2023年高考數(shù)學(xué)適應(yīng)試題及答案 (三)

1.設(shè)集合/={x|x2+x-2<0,xeR},5={x||x-l|<1},則ZD8=()

A.{x|-l<x<2}B,{x|O<x<l}C.{x|-2<x<2}D.{x10<x<2}

2.“加=一2”是“直線4:mx+4y+2=0與直線《：x+my+l=O平行”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.空氣質(zhì)量指數(shù)是評估空氣質(zhì)量狀況的一組數(shù)字，空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為［0,50）、［50,100）、

［100,150）,［150,200）,［200,300）和［300,500］六檔,分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕度污

染”、“中度污染'、、"重度污染”和“嚴(yán)重污染''六個等級.如圖是某市2月I日至14日連續(xù)14

天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，則下面說法中正確的是（）

空氣質(zhì)量指數(shù)

300

250

243

2(H)\157,

)50

HM)

50

I234567891011121314口期

A.這14人中仃5天?氣質(zhì)枇為“中度污染”

B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好

C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是214

D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日

4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線x+2y-4=0與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)力，8,圓。經(jīng)過片,

B,且圓心在7軸上，則圓C的方程為（）

A.%I2+y2-8j^-9=0B.x2+V-6y-16=0

C.x~+y~+Sy—9=0D.x2+y2+6y-16=0

5.己知雙曲線C：左-￡=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,l)在C的漸近線上，則C的方程為()

6.拋物線/=2px(p>0)焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|=4|OF|,

AM廠。的面積為4百，則拋物線方程為()

A.y2=6xB.y2=8xC.y2=\6xD.y2=~^x

7.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)x<0時，/(x)>0.給

出以下四個結(jié)論：

①/(。)=0；②/(x)可能是偶函數(shù)；③〃x)在［加㈤上一定存在最大值/(〃)；

④的解集為{x|x<l}.

其中正確的結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

70

8.在焦點(diǎn)在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是,則橢圓離心率的范圍

是()

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。

9.己知圓。+爐=4和圓+/-2x+4y+4=0相交于4,8兩點(diǎn)，下列說法正確的

是()

A.圓M的圓心為(1,-2),半徑為1

B.直線的方程為x_2y_4=0

C.圓心。到的距離為氈

5

D.線段的長為逑

5

2

10.已知函數(shù)/（丫）=28$（5：+9）+1（0>0,0<夕<萬）的部分圖象如圖所示，則（）

A.0=2

rn

B.（p=一

6

c.“X）在［等，弓］上單調(diào)遞增

D./（x+g）的圖象關(guān)于直線x=f對稱

64

11.如圖，在正四棱柱Z8CO-44CQ中，=248=2，點(diǎn)尸為線段上一動點(diǎn)，則下

列說法正確的是（）

A.直線2隹〃平面8Q。

B.三棱錐P-BCQ的體積為也

3

C.三棱錐。-8G。外接球的表面積為6萬

D.直線PB、與平面BCCR所成角的正弦值的最大值為手

3

12.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)冗（0,1）,8（0,-1）的距離的積等于5的點(diǎn)尸的軌跡，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱B.點(diǎn)尸到原點(diǎn)距離的最大值為巫

2

C.A耳Pg周長的最大值為2+布D.點(diǎn)尸到V軸距離的最大值為*

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線/經(jīng)過兩點(diǎn)/（一1,加若直線/的方向向量的坐標(biāo)為（3,1）,則，片.

14.已知橢圓工+且=1上的點(diǎn)〃到該橢圓一個焦點(diǎn)F的距離為2,N是M尸的中點(diǎn)，。

259

為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段ON的長是.

15.已知函數(shù)［（x）=J"，*°,則函數(shù)g（x）=f2（x）-3/（x）+2零點(diǎn)的個數(shù)是__________.

［I/wx|,x>0

16.已知N為拋物線犬=4、上的任意一點(diǎn)，W為圓產(chǎn)+（3-5）2=4上的一點(diǎn)，4（0,1）,則

2|W|+|M4|的最小值為.

5

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)在。8c中，角4,B,C的對邊分別為a、b、C,向量

m=(COS(T4-B),sin(Z-B)),w=(cosB,-sin5),且而.厲=-1.

(1)求sinA的值;

(2)若°=4應(yīng)，b=5,求&4BC的面積.

18.(本小題滿分12分)2023年，某省實(shí)行新高考，數(shù)學(xué)設(shè)有4個多選題，在給出的力,

8，C,。四個選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0

分，部分選對的得2分.現(xiàn)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試.

