發(fā)現(xiàn)、證明'應(yīng)用能夠培養(yǎng)學(xué)生的探索、發(fā)現(xiàn)、推理能力，有著

良好的培養(yǎng)學(xué)生能力的機(jī)會;

1、已知實數(shù)小。滿足燦<0,則下列不等式成立的是()

A.\a+h\>\a-b\B.\a+h\<\a-h\

C.\a-b\<\\a\~\b\\D.\a-b\<\a\+\b\

【答案】B；

【解析】,：ab<0,：.\a-b\=\a\+\b\,

又|a+〃<|a|+步I，...la+blc⑷+網(wǎng)=|.一你答案：B

2、"|x-a|V/n且|y—是"|x—y|V2加'(x,y,a,心二口)的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】A；

【解析】V|x-a|</n,ly—a|<m,<*.|x—d|+ly—a|<2/n.

又a)—(y—a)區(qū)|x-a|+［y—a|,y|<2ffl.但反過來不一定成立，

如取x=3,y=l,a=~2,m=2.5,|3-l|<2x2.5,但|3一(一2)|>2.5,|l-(-2)|>2.5,

J.卜一y|V2,"不一定有|x—a|<”?且小一"1<m，故"|x-a|V?i且小一a|V/n"是"|x—y,a,?iGR)的充分

非必要條件.

答案：A

3、設(shè)⑷<1,|i|<l>則|a+b|+|a—臼與2的大小關(guān)系是()

A.\a-Vb\-\-\a-b\>2B.\a-\-b\A-\a-b\<2

C.\a+b\+\a-b\^2D.不能比較大小

【答案】B；

【解析】當(dāng)(a+A)(a一萬后0時，|a+b|+|a一句=|(a+6)+(a—A)|=2|a|<2,

當(dāng)(a+b)3—B)vO時,|a+*|+|a-fe|=|(a+*)-(a-*)|=2|*|<2；答案:B

4、已知實數(shù)a,匕滿足4<0,則下列不等式成立的是()

A.\a-\-b\>\a-b\B.\a-\-b\<.\a~b\

C.,|a-6|<||a|-|Z?||D.|a-fe|<|a|+\b\

【答案】B

【解析】'：ab<Q,.,.|a-&|=|a|+|M>|a+*|=||a|-|Z>||,故應(yīng)選B.

5、|x+1|+|2—x|的最小值是.

【答案】3

【解析】?.,|x+l|+|2-x|>|(x+l)+(2-x)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)(x+l)(2—%巨0,

即一1W爛2時，取等號.因此僅+1|+|2.一川的最小值為3.

6、已知間冉臼，相=呼一整，"」?上，，則〃?，"之間的大小關(guān)系是________.