優(yōu)化方案2021數(shù)學(xué)一輪課件：函數(shù)的奇偶性與周期性

8-1遊戲相關(guān)數(shù)學(xué)公式8-2遊戲物理學(xué)8-3物件的碰撞處理8-4粒子系統(tǒng)簡(jiǎn)介第8章數(shù)學(xué)與物理遊戲演算法

18-1遊戲相關(guān)數(shù)學(xué)公式第8章數(shù)學(xué)與物理遊戲演算法遊戲相關(guān)數(shù)學(xué)公式不管是在2D或者是3D的系統(tǒng)中，各位都有可能會(huì)使用到較複雜的數(shù)學(xué)來運(yùn)算物體的運(yùn)動(dòng)與移動(dòng)。在本節(jié)中筆者將會(huì)探討與距離相關(guān)的公式、三角函數(shù)、向量、矩陣會(huì)使用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算公式。2遊戲相關(guān)數(shù)學(xué)公式不管是在2D或者是3D的系統(tǒng)中，各位都有可兩點(diǎn)間距離的計(jì)算在2D系統(tǒng)裡，定義兩個(gè)點(diǎn)A和B，座標(biāo)分別爲(wèi)(x1,y1)與(x2,y2)，而AB兩點(diǎn)之間的距離公式為x軸方向的座標(biāo)差平方，再加上y軸方向的座標(biāo)差平方後開根號(hào)，如下列公式所示：x=x2-x1y=y2-y1兩點(diǎn)距離＝=3兩點(diǎn)間距離的計(jì)算在2D系統(tǒng)裡，定義兩個(gè)點(diǎn)A和B，座標(biāo)分別爲(wèi)三角函數(shù)三角函數(shù)是一種角度與長(zhǎng)度間的關(guān)係式，也經(jīng)常會(huì)結(jié)合向量觀念，被應(yīng)用在遊戲中物體間的碰撞或行進(jìn)中物體與靜止物體的反彈運(yùn)動(dòng)。三角函數(shù)中共定義了六種函數(shù)：正弦函數(shù)、餘弦函數(shù)、正切函數(shù)、餘切函數(shù)、正割函數(shù)、餘割函數(shù)等六個(gè)函數(shù)。4三角函數(shù)三角函數(shù)是一種角度與長(zhǎng)度間的關(guān)係式，也經(jīng)常會(huì)結(jié)合向向量幾何簡(jiǎn)介對(duì)程式設(shè)計(jì)師而言，遊戲場(chǎng)景的任何物體都必須在電腦的座標(biāo)系中呈現(xiàn)。例如角色或物體移動(dòng)軌跡，可能是屬於一種直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)，而要能適當(dāng)描述這些曲線運(yùn)動(dòng)，就必須藉助向量來呈現(xiàn)。其它遊戲中的物理行為或人工智慧，也可以看到向量表現(xiàn)的足跡。5向量幾何簡(jiǎn)介對(duì)程式設(shè)計(jì)師而言，遊戲場(chǎng)景的任何物體都必須在電向量從幾何(Geometry)的觀點(diǎn)來看，向量是有方向性的線段。在三維空間中，向量以(a,b,c)表示，其中a、b、c分別表示向量在x、y、z軸的分量。6向量從幾何(Geometry)的觀點(diǎn)來看，向量是有方向性的線法向量在三度空間中，任意兩個(gè)向量可以構(gòu)成一個(gè)平面，而與該平面垂直的向量則稱為法向量(NormalVector或Normal)。法向量的用途很多，除了拿來做背景面消除(Back-FaceCulling)的依據(jù)外，還有進(jìn)行LOD(LevelOfDetail)運(yùn)算，以及進(jìn)行卡通描圖(CartoonRendering)或是製作物理引擎。7法向量在三度空間中，任意兩個(gè)向量可以構(gòu)成一個(gè)平面，而與該平向量?jī)?nèi)積向量?jī)?nèi)積是一種力學(xué)與3D圖形學(xué)中很好用的工具。在3D圖形學(xué)裡，內(nèi)積是屬於我們計(jì)算兩個(gè)向量之間角度的餘弦。8向量?jī)?nèi)積向量?jī)?nèi)積是一種力學(xué)與3D圖形學(xué)中很好用的工具。