人教版高中數(shù)學(xué)選修教案全集

人教版高中數(shù)學(xué)選修教案全集

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§變化率問(wèn)題

教學(xué)目標(biāo)：

.理解平均變化率的概念；

.了解平均變化率的幾何意義；

.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率

教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率；

教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念.

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過(guò)程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研

究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問(wèn)題的處理直接相關(guān)：

一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等

二、求曲線的切線

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值

四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問(wèn)題最一般、

最有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度.

二.新課講授

（一）問(wèn)題提出

問(wèn)題氣球膨脹率

我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加氣球

的半徑增加越來(lái)越慢從數(shù)學(xué)角度如何描述這種現(xiàn)象呢

■氣球的體積單位與半徑單位之間的函數(shù)關(guān)系是V（r）=；W3

■如果將半徑表示為體積的函數(shù)那么「"）=［巴

丫4兀

分析r(V)=

⑴當(dāng)從增加到時(shí)氣球半徑增加了r⑴-*0）。0.62（所）

氣球的平均膨脹率為他心“0.62（加/L）

1-0

⑵當(dāng)從增加到時(shí)氣球半徑增加了

r（2）-r（l）?0.16（t/7M）

氣球的平均膨脹率為⑴?0.16（加/L）

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考：當(dāng)空氣容量從增加到時(shí)氣球的平均膨脹率是多少匕，.

V-V

2I

問(wèn)題高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度單位：與起跳后的時(shí)間(單位：)

存在函數(shù)關(guān)系如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速。度粗略地描

述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

思考計(jì)算：W0.5和1442的平均速度］

在0WfW0.5這段時(shí)間里，v=/如0-5)1⑼

4.05(m/s)；

0.5-0

在1W/W2這段時(shí)間里，⑵一“⑴,

-8.2(W/5)

2-1

探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在上這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題：

49

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究過(guò)程：如圖是函數(shù)的圖像，結(jié)合圖形可知，/?(竺)=〃(())，

49

〃(藝)-〃(0)

49

所以v==0(5/m),

49

雖然運(yùn)動(dòng)員在翥這段時(shí)間里的平均速度為0(s/m),但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng),

并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(-)平均變化率概念

.上述問(wèn)題中的變化率可用式子/./一—3)表示稱為函數(shù)從到的平均變

x-x

2I

化率

.若設(shè)Ax=x,-X|A/-=/(x?)-/(x)這里Ar看作是對(duì)于的一個(gè)“增量”可用X

代替同樣紂=Ay=/(q)-/(^)

nWB什/I,上在AyN/(%)-f(x)f(x+Ax)-/(x)

.則平均變化率為)=,，二八"J'J-八1)J'/

AxAxx—xAx

21

思考：觀察函數(shù)的圖象

平均變化率笠=仆)一"山表示什么A

AJCx-x

21

2

直線的斜率

三.典例分析

例.已知函數(shù)-x2+X的圖象上的一點(diǎn)A(—l,—2)及臨近一點(diǎn)8(-1+Ax,-2+Ay)

則竺=

故------------

解：-2+Ay=-(-l+Ax)2+(-l+Ax),

.Ay-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2"

..=----------------------=3-Ax

AxAx

例.求y=x2在x=x附近的平均變化率。

0

解：Ay=(x+Ax)2-x2,所以竺=(%+Ax)2-XQ2

“00AxAr

所以y=x2在x=x附近的平均變化率為2x+Ax

oo

四.課堂練習(xí)

.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=，2+3,則在時(shí)間(3,3+加)中相應(yīng)的平均速度為.

物體按照的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)求在附近的平均颯陣

過(guò)曲線上兩點(diǎn)(，)和△△作曲線的割線，求出當(dāng)△

時(shí)割線的斜率

五.回顧總結(jié)

.平均變化率的概念

.函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率

六.教后反思：

§導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目標(biāo)：

.了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；

.理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

(一)平均變化率

(二)探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在=竺這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題：

49

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究過(guò)程：如圖是函數(shù)的圖像，結(jié)合圖形可知，/7(^|)=力(0),

所以U=——ZC------=0(.y/W)，

竺-0

49

雖然運(yùn)動(dòng)員在04t<竺這段時(shí)間里的平均速度為0(s/〃?)，但

實(shí)際情

49

況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描

述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

二.新課講授

瞬時(shí)速度

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一

時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，/=2時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？

考察"2附近的情況:

4<0時(shí)，在［2+4,2］這段時(shí)間內(nèi)&>0時(shí)，在［2,2+4］這段時(shí)間內(nèi)思考：

當(dāng)加

-奴2)-旗2+4)4,9AZ2+13.1AZ-尿2+位)一%(2)-4.9AZ2-13.1AZ趨近于

時(shí)，

2-(2+&)-△/2(2+4)-2M+

平均速

=T9&-13.1=-49A/-13.1

度

-有

當(dāng)4=-0.01時(shí)，4=73.051；.當(dāng)4=0.01時(shí)，Az=-13.051；?V

什

樣

當(dāng)4=-0.001時(shí)，Az=-13.0951；.當(dāng)M=0.001時(shí)，A/=-13.0951；.么

的

化

當(dāng)4=-0.001時(shí)，AZ=-13.09951).當(dāng)4=0.001時(shí)，AZ=-13.09951；,變

趨

勢(shì)

當(dāng)4=-0.0001時(shí)，4=73.099951,.當(dāng)△，=0.0001時(shí)，△/=-13.099951,?？

結(jié)

論

當(dāng)A=-0.00001時(shí),Ai=-13.099951,.當(dāng)4=0.00001時(shí),AZ=-13.099951,.：

當(dāng)

.......加

趨近于時(shí)，即無(wú)論r從小于的一邊，還是從大于的一邊趨近于時(shí)，平均速度。都

趨近于一個(gè)確定的值13.1.

從物理的角度看，時(shí)間|&|間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度工就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因

止匕運(yùn)動(dòng)員在f=2時(shí)的瞬時(shí)速度是-

為了表述方便，我們用limZ?(2+Af)~/?(2)=-13.1

A/-?0X

表示“當(dāng)f=2,4趨近于時(shí)，平均速度D趨近于定值-13.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速

度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。

導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是

我們稱它為函數(shù)y=/(x)在x=x出的導(dǎo)數(shù)，記作/S)或yl,即

00x=xa

說(shuō)明：()導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率

()Ax=x-x,當(dāng)Ax—>0時(shí)，xx,所以尸(x)=lim」------a-

°°°A.Ox—x0

三.典例分析

例.()求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)

分析：先求A△1+△1△△

再求包=6+Ax再求lim包_=6

Ax20-

解：法一定義法(略)

法二：yi=lim3x2-3'12-=lim3(A：-12)=lim3(x+1)=6

X=1XT1X-\XT]X-lT

()求函數(shù)-X2+X在x=_l附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

解：.=—(T+?)2+(—l+Ax)—2=Q_Ar

AJCA%

例.(課本例)將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行

冷卻和加熱，如果第勸時(shí)，原油的溫度(單位：C)為/(x)=x2-7x+15(0W8),計(jì)算

B

第2人時(shí)和第6〃時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.

解：在第2/z時(shí)和第6人時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是尸(2)和尸(6)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，"J(2+Ax)/(x°)

AxAx

所以/(2)=lim包=lim(Ax-3)=-3

Ar—OAXA,_>O

同理可得/⑹=5

在第2〃時(shí)和第6〃時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為-3和，說(shuō)明在2萬(wàn)附近，原油溫

度大約以3AC/%的速率下降，在第6〃附近，原油溫B度大約以5C/%的速率上升.

注：一般地，/(X)反映了原油溫度在時(shí)刻X附近的變化情況.

00

四.課堂練習(xí)

.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=f2+3,求質(zhì)點(diǎn)在f=3的瞬時(shí)速度為.

.求曲線在x=l時(shí)的導(dǎo)數(shù).

.例中，計(jì)算第3力時(shí)和第5〃時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.

五.回顧總結(jié)

.瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念

.導(dǎo)數(shù)的概念

六.教后反思：

§導(dǎo)數(shù)的幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；

.理解曲線的切線的概念；

.通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；

教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

(-)平均變化率、割線的斜率

(二)瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)在

附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)r(x)的幾何意義是什么呢？

0

二.新課講授

(~)曲線的切線及切線的斜率：如圖，當(dāng)P(xJ(x))(〃W2,3,4)沿著曲線/(x)趨

nnn

近于點(diǎn)P(x,/(x))時(shí)，割線PP的變化趨勢(shì)是什么？

00n

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P沿

著曲線無(wú)限接近點(diