立體幾何中的截面、折疊問題（原卷版）

第頁立體幾何中的截面、折疊問題一、單選題1．（2020·鄂爾多斯衡水實驗中學）將等腰直角三角形沿底邊上的高線折成的二面角，則折后的直線與平面所成角的正弦值（）A． B． C． D．2．（2020·江西高三）將一邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三棱椎C—ABD．其正視圖與俯視圖如下圖所示，則左視圖的面積為（）A． B． C． D．3．（2018·廣東佛山一中）若平面截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面平行的棱有（）A．0條 B．1條C．2條 D．1條或2條4．設四棱錐的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面A．有無數(shù)多個 B．恰有個 C．只有個 D．不存在5．已知正方體的棱長為，點為棱中點，則過點與垂直的平面截正方體所得的截面面積為（）A． B． C． D．6．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.橢球是橢圓繞其長軸旋轉所成的旋轉體，如圖，將底面半徑都為.高都為的半橢球和已被挖去了圓錐的圓柱（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)，可以證明圓=圓環(huán)總成立.據(jù)此，橢圓的短半軸長為2，長半軸長為4的橢球的體積是（）A． B． C． D．

7．已知圓錐頂點為，底面的中心為，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．8．（2020·寧夏銀川二中）在內接于球的四面體中,有,,,若球的最大截面的面積是,則的值為()A． B． C． D．9．如圖，側棱長為的正三棱錐中，，過點作截面則截面，則截面的周長的最小值為（）A． B．2 C．3 D．410．（2020·山西月考）如圖四面體中，，截面四邊形滿足，則下列結論正確的個數(shù)為（）①四邊形的周長為定值；②四邊形的面積為定值③四邊形為矩形；④四邊形的面積有最大值1A．0 B．1 C．2 D．311．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB＝4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為（）A．64 B．62 C．34 D．3212．（2020·福建月考）在三棱錐中，底面，，是線段上一點，且.三棱錐的各個頂點都在球表面上，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題13．已知是球的直徑上一點,,平面,為垂足,截球所得截面的面積為,則球的表面積為_______.14．在邊長為4的正方形ABCD內剪去四個全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為________.15．（2020·新疆烏市八中高三）正方形邊長為，的中點為，的中點為，沿、、將，，折起，使、、三點重合于點，則三棱錐的外接球的體積為__________.16．（2021·濟南市歷城第二中學）在平行四邊形中，，，且，以為折痕，將折起，使點到達點處，且滿足，則三棱錐的外接球的表面積為________.三、解答題17．如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊是的三等分點，是的中點.分別沿將四邊形和折起，使重合于點，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，分別為的中點.(1)證明:平面；(2)求幾何體的體積.18．（2019·全國高三月考）如圖，在棱長為的正方形中，、分別為，邊上的中點，現(xiàn)將點以為軸旋轉至點的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．19．如圖，已知菱形的邊長為，，.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.20．以正方形的為一邊作三角形，使，如圖1所示，將三角形沿著邊折起，使得為直二面角，如圖2所示，連接，分別記的中點為.（1）求證：平面，并過在幾何體的表面畫線，使所作的平面域平面平行；（2）若正方形的邊長為2，求點到平面的距離.21．如圖，在多邊形ABPCD中（圖1），四邊形ABCD為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以BC為折痕將折起，使點P在平面ABCD內的射影恰好在AD上（圖2）.（1）證明：平面平面PAB；（2）若點E在線段PB上，且，當點Q在線段AD上運動時，求點Q到平面EBC的距離.22．如圖1，多邊形ABCD