8向量的長(zhǎng)度如何求得(1).2D系統(tǒng)定義一個(gè)定義向量V(x,y)，則(2).3D系統(tǒng)定義向量V(x,y,z)，則9向量的長(zhǎng)度如何求得(1).2D系統(tǒng)9計(jì)算向量?jī)?nèi)積(1).2D系統(tǒng)先定義2D系統(tǒng)中兩個(gè)向量，向量A(x1,y1)及向量B(x2,y2)。其內(nèi)積的公式如下列所示：A．B＝(x1,y1)．(x2,y2)＝(x1x2+y1y2)(2).3D系統(tǒng)在3D圖形學(xué)裡，定義兩個(gè)空間向量，向量A(x1,y1,z1)及向量B(x2,y2,z2)。其內(nèi)積的公式如下列所示：A．B＝(x1,y1,z1)．(x2,y2,z2)＝(x1x2+y1y2+z1z2)10計(jì)算向量?jī)?nèi)積(1).2D系統(tǒng)10向量外積它是以v1與v2作爲(wèi)輸入向量，並且求出返回向量c，而返回的向量c則會(huì)垂直於兩個(gè)輸入向量u與v。兩個(gè)空間向量u(u1,u2,u3)與v(v1,v2,v3)的向量外積(CrossProduct)的定義如下：u╳v=((u2v3-u3v2),-(u1v3-u3v1),(u1v2-u2v1))11向量外積它是以v1與v2作爲(wèi)輸入向量，並且求出返回向量c，遊戲物理學(xué)不管是在哪一類的電玩遊戲，我們都看得到物理學(xué)被運(yùn)用在其中的影子。例如賽車遊戲中，車輛橫行於馬路上的速度運(yùn)算、或球類遊戲中，球?qū)兜孛娴姆磻?yīng)。當(dāng)表現(xiàn)這些遊戲的效果時(shí)，如果沒有配合真實(shí)世界中的物理原理，可能會(huì)造成遊戲中不自然的表現(xiàn)，自然會(huì)降低遊戲的逼真性。12遊戲物理學(xué)不管是在哪一類的電玩遊戲，我們都看得到物理學(xué)被運(yùn)等速度運(yùn)動(dòng)所謂的「速度」就是說單位時(shí)間內(nèi)所改變距離的量。物體會(huì)移動(dòng)，那這個(gè)物體一定是具有一個(gè)「速度」，速度是物體在各個(gè)方向上「速度分量」的合成。以一個(gè)在2D平面上移動(dòng)的物體而言，假設(shè)它的移動(dòng)速度為V，X軸方向上的速度分量為Vx，Y軸方向上的速度分量為Vy，那麼V與Vx、Vy間的關(guān)係如下圖所示：13等速度運(yùn)動(dòng)所謂的「速度」就是說單位時(shí)間內(nèi)所改變距離的量。1加速度運(yùn)動(dòng)凡是物體移動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的速度或方向會(huì)隨著時(shí)間而改變，那麼該物體運(yùn)動(dòng)便是屬於加速度運(yùn)動(dòng)。加速度與速度的關(guān)係如下：V=Vo+At上面的公式中，A表示每一時(shí)間間隔加速度的量，t表物體運(yùn)動(dòng)從開始到要計(jì)算時(shí)間點(diǎn)為止所經(jīng)過的時(shí)間間隔，Vo為物體原來所具有速度，而V則是由以上公式所計(jì)算出某一時(shí)間點(diǎn)物件的運(yùn)動(dòng)速度。14加速度運(yùn)動(dòng)凡是物體移動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的速度或方向會(huì)隨著時(shí)間而改動(dòng)量動(dòng)量就是物體移動(dòng)時(shí)的量能。就是具有移動(dòng)物體的特性，而這種特性會(huì)與物體的質(zhì)量與速度有關(guān)係。動(dòng)量＝質(zhì)量*速度當(dāng)某個(gè)物體在以一定速率作運(yùn)動(dòng)，如果要想把它們停下來就必須要花費(fèi)很大力量。例如要將一列以每小時(shí)2公里速度前進(jìn)的火車停下來，這會(huì)比把每小時(shí)1000公里速度前進(jìn)的子彈停下來還要困難許多，因?yàn)榛疖嚨馁|(zhì)量會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大於子彈的質(zhì)量。

