函數(shù)的圖象與性質（解析版）-2021年高考數(shù)學理函數(shù)與導數(shù)二輪突破提升

《2021年數(shù)學(理)函數(shù)與導數(shù)二輪突破提升》

專題01函數(shù)的圖象與性質

【考情分析】1.高考對此部分內容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質及分段函數(shù)等，主要考查求函

數(shù)的定義域、分段函數(shù)的函數(shù)值的求解或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的識別.難度屬中等及以上2

此部分內容多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的位置，多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結合命

題.

考點一函數(shù)的概念與表示

【重點熱點】

1.復合函數(shù)的定義域

(1)若兀0的定義域為[加，ri\,則在犬g(x))中，m<g(x)<n,從中解得x的范圍即為/(g(x))的定義域.

⑵若|g(x))的定義域為阿，n],則由機SxWw確定的g(x)的范圍即為用0的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例1(1)若函數(shù)/(X)=log2(x—1)+y2—X,則函數(shù)的定義域為()

A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)

【答案】B

【解析】由f得1VE2,故式尤)的定義域為(1,2],由1條2,得2y4,故/闈的定義域為(2,4].

L%—1>0,乙s

(2x+l,x<0,

(2)設函數(shù)加尸“八貝IJ滿足於)+加一122的x的取值范圍是________.

⑷，x>0,

【答案】修+8)

2元+1,立0,

【解析】,?,函數(shù)?！?/p>

⑷，x>0,

???當xSO時，x—1<—1,fix)J[x—l)=2x+l+2(x—1)+1=4x>2,無解；

fx>O

當[f即0<%<1時，

[%—1<0,

fi.x)+fix-I)=4x+2(X-1)+1=4x+2x~1>2,得幺后1；

當x—1>0,即x>l時，兀x)+/(x—1)=4*+4廠>2,得x>l.

綜上，x的取值范圍是七，

【方法小結】⑴形如黃g(x))的函數(shù)求值時，應遵循先內后外的原則.

(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.

考點二函數(shù)的性質

【重點熱點】

1.函數(shù)的奇偶性

(1)定義：若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則有：

八X)是偶函數(shù)=4—X)=式尤)=XIR)；

?r)是奇函數(shù)=八一勸=-fix).

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質法(如奇函數(shù)x奇函數(shù)是偶函數(shù)).

2.函數(shù)單調性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法.

3.函數(shù)圖象的對稱中心或對稱軸

⑴若函數(shù)危)滿足關系式加+x)=2b—加一x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(a,b)對稱.

(2)若函數(shù)次無)滿足關系式艮a+x)=f(b—尤)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線尤=對稱.

考向1單調性與奇偶性

例2(2020?新高考全國I)若定義在R上的奇函數(shù)於)在(一oo,0)上單調遞減，且負2)=0,則滿足就xT巨0

的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+oo)B.[-3,-1]U[O,1]

C.[-1,O]U[1,+oo)D.[-1,0]U[1,3]

【答案】D

【解析】因為函數(shù)1x)為定義在R上的奇函數(shù)，

則共0)=0.

又兀0在(一8,0)上單調遞減，且負2)=0,

畫出函數(shù)兀0的大致圖象如圖(1)所示，

則函數(shù)/U—1)的大致圖象如圖(2)所示.

當爛0時，要滿足狀x—l)K),則兀CT)W0,

得一1W爛0.

當x>0時，要滿足求x—1)沙,則危一1巨0,

得l<x<3.

故滿足歡xT巨0的x的取值范圍是[T,0]U[1,3].

考向2奇偶性與周期性

例3⑴定義在R上的奇函數(shù)於)滿足小+|)=段),當xe(0,；時&)=log』(l—x),則式x)在區(qū)間(1,1

2

內是()

A.減函數(shù)且黃尤)>0B.減函數(shù)且黃尤)<0

C.增函數(shù)且式x)>0D.增函數(shù)且加)0

【答案】D

【解析】當xG(0,時，由於)=log1(1-X)可知，/(X)單調遞增且又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，所以

2

在區(qū)間［W0)上函數(shù)也單調遞增，且於)<0.由小+步段)知，函數(shù)的周期為|,所以在區(qū)間(1,號上，

函數(shù)單調遞增且尤)<0.故選D.

