中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型27 勾股定理-螞蟻爬行模型-（原卷版+解析）

勾股定理模型（二十七）——螞蟻爬行模型◎結(jié)論1：螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面爬行，從M到N的最短路徑：MNmin＝長(zhǎng)方體表面走最短路徑：化曲為平：展平面、兩點(diǎn)連、用勾股示意圖展平面用勾股MN2=（a＋b）2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2abMN2＝（a＋c）2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2acMN2＝（c＋b）2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bcM到N的最短距離：（最短邊＋較短邊）◎結(jié)論2：螞蟻沿著圓柱體的表面爬行，從A到B的最短路徑：①同側(cè)全周長(zhǎng)＝(2πr)②異側(cè)半周長(zhǎng)＝(圓柱表面積最短路徑：化曲為平：展平面、兩點(diǎn)連、用勾股同側(cè)全周長(zhǎng)底面圓的周長(zhǎng)2πR異側(cè)半周長(zhǎng)底面圓的周長(zhǎng)πR◎結(jié)論3：螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題∶求螞蟻從A沿著外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到B的最短路徑.【作法】如圖，首先找到A關(guān)于杯子上沿的對(duì)稱點(diǎn)A′點(diǎn)，設(shè)A′到B的垂直距離為h，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)半周長(zhǎng)的問(wèn)題.由圖可知螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為A′B＝(πr)1．(2023·廣東·湛江市雷陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方形的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（

）A．35 B． C．25 D．2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝，高BC＝12cm，P為BC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到點(diǎn)的最短距離為A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm3．(2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問(wèn)：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm．A．5 B．5π C．3+ D．3+1．(2023·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm2．(2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長(zhǎng)為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點(diǎn)B處有一蚊子．此時(shí)，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_(kāi)____m．1．（2012·山東青島·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)______cm．2．(2023·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則此最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)__________．勾股定理模型（二十七）——螞蟻爬行模型◎結(jié)論1：螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面爬行，從M到N的最短路徑：MNmin＝長(zhǎng)方體表面走最短路徑：化曲為平：展平面、兩點(diǎn)連、用勾股示意圖展平面用勾股MN2=（a＋b）2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2abMN2＝（a＋c）2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2acMN2＝（c＋b）2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bcM到N的最短距離：（最短邊＋較短邊）◎結(jié)論2：螞蟻沿著圓柱體的表面爬行，從A到B的最短路徑：①同側(cè)全周長(zhǎng)＝(2πr)②異側(cè)半周長(zhǎng)＝(圓柱表面積最短路徑：化曲為平：展平面、兩點(diǎn)連、用勾股同側(cè)全周長(zhǎng)底面圓的周長(zhǎng)2πR異側(cè)半周長(zhǎng)底面圓的周長(zhǎng)πR◎結(jié)論3：螞蟻吃蜂蜜問(wèn)題∶求螞蟻從A沿著外壁爬行再沿著內(nèi)壁爬行到B的最短路徑.【作法】如圖，首先找到A關(guān)于杯子上沿的對(duì)稱點(diǎn)A′點(diǎn)，設(shè)A′到B的垂直距離為h，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)半周長(zhǎng)的問(wèn)題.由圖可知螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為A′B＝(πr)1．(2023·廣東·湛江市雷陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方形的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（

）A．35 B． C．25 D．答案:C分析先把長(zhǎng)方體展開(kāi)，然后根據(jù)最短路徑及勾股定理可求解．【詳解】解：把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示：由題意得：BD=20，AD=BC+10=15，∠BDA=90°，在中，，②把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離是5，BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：；③把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖所示：長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離是5，AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：螞蟻沿著長(zhǎng)方形的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑為25；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到最短路徑，然后利用勾股定理求解即可．2．(2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑AB＝，高BC＝12cm，P為BC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到點(diǎn)的最短距離為A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm答案:B分析把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，連接，利用勾股定理即可得出的長(zhǎng)，即螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離．【詳解】解：如圖：展開(kāi)后線段的長(zhǎng)度是圓柱中半圓的周長(zhǎng)，圓柱底面直徑、高，為的中點(diǎn)，，在中，，螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．3．(2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問(wèn)：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（）cm．A．5 B．5π C．3+ D．3+答案:A分析如圖，先把圓柱體沿著直線剪開(kāi)，得到矩形如圖示：可得線段的長(zhǎng)度為所求的最短距離，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：把圓柱體沿著直線剪開(kāi)，得到矩形如下：則線段的長(zhǎng)度為所求的最短距離.由題意得圓柱的高為：底面半徑為，所以螞蟻至少要爬行路程才能吃到食物.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，弄懂圓柱展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．1．(2023·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，圓柱形玻璃板，高為12cm，底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm答案:A分析在側(cè)面展開(kāi)圖中，過(guò)C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP＋PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，求出A′Q，CQ，根據(jù)勾股定理求出A′C即可．【詳解】解：沿過(guò)A的圓柱的高剪開(kāi)，得出矩形EFGH，過(guò)C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP＋PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm?4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，同時(shí)也考查了學(xué)生的空間想象能力．將圖形側(cè)面展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．(2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長(zhǎng)為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點(diǎn)B處有一蚊子．此時(shí)，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為_(kāi)____m．答案:1分析畫出容器側(cè)面展開(kāi)圖（見(jiàn)詳解），作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B為最短距離．由題意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，∴A′B＝＝＝1（m）．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用最短路徑問(wèn)題，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．1．（2012·山東青島·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_(kāi)______cm．答案:15分析過(guò)作于，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，則就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，求出，，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：沿過(guò)的圓柱的高剪開(kāi)，得出矩形，過(guò)作于，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，則就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，，，，，