15動(dòng)量動(dòng)量就是物體移動(dòng)時(shí)的量能。15「動(dòng)量守恒定律」原則在物理學(xué)中的守恒指的是物體在一次運(yùn)動(dòng)後其能量的保持。這種能量是可以轉(zhuǎn)換，不過還是會(huì)一直存在，所以守恒定律的基本原則就是「能量不能無故産生，也不能被消滅」。動(dòng)量守恒公式則會(huì)如下所示：M1V1=M2V2M1是第一個(gè)物件的質(zhì)量。M2是第二個(gè)物件的質(zhì)量。V1與V2是它們的相對(duì)速度。16「動(dòng)量守恒定律」原則在物理學(xué)中的守恒指的是物體在一次運(yùn)動(dòng)後重力在大自然裡存在著一股很大的力量，這個(gè)力量可使得我們不會(huì)從地球上飄流到太空中，而且穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)卣驹诘乇砩?，這個(gè)力量稱為「重力」。在遊戲的虛擬空間裡，為了做到現(xiàn)實(shí)的真實(shí)感，也就在空間裡的所有物體上加上一個(gè)重力的單位。通常重力是一個(gè)向下的力量，當(dāng)物體要往上飄的時(shí)候，重力則會(huì)依據(jù)物體的運(yùn)行方向再加上一個(gè)往下的力。重力是一個(gè)在垂直方向(Y軸方向)、值大約為9.8m/sec、方向向下的加速度。17重力在大自然裡存在著一股很大的力量，這個(gè)力量可使得我們不會(huì)摩擦力摩擦力是一種作用於運(yùn)動(dòng)物體上的負(fù)向力。作用於運(yùn)動(dòng)物體上的結(jié)果，會(huì)產(chǎn)生一與物體運(yùn)動(dòng)方向相反的加速度，使得物體的運(yùn)動(dòng)越來越慢直到靜止不動(dòng)為止。18摩擦力摩擦力是一種作用於運(yùn)動(dòng)物體上的負(fù)向力。18反射當(dāng)物體在碰撞到牆壁的時(shí)候，會(huì)做出一個(gè)特定的反射動(dòng)作。接下來再將物體運(yùn)行的方向反射到這條法線的另一端上。19反射當(dāng)物體在碰撞到牆壁的時(shí)候，會(huì)做出一個(gè)特定的反射動(dòng)作。1物件的碰撞處理在遊戲世界裡，碰撞是一種最基本的演算法，其演算法又可以分成好幾種。例如，人物與敵人的碰撞、飛機(jī)與子彈的碰撞、或者是為了某些特殊的事件而所產(chǎn)生的碰撞等等。事實(shí)上，在遊戲中碰撞偵測(cè)的方式不只一種，有的碰撞偵測(cè)是以範(fàn)圍來偵測(cè)碰撞、有的碰撞偵測(cè)是以顏色來偵測(cè)碰撞、有的碰撞偵測(cè)是以行進(jìn)路線是否交叉來偵測(cè)碰撞等。20物件的碰撞處理在遊戲世界裡，碰撞是一種最基本的演算法，其演範(fàn)圍偵測(cè)以範(fàn)圍偵測(cè)碰撞的方法其實(shí)是最簡(jiǎn)單且快速。不過在製作遊戲程式時(shí)，使用到非規(guī)則形狀圖形的情況相當(dāng)?shù)囟?。若是在允許範(fàn)圍內(nèi)，還是希望能夠以範(fàn)圍偵測(cè)的方式來偵測(cè)物體是否碰撞，如此將會(huì)省掉許多計(jì)算的時(shí)間。21範(fàn)圍偵測(cè)以範(fàn)圍偵測(cè)碰撞的方法其實(shí)是最簡(jiǎn)單且快速。21範(fàn)圍偵測(cè)碰撞圖長(zhǎng)和寬交集表示產(chǎn)生碰撞兩圓半徑交集表示產(chǎn)生碰撞22範(fàn)圍偵測(cè)碰撞圖長(zhǎng)和寬交集表示產(chǎn)生碰撞球面範(fàn)圍偵測(cè)可以利用數(shù)學(xué)公式的「圓方程式」來求出不定數(shù)座標(biāo)在球面的哪一個(gè)地方，其圓方程式的公式如下所示：若圓心為(h,k)，半徑為r，則可得方程式「(x-h)2+(y-k)2=r2」例如有一個(gè)球面的圓心為(2,1)，半徑為2，其圖方程式如下所示：(x-2)2+(y-1)2=22→(x-2)2+(y-1)2=4不定數(shù)座標(biāo)以四角碰撞而言，它已經(jīng)算碰撞到了，但是實(shí)際上它還未碰撞到球面。