(1)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小李同學(xué)做對第一個多選的概率為」，做對第二個多選題的概率為！，

42

做對第三個多選題的概率為1.求小李同學(xué)前三個多選題錯一個的概率；

6

(2)若最后一道數(shù)學(xué)多選題有三個正確的選項(xiàng)，而小智和小博同學(xué)完全不會做，只能對這

道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個選項(xiàng)是否被選到是等可能的.若小智打算從中隨機(jī)選擇一個

選項(xiàng)，小博打算從中隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng).

(i)求小博得2分的概率；

(ii)求小博得分比小智得分高的概率.

4

19.（本小題滿分12分）如圖，在梯形43C。中，AB!/CD,4D=DC=BC=2,Z.ABC=60°,

將ZUCO沿邊/iC翻折，使點(diǎn)。翻折到P點(diǎn)，且PB=2丘.

（1）證明：8C_L平面P/C.

（2）若E為線段PC的中點(diǎn)，求平面NEB與平面,48C夾角的余弦值.

pc/

20.（本小題滿分12分）己知拋物線/=2”（。＞0）的焦點(diǎn)為尸，418C的頂點(diǎn)都在拋物線

上，滿足⑸+而+而=0，

（1）求|口|+|尸3|+|F。|的值；

（2）設(shè)|（［線AB、『［線BC、2線/C的斜率分別為kAB,km.,kM.,若實(shí)數(shù)，滿足:

21.（本小題滿分12分）已知雙曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為耳（一2,0）,6（2,0）,點(diǎn)

2,《在雙曲線E上.

（1）求后的方程；

（2）過名作兩條相互垂直的直線4和4，與E的右支分別交于力，C兩點(diǎn)和8,。兩點(diǎn)，求

四邊形N8CO面積的最小值.

22.（本小題滿分12分）如圖，設(shè)P是圓、2+/=8上的動點(diǎn)，點(diǎn)。是點(diǎn)尸在x軸上的投

影，M點(diǎn)滿足MD=APZ）（A豐0）,/.一卜.一了

（1）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡。的方程；____JI：）:

（2）若a=；，設(shè)點(diǎn)么（2,1）,/關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)8,、、一［■J7

直線I過點(diǎn)且與曲線C交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)T.

設(shè)直線的斜率為匕，直線3N的斜率為質(zhì)

k,

（i）求證：1為定值；

（ii）求證：存在兩條定直線小使得點(diǎn)7到直線4、4的距離之積為定值.

b

1.解：選c.

2.解：由直線4：mx+4y+2=0與直線:x+沖+1=0平行可得加2一4=0,解得〃?=±2,

當(dāng)機(jī)=2時，直線4:2x+4.y+2=0與直線4：x+sy+1=0重合，所以只取〃?=一2.

所以“m=-2”是“直線卜:mx+4y+2=0與直線l2:x+my+l=0平行”的充要條件.故選：/.

3.解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于/,這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)在口50,200)

之間，則有4天為“中度污染”，/錯誤；對于3,從2日到5日空氣質(zhì)量逐漸下降，即空

氣質(zhì)量越來越好，3正確；對于C,將14組數(shù)據(jù)從小到大排列：80,83,138,155,157,

165,179,214,214,221,243,260,263,275,其中位數(shù)為:(179+214)=196.5,C錯誤；

對于。，5日到7日的三天，數(shù)據(jù)相差比較大，則連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小不是5

日到7日，。錯誤.故選：B.

4.解：?.直線x+2y-4=0與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)/(4,0),3(0,2),圓C經(jīng)過/,B,且

圓心在V軸上，線段的斜率為-;，中點(diǎn)為(2,1),故線段N3的中垂線為了-1=2(》-2),

線段的中垂線與V軸的交點(diǎn)、(0,-3)為所求的圓的圓心，半徑及優(yōu)="7F=5，

故圓的方程為V+(y+3)2=25,即+y2+6y-16=0,故選：D.

22

5.解：雙曲線C:寧-%=1的焦距為10,點(diǎn)尸(2,1)在。的漸近線上，

22?

:.a+b=25,—=1,.\b=yj5,Q=2逐.?.雙曲線的方程為上一匕=1./f—

0205/PA

故選：C.

6.解:由題意，叫,0),準(zhǔn)線方程為x=/,-：\MF\=4\OF\,:\MF^2p.

