函數(shù)的微分及其應(yīng)用

二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分第二章二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在估計(jì)誤差1一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化2的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A3定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則4定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處5說明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)說明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故6微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切7例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P115表)又如,例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P115表)又如,8二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,9例1.求解:例1.求解:10例2.設(shè)求例3.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.例2.設(shè)求例3.在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:11數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如12三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:13特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)14四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對(duì)誤差稱為a

的相對(duì)誤差若稱為測(cè)量

A

的絕對(duì)誤差限稱為測(cè)量

A

的相對(duì)誤差限四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值15內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可導(dǎo)可微2.16思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說明其正負(fù).思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并172.2.185.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得求5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得求