(2)已知定義在R上的函數(shù)人x)滿足：函數(shù)的圖象關于點(1,0)對稱，且尤K)時恒有五元+2)=次尤)，

當xe［0,1］時，fi,x)=ex~l,貝1］人2020)+4—2021)=.

【答案】1-e

【解析】因為函數(shù)y=Ax—1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以y=A尤)的圖象關于原點對稱，

又定義域為R，所以函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，

因為后0時恒有人尤+2)=兀0，

所以x>0時，氏0是周期為2的周期函數(shù).

所以汽2020)+支一2021)=式0)—式2021)

=X0)-Xl)=(e°-l)-(e1-l)=l-e.

二級結論(1)若函數(shù)其無)為偶函數(shù)，且式a+x)=/(a—尤)，則2a是函數(shù)/(X)的一個周期.

(2)若函數(shù)/U)為奇函數(shù)，且八0+尤)=Xa—x),則4a是函數(shù)/(x)的一個周期.

(3)若函數(shù)處0滿足八a+x)=/(a—尤)，且人方+無)=/(b—x),則2(6一°)是函數(shù)五功的一個周期.

考點三函數(shù)的圖象

【重點熱點】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對

稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點.

考向1函數(shù)圖象的識別

例4(1)(2020?衡水模擬)函數(shù)/U)=?ln|x|的圖象可能是()

"y

AB

yfy

【答案】D

【解析】函數(shù)段)=x?ln|%|是奇函數(shù)，排除選項A,C；當時，y=一3對應點在x軸下方，排除B.

（2）已知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是（）

y

^^4

1—e%e”一

A./U)—]+e『sinxB.人人）一砂十1■?sinx

1-e*e”一

c.府)一]+e『cos)D.於)—e-■?cosX

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，由圖象可得，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在y軸右側，先為正值，然后為負值.C,D選項

1—e"

中的函數(shù)均為奇函數(shù)，不符合題意；對于A選項,作）為偶函數(shù)，當xe（O,兀）時，sinx>0,百］。則A尤）<0,

QX—i

不符合題意；對于B選項，《x）為偶函數(shù)，當xG（0,兀）時，sinx>0,最不^>0,則/（彳）>0,符合題意.

考向2函數(shù)圖象的變換及應用

例5（1）若函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=—/U+1）的圖象大致為（）

A

【答案】c

【解析】要想由y=/（x）的圖象得到y(tǒng)=Fx+l）的圖象，需要先將y=/U）的圖象關于x軸對稱得到y(tǒng)=一

Kx）的圖象，然后再向左平移一個單位長度得到y(tǒng)=-J（x+l）的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.

2%一］廣0

（2）已知函數(shù)兀0=一2‘一’若不等式直劃力以一2恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

一一x—3x,x>0,

A.[3-2^2,3+2的B.[0,3-2^2]

C.(3-2^2,3+2^2)D.[0,3+2^2]

【答案】D

f-2x+l,爛0,

【解析】由函數(shù)的解析式易知人尤)或恒成立，則人x)|=2「I不等式應明沙吠一2恒成立，等價

[廣十3元，x>0,

于函數(shù)y=|/(x)|的圖象在函數(shù)y=m—2圖象的上方恒成立.

作出函數(shù)y=|Ax)|的圖象，如圖所示，函數(shù)>=;加一2的圖象是過定點(0,—2)的直線，由圖可知，當機<0

時，不滿足題意；當“2=0時，滿足題意；當冽>0時，考慮直線y=/nx—2與曲線y=f+3x(x>0)相切的情

況.

[y=mx—2,

由J得f+(3)x+2=0,

[yx9~~I-3xf

令/=(3—02)2—8=m2—6〃z+l=0,

解得m=3+2吸或巾=3—2娘，

結合圖形可知0<加工3+2也.

綜上，根的取值范圍是[0,3+2限].

【方法小結】(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質，如定義域、奇偶性、單調性等，特別是利

用一些特征點排除不符合要求的圖象.