:.M的橫坐標(biāo)為2p=gp，:.M的縱坐標(biāo)為y=±6?,

AMF。的面積為46，島=46，

22

.?.拋物線的方程為y=8x.故選：B.

7.【詳解】對于①，令x=0,則/(0)=/(0)+/(0),所以/(。)=0,故①正確；

對于②，令片-x,則/⑼=/(x)+/(-x)=0,所以/(—x)=—/(x),所以〃x)為奇函

數(shù)，又當(dāng)x<0時，/(%)>0,所以/'(x)不是常函數(shù)，不可能是偶函數(shù)，故②錯誤；

對于③，設(shè)一,則x-"0,則〃x_y)=〃x)+/(—)=〃x)_/3>0,所以

f(x)>f(y),所以/(x)是減函數(shù),所以，(x)在r,"］上一定存在最大值〃加),故③錯

誤；對于④，因?yàn)椤╔)為減函數(shù)，"0)=0,由y(x-i)>o=/(o),得x-i<0,解得

X<1,所以的解集為{x|x<l},故④正確.故選：B.

8.解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=+多=l(a>6>0).設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

ab

(acosO,6sinO),Oe［o，m，則矩形面積為S=2a6sin2。，則最大矩形的面積為2a6,

^-b2<2ab<-b2,則Lc,bUJ,

22229a7

則離心率e=士=j?e［與,殍］,故選：C.

9.解：對于/,圓M:x2+/-2x+4y+4=0,:（x-l）2+（y+2）2=1,

則圓"的圓心為。,-2),半徑為1,故Z正確;

對于5,已知圓0:工2+/=4和圓M一2%+4y+4=0相交于A,B兩點(diǎn),

則兩式相減得％-2y-4=0,故直線的方程為％-2歹-4=0,故5正確;

對于C,由5選項(xiàng)得直線的方程為％-2y-4=0,

0(0,0),.??圓心。到的距離為1=4=攣，故C錯誤;

V55

對于。，0(0,0),廠=2,圓心。到4?的距離為1=甲=迪

V55

|AB|=2yjr2-d2=2小,故。正確.故選：ABD.

11TTSTT27r

10.解：由圖可知？=2（不-=）=%，則。=——=2,故/正確；

121271

57rS457r7t

因?yàn)?（——）=2cos（2x---F。）+1=—1,所以——+。=2左乃+?（左￡Z）,即。=2左》+—（左GZ）,

121266

冗

因?yàn)?<。<%，所以9=:，則3正確;

6

TT7冗冗

令2左萬一42x+—€Z）,解得hr----xkn-----（左EZ）,此時/（x）單調(diào)遞增;

61212

jr

令2k兀2%+,2k7i+GZ),解得左乃---%■左乃+石■(左eZ),此時/(x)單調(diào)遞減.

4%\7兀―「17萬5兀、.

由、￡［l-，?。?，得/(、)在［三■，”)上單調(diào)遞減，在［”,方］上單調(diào)遞增，則。錯誤;

DDD_L4L乙，

因?yàn)?(x)=2cos(2x+—)+1,所以/(無+2)=2cos(2x+—)+l=-2sin2x+l.

令2x=人"+工，k&Z,得尤=--+—,左eZ.

224

當(dāng)左=0時，x=￡,則〃x+W)的圖象關(guān)于直線x=￡對稱，故。正確.故選：ABD.

464

11.解：對于/,由長方體的性質(zhì)得么2//8￡,ABJ!DCX,因?yàn)槿势矫鍮G。，By

平面BQD，所以40"/平面BQD,同理，AB,《平面BQD,DC,u平面BCQ，所以/耳//

平面Bq。，又且4D|U平面48a,4B|U平面ABQ,A,

所以平面/耳2〃平面8CQ,

又尸瓦u平面N片口，從而直線網(wǎng)"/平面3G。，故N正確;

對于3,由N知，平面480"/平面8G。，尸點(diǎn)在平面NCQ］,

所以Vp-BC、D=V'-BCiD=，GTBD=1X/Xlxlx2=§,故5錯誤；

222

對于c,三棱錐2-BC\D外接球的半徑R=~ACl=1Vl+l+2,

所以三棱錐2-BC.D外接球的表面積為S=4萬&=4%?=6"，故C正確;

對于。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,所在的直線為x軸，V軸，z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，則，(1,0,0),D,(0,0,2),5,(1,1,2),則西=(一1,0,2),

設(shè)4P=/U￡＞；,則/P=(-2,0,22),即尸(1-幾，0,22),5/=(-2,1,22-2),

可得面8cBe的一個法向量力=(°，1，0)，設(shè)直線2與與平面8CG片所成角為6，

..n-B.P11

jjiysin0n=|-1=-］="/,

"\n\-\B}P\M+i+qx-i)2加一一一+5

故X=sin。有最大值為也,故。正確.故選：ACD.

53

,3

12.解：由題意，曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)￡(0,1),工(0,-1)的距離的積等于§的點(diǎn)P的

軌跡，設(shè)尸(X,y),可得Jx?+3+1)2QY+U-1)2=g,即[x2+(y+l)2].[x2+(y_l)2]=5

以-X替換x,-y替換V方程不變，，曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故A正確；

由PRPF=附|陷］cose=Icos。=|尸0「-1=>\PO\

2=—cos9+lW—

貝I尸。區(qū)萼，當(dāng)尸耳、至同向時取等，故|尸。上《平〈百故B正確?

設(shè)《=收+(y+l)2,[=+(1_])2,得至ijQb'，

則Q+b2VaF=2-=V6,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立，

二.△片尸與周長的最小值為/消嗨=〃+6+2=2+而，故C錯誤；

a2+b2-4a2+b24

過點(diǎn)P作尸片與，則cos/片時=—xlab——

333

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立，當(dāng)/月尸月=5時，sin/片尸耳取得最大值，

13134/'

的最大面積為S=-ab-sinZFPF=-,又由S"鳥=^|大811'|=,后，

△FXPF2i2

33

解得|?！陓=:，即點(diǎn)P到歹軸的距離為了，故D不正確；故答案為：AB.

44

11-m11

13.解：直線/的方向向量的坐標(biāo)為(3,1),故左=§,即/1=3，解得加=萬

14.解：由橢圓的定義可知，點(diǎn)/到另一個焦點(diǎn)尸'的距離JL

\MF'|=2a-2=2x5-2=8,J、

【。為EF'的中點(diǎn)，N是MF的中點(diǎn)，.?」CW|=；|"F'|=4,故答案為：4.

15.解：令g(x)=0,即/2(x)-3/(x)+2=0,解得/(x)=l或/(x)=2,

作出函數(shù)〃x)的圖象如圖，

由圖可知，方程八＞)=1有3個實(shí)數(shù)解，〃x)=2有士卜＜

01X

3個實(shí)數(shù)解，且均互不相同，所以g(x)=。的實(shí)數(shù)解有6個，

所以函數(shù)g(x)=/2(x)_3/(x)+2零點(diǎn)的個數(shù)是6個.故答案為：6.

16.解：由點(diǎn)M的軌跡為圓及所求問題，聯(lián)想到阿氏圓.設(shè)常="0(O,a),M(x,y),可得：

商+般1)2"G+Q-af,整理可知點(diǎn)M軌跡為圓：

(A2-l)x2+(萬一1)/+(2一2.分)/+分/-1=0.又因點(diǎn)M在圓f+(y-5)2=4上，所以可

得：2=2,a=4,即——=2,MA=2MQ,2MN+A4A=2MN+2MQ,要求出AGV+M。

MQ-一

的最小值，只需MN,°三點(diǎn)共線，且NQ最小.此時(ACV+MQ)1nm=N0ml-下面求解N0mhi

點(diǎn)N為拋物線上的點(diǎn)，可設(shè)N(x,y),NQ=^X2+(^-4)2=^4J+(J-4)2=yJy2-4y+]6

當(dāng)y=2時，NQmm=2g,則2MV+M4的最小值為4百

3

17.解：(1)m-n=~-,

3

cos(4-B)cosB-sin(4-5)sin5=cos(4-B+B)=cosA=--,

.AG(0,^-),/.sinA=d'-cos2A=g.

(2)由余弦定理可得,(4>/2)2=52+C2-2X5CX(-|),解得C=1,

,114

故A45C的面積為—bcsinZ=—x5xlx—=2

225

18.解：(1)設(shè)事件/為小李同學(xué)前三個多選題錯一個題，

.11131131519

milPD(ZA)=—x—x—+—x—x—+—x—x—=—

42642642648

(2)(i)因?yàn)樽詈笠坏蓝噙x題有三個正確選項(xiàng)，不妨設(shè)正確的選項(xiàng)為ABC,若小博隨機(jī)填

涂兩個選項(xiàng)，則小博可能的作答結(jié)果為：AB,AC,AD,BC,BD,CD,則他得2分的概率為;.