23球面範(fàn)圍偵測(cè)可以利用數(shù)學(xué)公式的「圓方程式」來求出不定數(shù)座標(biāo)顏色偵測(cè)顏色判斷的方式來偵測(cè)是否產(chǎn)生碰撞，其概念如下圖所示：前景圖車子移動(dòng)暗圖24顏色偵測(cè)顏色判斷的方式來偵測(cè)是否產(chǎn)生碰撞，其概念如下圖所示行進(jìn)路線偵測(cè)以行進(jìn)路線來偵測(cè)是否碰撞的方式也不難，主要是偵測(cè)兩個(gè)移動(dòng)的物體，或者是移動(dòng)物體與平面是否發(fā)生碰撞。兩球行進(jìn)路線交叉則可能產(chǎn)生碰撞球行進(jìn)路線與平面交叉則可能產(chǎn)生碰撞25行進(jìn)路線偵測(cè)以行進(jìn)路線來偵測(cè)是否碰撞的方式也不難，主要是偵測(cè)粒子系統(tǒng)簡(jiǎn)介可以在螢?zāi)簧媳憩F(xiàn)出許多的特殊效果，例如火焰、火苗、瀑布、雪花飛舞等等?；旧?，我們可以將粒子定義出四個(gè)基本的特性，說明如下：1.生成位置2.生命值3.速度與方向4.加速度26粒子系統(tǒng)簡(jiǎn)介可以在螢?zāi)簧媳憩F(xiàn)出許多的特殊效果，例如火焰、火生成位置這個(gè)特性是決定粒子開始的初始位置，在粒子系統(tǒng)裡。每一個(gè)粒子的生成位置可以在同一個(gè)地方，例如瀑布特效，亦可以在不同的地方，例如雪花特效。27生成位置這個(gè)特性是決定粒子開始的初始位置，在粒子系統(tǒng)裡。2生命值這個(gè)特性是決定粒子在特效系統(tǒng)內(nèi)存在時(shí)間，每一個(gè)粒子的生命值都不固定，有的比較短、有的比較長(zhǎng)。就如同火焰特殊一樣，有的火苗可以飄的較高較久、而有的火苗可以存活的時(shí)間就較為短暫。28生命值這個(gè)特性是決定粒子在特效系統(tǒng)內(nèi)存在時(shí)間，每一個(gè)粒子的速度與方向每一個(gè)粒子同時(shí)也都存在有方向的運(yùn)動(dòng)軌跡，在粒子生成的時(shí)候，它也會(huì)有運(yùn)動(dòng)方向的特性，且有一個(gè)基本的飄移速度值。29速度與方向每一個(gè)粒子同時(shí)也都存在有方向的運(yùn)動(dòng)軌跡，在粒子生加速度其特性是讓每一個(gè)粒子看起來更加地逼真。就如同在大自然裡的定義一樣，一個(gè)物體從高處往下掉，在它還未到達(dá)地面之前，速度也就會(huì)越來越快，就稱為「加速度」。30加速度其特性是讓每一個(gè)粒子看起來更加地逼真。30雪花粒子雪花特效在粒子系統(tǒng)裡是受地心引力的影響比較沒這麼大，所以它會(huì)停留在空中的時(shí)間相對(duì)的也會(huì)較長(zhǎng)，不過它所受的風(fēng)力影響卻可以大大地改變其每一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)方向。

31雪花粒子雪花特效在粒子系統(tǒng)裡是受地心引力的影響比較沒這麼大，煙火粒子粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)很好的例子是煙火的爆炸，當(dāng)一顆煙火爆炸時(shí)，會(huì)產(chǎn)生無數(shù)的煙火碎片。每一個(gè)碎片就是一個(gè)粒子，每個(gè)粒子擁有各自的位置、水平初速度、垂直初速度、顏色與生命週期等，粒子的資訊描述越詳細(xì)，煙火的模擬就可以越逼真。32煙火粒子粒子運(yùn)動(dòng)一個(gè)很好的例子是煙火的爆炸，當(dāng)一顆煙火爆炸粒子的資訊定義粒子是否存在就表示其是否燃燒殆盡。1structfireball2{3 intx; //火球所在的X座標(biāo)4 inty; //火球所在的Y座標(biāo)5 intvx; //火球水平方向的速度6