(2)函數(shù)圖象的應用主要體現(xiàn)為數(shù)形結合思想，借助于函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、

最值、交點、方程的根等問題.求解兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點個數(shù)問題時，可以先畫出已知函數(shù)

完整的圖象，再觀察.

【突破提升練習】

一、選擇題

1.函數(shù)y="一晨2：+3的定義域為()

A.(-1,3]B.(—1,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[―1,0)U(0,3]

【答案】B

—X2+2X+3>0,

【解析】由已知得卜+1>0，

、x+1力1,

解得l,0)U(0,3].

[2X—3,x>0,

2.若加)==’是奇函數(shù)，則慮(一2))的值為()

[gx,x<0

55

A，2B.-2C.1D.—1

【答案】c

(2X—3x>0

【解析】：/)=''是奇函數(shù),

[gx,x<0

當x<0時，g(x)=—￡+3

'?g(-2)=-3=-1,

Xg（-2））=A-l）=^（-D=-^+3=l.

3.（2020?全國H）設函數(shù)負x）=ln|2尤+l|Tn|2x—l|,則式x）（)

A.是偶函數(shù)，且在g,+oo）單調遞增

B.是奇函數(shù)，且在（V，，單調遞減

C.是偶函數(shù)，且在（一8,一§單調遞增

D.是奇函數(shù)，且在（一8,一；）單調遞減

【答案】D

【解析】於）=ln|2x+l|—ln|2x—1|的定義域為卜|存±3j.

又負一x）=ln|—2x+l|—ln|—2x-l|

=ln|2x-l|-ln|2x+l|

=一兀0，

.\Ax）為奇函數(shù)，故排除A,C.

當00，一；）時，

—-1

/（x）=ln（—2工一1）一ln（l—2x）=ln不玄-

——=小+含），

?.丁=]+5:]在（一孫一上單調遞減，

???由復合函數(shù)的單調性可得yu）在（一8,一；）上單調遞減.

2

4.設函數(shù)yu）=我4X，則函數(shù)八方的圖象大致為（）

o5x.05%

-2-2-

B

y

\2-

O.5x

-2?

D

【答案】A

【解析】觀察函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)，尤是以平方、絕對值的形式出現(xiàn)的，所以外）為偶函數(shù)，排除B.當尤＞0時,

4x2216

當X—+oo時，人X）—0,排除C.因為式2）=丁=互＜2,選項D中汽2）＞2,所以D不符合題意.

3工，

2%+]%＞i

5.若函數(shù)人無）="2；二:t在R上是增函數(shù)，則〃的取值范圍為（）

一X十QX十1,X＜1

A.[2,3]B.[2,+oo)C.[1,3]D.[1,+oo)

【答案】A

【解析】由題意得，

、-1+。+1<2+1,

二。晝[2,3]?

6.若定義域為R的函數(shù)人x）在（4,+（?）上為減函數(shù)，且函數(shù)y=?x+4）為偶函數(shù)，貝!]（

A.犬2)43)B.犬2)45)

C.八3)45)D.犬3)次6)

【答案】D

【解析】??,函數(shù)y=/（x+4）為偶函數(shù),

.?加—x+4)=/(x+4),

函數(shù)y=/（x）的圖象關于直線x=4對稱,

?,?/2)=/6),犬3)=汽5).

又?.,函數(shù)＞=/（尤）在（4,+8）上為減函數(shù),

.?小5)次6),...43)/6).

'2廠叫爛1,

7.設函數(shù)無）=若正1）是/U）的最小值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

尤+1,x>l,

A.[-1,2)B.[-1,0]

C.[1,2]D.[1,+oo)

【答案】C

獷叫爛1,

【解析】yu)=

x+1,X>1,

若x>l,貝!J/(%)=%+1>2,

易知六0=2『@在(m+8)上單調遞增，在(一00,。)上單調遞減.

若則?x)在處取得最小值，不符合題意；

若定1,則要使人工)在％=1處取得最小值，只需25W2,解得K2,???1%02,

綜上所述，。的取值范圍是[1,2].

8.已知函數(shù)危)(x￡R)滿足7(%)=/(2—%),若函數(shù)yTx2—2x—3|與y=/(%)圖象的交點為⑶，yD，(%2,竺)，…,

(Xm,ym),則?等于()

z=l

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】由題意可知式x)的圖象關于直線x=l對稱，而y=|f—2x—3|=|(x—l)2—4|的圖象也關于直線x

=1對稱，所以兩個圖象的交點關于直線x=l對稱，且每對關于直線x=l對稱的交點的橫坐標之和為2,

tn

所以尸丸

(=1

9.已知定義在R上的函數(shù)式x)是奇函數(shù)，且兀0在(一8,0)上是減函數(shù)，式2)=0,g(x)=/(x+2),則不等式

xg(x)<0的解集是()

A.(—co,—2]U[2,+co)

B.[-4,-2]U[0,+oo)

C.(—co,—4]U[—2,+oo)

D.(-oo,-4]U[0,+oo)

【答案】C

【解析】由題意，可知g(x)的圖象是把兀0的圖象向左平移2個單位長度得到的，則g(x)的大致圖象如圖

所示，

[x>0,x<0,

則xg(x)豈)/或彳數(shù)形結合,

1g爛0〔g尤沙，

得移(元)三0的解集為(一oo,-4]U[-2,+oo).

10.定義新運算十：當。名時，a十b=a；當cz<6時，a?b—b2,則函數(shù)式幻=(1十x)x—(2十x),2,

2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

【答案】C

【解析】由題意知，當一2小1時，於)=x-2；當1<爛2時，於)=/一2,又：y=x-2,—2在R上

都為增函數(shù)，且/U)在x=l處連續(xù)，.7/U)的最大值為式2)=23—2=6.

11.(2020?貴陽模擬)定義在R上的偶函數(shù)式x)滿足/U+2)=/(x),當3,—2]時，危)=一x—2,貝1()

A.7(sin的'(cos總B.Asin3)</(cos3)

C.7(sin華卜(cos專)D.42020)42019)

【答案】B

【解析】由式x+2)=/(x),得兀c)是周期函數(shù)且周期為2,根據(jù)本)在工€[—3,—2]的圖象和穴X)是偶函數(shù)

可得在[0,1]上是增函數(shù).

I十兀兀

對于A,0<sin不cos%<L

?'?/(sin^<f(cosD，A錯誤；

對于B,0<sin3<_cos3<1,

.'./sin3)</(—cos3)=y(cos3),B正確；

4兀4兀

對于C,0<—cos-<—sin-^-<1,

■卜os曰勺'(sin明，C錯誤；

對于D,/2020)=負0)勺(2019)=/U),D錯誤.

—%2~CIX,X^-1,

2；'若時，X2GR,且尤時X2，使得式X1)=/(X2),則實數(shù)a的取值范圍

tr尤一7a+14,x>l,

是()

A.(-00,2)B.(-00,2)U(3,5)

C.[2,引D.[2,+oo)

【答案】B

f—X2,,

【解析】當〃=0時，/(%)={

[14,x>l,

此時存在Xl，X2￡[—1,1]滿足條件.

若分0,則當Q1時，段)為增函數(shù),

且—■7a+14,

當它1時，J(x)=—x2+ax=—^x—^2+^,

對稱軸為x=與

若即a<2時，滿足條件，

若表1,即位2時，函數(shù)在（-8,1］上單調遞增，

要使條件成立，則式x）在（一oo,1］上的最大值式1）=-1+外層一7。+14,

即8。+15<0,即3<a<5,'：a>2,：.3<a<5,

綜上3<a<5或a<2.

二、填空題

2

13.（2020?江蘇）已知y=/（x）是奇函數(shù)，當定0時，則八一8）的值是.

【答案】一4

2

【解析】/（—8）=-/（8）=—83=4

14.已知定義在R上的函數(shù)於）滿足式x+2）=一/，當無e（0,2］時，段）=2x+l,則近2020）+八2021）的值為

14

【答案】y

【解析】??VU+2）=一為

.dx+4）=一看=〃），

.??函數(shù)人x）的周期為7=4.

又當xe（0,2］時，人龍）=2x+l,

?7/U)=3,丸2)=5,44)=

=一予

114

；瓜2020)+X202