9.1 不等式及其基本性質(zhì)(要點(diǎn)梳理、類型講解)_第1頁
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不等式及其基本性質(zhì)(知識(shí)講解)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解不等式的意義,認(rèn)識(shí)不等式和等式都可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系.2.知道不等式解集的概念并會(huì)在數(shù)軸上表示解集.3.理解不等式的三條基本性質(zhì),并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、不等式的概念一般地,用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.特別說明:(1)不等號(hào)“<”或“>”表示不等關(guān)系,它們具有方向性,不等號(hào)的開口所對(duì)的數(shù)較大.(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義:符號(hào)讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的,但不能確定哪個(gè)大,哪個(gè)小“<”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“>”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”,表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”,表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù),如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知數(shù),如2x>5中,x表示未知數(shù),對(duì)于含有未知數(shù)的不等式,當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí),不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系,我們說不等式成立,否則,不等式不成立.要點(diǎn)二、不等式的解及解集1.不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.2.不等式的解集:對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,它的所有解組成這個(gè)不等式的解集.特別說明:不等式的解是具體的未知數(shù)的值,不是一個(gè)范圍不等式的解集是一個(gè)集合,是一個(gè)范圍.其含義:①解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中3.不等式的解集的表示方法(1)用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地,一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解,其解集是一個(gè)范圍,這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來表示.如:不等式x-2≤6的解集為x≤8.(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來,形象地表明不等式的無限個(gè)解.如圖所示:特別說明:借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來,在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要注意兩個(gè)“確定”:一是確定“邊界點(diǎn)”,二是確定方向.(1)確定“邊界點(diǎn)”:若邊界點(diǎn)是不等式的解,則用實(shí)心圓點(diǎn),若邊界點(diǎn)不是不等式的解,則用空心圓圈;(2)確定“方向”:對(duì)邊界點(diǎn)a而言,x>a或x≥a向右畫;對(duì)邊界點(diǎn)a而言,x<a或x≤a向左畫.注意:在表示a的點(diǎn)上畫空心圓圈,表示不包括這一點(diǎn).要點(diǎn)三、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1:不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變.用式子表示:如果a>b,那么a±c>b±c.不等式的基本性質(zhì)2:不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變.用式子表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).不等式的基本性質(zhì)3:不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.用式子表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).特別說明:不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點(diǎn):(1)不等式的基本性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù),是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ),它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系,又有區(qū)別,注意總結(jié)、比較、體會(huì).(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向要改變.【典型例題】類型一、不等式的定義??識(shí)別??列不等式 1.老師在黑板上寫了下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥.你認(rèn)為其中是不等式的有(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義,依次分析即可.解:∵用不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子叫做不等式,其中常用不等號(hào)有:“”,∴屬于不等式的為:,共有4個(gè).故選:C【點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的定義,用“”或“”或“”或“”號(hào)表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式,用“”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式.舉一反三:【變式】下面給出6個(gè)式子:①3>0;②4x+3y>0;③x=5;④a-b;⑤x+3≤8;⑥3x≠0,其中不等式有(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【分析】依據(jù)不等式的定義:用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷.解:①3>0;②4x+3y>0;⑤x+3≤8;⑥3x≠0,這些都是不等式,共有4個(gè),故選:C.【點(diǎn)撥】本題考查不等式的識(shí)別,一般地,用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式.解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見不等號(hào):>,<,≤,≥,≠.2.有兩種商品其單價(jià)總和超過100元,且甲商品的單價(jià)是乙商品單價(jià)的2倍少10元,設(shè)未知數(shù),并用不等式表示出上述關(guān)系;【答案】設(shè)乙商品的價(jià)格為x元,x+2x-10>100【分析】設(shè)乙商品的價(jià)格為x元,表示出甲商品的價(jià)格,然后根據(jù)兩商品的單價(jià)總和超過100元,列不等式即可.解:設(shè)乙商品的價(jià)格為x元,則甲商品的價(jià)格為(2x-10)元,由題意得,x+2x-10>100.即不等式為:x+2x-10>100.【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,讀懂題意,抓住關(guān)鍵詞語,弄清運(yùn)算的先后順序和不等關(guān)系,才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的不等式.舉一反三:【變式】通過測(cè)量一棵樹的樹圍(樹干的周長(zhǎng))可以計(jì)算出它的樹齡;通常規(guī)定以樹干離地面1.5米的地方作為測(cè)量的部位,某棵樹栽種時(shí)的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約3cm,這棵樹至少生長(zhǎng)多少年,其樹圍才能超過2.4m?根據(jù)題意,完成下面填空:(1)題目涉及的兩個(gè)有關(guān)系的量,分別是:_____________________________;(2)設(shè)生長(zhǎng)年份為x,則樹圍用x表示為:__________________;(3)用文字?jǐn)⑹錾L(zhǎng)年份與樹圍滿足的不等關(guān)系是:______________________________;(4)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)表示(3)中的不等關(guān)系:___________________________;【答案】(1)生長(zhǎng)年份,樹圍;(2)5+3x;(3)這棵樹生長(zhǎng)x年,其樹圍才能超過2.4m;(4)5+3x>240【分析】(1)由題可知兩個(gè)有關(guān)系的量分別是生長(zhǎng)年份和樹圍;(2)栽種時(shí)的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約3cm,可知x年后,樹圍為(5+3x)m;(3)這棵樹生長(zhǎng)x年,其樹圍才能超過2.4m;(4)由題意可得5+3x>2.4×100.解:(1)由題可知兩個(gè)有關(guān)系的量分別是生長(zhǎng)年份和樹圍;故答案為生長(zhǎng)年份,樹圍;(2)栽種時(shí)的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約3cm,可知x年后,樹圍為(5+3x)cm;故答案為5+3x;(3)用文字?jǐn)⑹錾L(zhǎng)年份與樹圍滿足的不等關(guān)系是:這棵樹生長(zhǎng)x年,其樹圍才能超過2.4m;故答案為這棵樹生長(zhǎng)x年,其樹圍才能超過2.4m;(4)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)表示(3)中的不等關(guān)系為:5+3x>2.4×100,故答案為5+3x>240【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,讀懂題意,抓住關(guān)鍵詞語,弄清運(yùn)算的先后順序和不等關(guān)系,才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的不等式.類型二、不等式的解集??理解與認(rèn)識(shí)??數(shù)軸上表示解集3.下列各數(shù)中,哪些是不等式x+2<4的解?哪些不是?-3,-1,0,1,,2,,3,4.【分析】將題中所給的數(shù)據(jù)代入不等式進(jìn)行判斷即可.解:把題中各數(shù)分別代入不等式x+2<4,得-3,-1,0,1,是不等式x+2<4的解,2,,3,4不是不等式x+2<4的解.【點(diǎn)撥】不等式的解是指在含有未知數(shù)的不等式中,能夠使不等式成立的未知數(shù)的值;舉一反三:【變式】由于小于6的每一個(gè)數(shù)都是不等式x-1<6的解,所以這個(gè)不等式的解集是x<6.這種說法對(duì)不對(duì)?【答案】這種說法是錯(cuò)的.試題分析:由10是不等式的解,但10大于6結(jié)合“不等式的解集是不等式所有解的集合”即可說明題中說法是錯(cuò)誤的.解:∵當(dāng)時(shí),,∴10是不等式的一個(gè)解,∵10不在的范圍內(nèi),∴不等式的解集是的說法是錯(cuò)誤的.4.把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來.x≥-3;(2)x>-1;(3)x≤3;(4)x<-.【答案】(1) (2) (4)試題分析:將上述不等式的解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可.解:(1)將表示在數(shù)軸上為:(2)將表示在數(shù)軸上為:(3)將表示在數(shù)軸上為:(4)將表示在數(shù)軸上為:【點(diǎn)撥】將不等式的解集表示在數(shù)軸上時(shí),需注意兩點(diǎn):(1)“大于(大于或等于)向右,小于(小于或等于)向左”;(2)“或()時(shí)”,數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“空心圓圈”,“(或)時(shí)”,數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”.舉一反三:【變式】不等式的解集x<3與x≤3有什么不同?在數(shù)軸上表示它們時(shí)怎樣區(qū)別?分別在數(shù)軸上把這兩個(gè)解集表示出來.【答案】見分析試題分析:不等式和的解集的不同之處:前者的解集中不包含3,后者的解集中包含3;在數(shù)軸上表示這兩個(gè)解集時(shí),前者表示數(shù)3的點(diǎn)用“空心圓圈”,后者表示數(shù)3的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”.解:(1)不等式和的解集的不同之處:前者的解集中不包含3,后者的解集中包含3;(2)在數(shù)軸上表示不等式和的解集時(shí),前者表示數(shù)3的點(diǎn)用“空心圓圈”,后者表示數(shù)3的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”;(3)①將表示在數(shù)軸上為:②將表示在數(shù)軸上為:.類型三、不等式的基本性質(zhì)??用不等式性質(zhì)解不等式??比較大小5.按照下列條件,根據(jù)不等式的基本性質(zhì),寫出成立的不等式.,兩邊同加上y.,兩邊同乘.,兩邊同除以.,兩邊同加上,再同除以7.【答案】(1); (2); (3); (4).【分析】(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì):不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變,即可得到答案;(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì):不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即可得到答案;(3)根據(jù)不等式的基本性質(zhì):不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即可得到答案;(4)根據(jù)不等式的基本性質(zhì):不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變,不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,即可得到答案.(1)解:根據(jù)不等式的基本性質(zhì),不等式兩邊同時(shí)加上,可得:;(2)解:根據(jù)不等式的基本性質(zhì),不等式兩邊同時(shí)乘,可得;(3)解:根據(jù)不等式的基本性質(zhì),不等式兩邊同時(shí)除以,可得:;(4)解:根據(jù)不等式的基本性質(zhì),不等式兩邊同時(shí)加上,可得,再同時(shí)除以7,可得:.【點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì),熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.舉一反三:【變式】已知x-y=4.(1)當(dāng)時(shí),則y的取值范圍是______.(2)當(dāng),,S=x+y,則S的取值范圍______.【答案】

【分析】(1)根據(jù)得到,再由解關(guān)于的不等式即可;(2)根據(jù),將變形為,結(jié)合得到;將變形為,結(jié)合得到,即可得出結(jié)論.解:(1),,,,即,故答案為:;(2),,,,,,,綜上所述:S的取值范圍是,故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍,結(jié)合題中條件,采取恰當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問題的關(guān)鍵.6.已知,求的最小值.【答案】【分析】由,得到,再由,得到,即可得到答案.解:∵,∴,∴,∵,∴,即,∴,∴,即,∴的最小值為.【點(diǎn)撥】此題考查了整式的加減,不等式的基本性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式1】先閱讀下面的解題過程,再解題.已知,試比較與的大?。猓阂?yàn)椋偎?,②故.③上述解題過程中,從步驟________開始出現(xiàn)錯(cuò)誤;請(qǐng)寫出正確的解題過程.【答案】(1)② (2)-2022a+1<-2022b+1【分析】(1)由題意a>b,不等式兩邊乘以負(fù)數(shù),不等式號(hào)改變,故②錯(cuò)誤;(2)根據(jù)不等式的性質(zhì),不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)號(hào),不等號(hào)方向要發(fā)生改變,來求解.解:(1)由題意得②錯(cuò)誤,根據(jù)不等式兩邊乘以負(fù)數(shù),不等式號(hào)改變即可判斷;故答案為:②;(2)因?yàn)?,所?2022a<-2022b,故-2022a+1<-2022b+1.【點(diǎn)撥】此題主要考查了不等式的解法,熟知不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2】王老師在小結(jié)時(shí)總結(jié)了這樣一句話“對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)a,b,如果,那么”,然后講解了一道例題:比較和的大?。猓海?,∴.參考上面例題的解法,解答下列問題:比較與的大??;比較與的大?。敬鸢浮?1) (2)【分析】(1)根據(jù)題中所給方法,對(duì)兩個(gè)根式進(jìn)行平方,比較平方后的兩數(shù)的大小即可得出結(jié)論.(2)根據(jù)題中所給方法,對(duì)兩個(gè)根式進(jìn)行平方,比較平方后的兩數(shù)的大小即可得出結(jié)論.(1),,,,.,,,,.【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、不等式的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì).類型三、不等式及其基本性質(zhì)??綜合應(yīng)用7.下列變形是怎樣得到的?

(1)由,得;(2)由,得;(3)由,得.【答案】(1)見分析;(2)見分析;(3)見分析.【分析】(1)兩邊除以再減去得到結(jié)果;(2)兩邊減去再除以得到結(jié)果;(3)兩邊除以加上再乘以得到結(jié)果.解:(1),兩邊除以得:,兩邊減去得:;(2),兩邊減去得:,兩邊除以得:;(3),兩邊除以得:,兩邊加上得:,兩邊乘以得:.【點(diǎn)撥】此題考查不等式的性質(zhì):不等式的兩邊加(或減去)同一個(gè)數(shù)或式子,不等號(hào)的方向不變;不等式的兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;不等式的兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.舉一反三:【變式】根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì),我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法:若a-b>0,則ab;若a-b=0,則ab;若a-b<0,則ab.這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”.請(qǐng)運(yùn)用這種方法嘗試解決下面的問題:比較4+3a2-2b+b2與3a2-2b+1的大?。敬鸢浮浚?)>;(2)=;(3)<;(4)4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1【分析】(1)不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號(hào)的方向不變,不等式的兩邊同時(shí)加上b即可;(2)等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,結(jié)果仍是等式,等式的兩邊同時(shí)加上b即可;(3)不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號(hào)的方向不變,不等式的兩邊同時(shí)加上b即可;(4)求出4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的差的正負(fù),即可比較4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的大小.解:(1)因?yàn)閍﹣b>0,所以a﹣b+b>0+b,即a>b;(2)因?yàn)閍﹣b=0,所以a﹣b+b=0+b,即a=b;(3)因?yàn)閍﹣b<0,所以a﹣b+b<0+b,即a<b.(4)(4+3a2﹣2b+b2)﹣(3a2﹣2b+1)=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1=b2+3因?yàn)閎2+3>0,所以4+3a2﹣2b+b2>3a2﹣2b+1.故答案為>、=、<、4+3a2﹣2b+b2>3a2﹣2b+1.【點(diǎn)撥】(1)本題考查了不等式的基本性質(zhì):(1)不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;(2)不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變;(3)等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號(hào)的方向不變.(2)此題還考查了“求差法比較大小”

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