(ii)小智隨機(jī)填涂一個選項(xiàng)，則小智可能的作答結(jié)果為：A,B,C,D,則他得2分的概率為

士，得0分的概率為上。

44

設(shè)事件8小博得分比小智得分高，則8發(fā)生等價于小智得。分且小博得2分，

則尸(8)=LXL=!

428

19.解：(1)證明：等腰梯形48。中，AD=BC=CD=2,AB//CD,ZABC=60°,

所以/。48=44。。=/0/。=30。，所以44c3=90。，所以NC_L3C,

又由5c2+尸。2=B尸2,可知3C_LPC,

XFCQT1C=C,NCu面尸4C,PCU面尸/C,所以8C_L面尸NC.

(2)過點(diǎn)C作CN,平面/8C,以C為原點(diǎn)，分別以C/、CB、CN所在直線為x、V、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

則C(0,0,0),3(0,2,0),/(2百,0,0),頤手,0,g),

則AB=(-273,2,0),EA=(|A/3,0,-1)

m-AB=-2Gx+2〉=0

設(shè)面E45法向量為統(tǒng)=(%//),貝lj361

m-EA=---x—z=0

I22

令％=1,則＞=百，z=36,所以防=（1,百,3百），

-3-百-----=^-793,

又面45C一個法向量為〃=（0,0」），所以cos〈防］〉=I

lxJ1+3+2731

所以平面AEB與平面ABC夾角的余弦值為鼻回.

20.解：(1)設(shè)4(玉,%),8(無2,%),。(毛,%),

FA+FB+FC=0,二［再一~|■，必卜卜一多叫J+卜一與,多卜僅⑼

3P

%+%+%=°,玉+%2+退T,故

\F^\+\FB\+\FC\=x,p,,p,,p,,、3pr

l+-+X2+W+%3+萬=玉+%2+-=3p

—(y2-y]2)1y+y

(2)???1%-再2p*2八,%+%，同理幺3一21_%+.%

==------=------------=~；—kBC2pkCA2P

kAB%一M%一M2P

,11%+―%+%%+%+2%

.----1----=-------1-------=-----------

LkBC2P2P2P

又由（1）知M+%+%=。，故%=-弘-%,故

,1,1%+%-2(M+%)M+y

一:—,從而x=—1.

k

kABkBC2p2PCA

21.解：(1)由題意，得2a=J16+；-J6百R

----=>a=\3

3

又因?yàn)閏=2,則力2=1,故E的方程為fy2=1.

（2）根據(jù)題意，直線4,的斜率都存在且不為0,

設(shè)直線4：＞=左卜一2）,/2:j=-—（x-2）,其中左力0,

k

V3—>—,所以‘〈女2<3,

因?yàn)?,，2均與石的右支有兩個交點(diǎn)，所以網(wǎng)>——,

3k33

2

將4的方程與——y2=1聯(lián)立，可得(1-3A2)x?+12*x—12*-3=0,

-12k2—12左2—3

設(shè)/(看,弘),<?(%2，%)，則%+%=

l-3k->i_4左2

所以(％%一%左2忖-%J1+E2再入

|/C|=JX]—)2+(J=J1+I=+x2)-42

\2

C-12k2-12k2-32氐儲平_2頻+左2)

=Jl+'2-4x='

(1-3心1-3FI1-3F3r-1

用-g替換左，可得忸z)|=2百()+1),

2頻+產(chǎn))2A/3(F+1)

所以邑BCD=gMC|?忸D|=g-

3左2-13—左2

令”r+1,所以左2=t_ijeP4)

m'iT二6”16=6.3^n|=^6i

+1

當(dāng);=g，即人=±1時，等號成立，故四邊形/8CZ)面積的最小值為6.

22.解：⑴設(shè)點(diǎn)Af(x,y),尸(%,％；),則￡)(x,0)

由A/D=XPZ>(XHO),可得：(0,-歹)=/1(%-%,-％),故x=Xo，y=2為，

,2.27.2,2-.2

又為/+汽2=8,則/+與.=8,即土+=1,故點(diǎn)M的軌跡C的方程為：—+-^―=1

2288228822

(2)此時曲線C的方程為：—+^=1

82

(i)證明：設(shè)直線的斜率為尢，直線8N的斜率為左2?

或N[I當(dāng),M

①當(dāng)直線，x軸時，l:x=l,此時可求得：M

I2)

又則6(2-1),則_1_也或

"1=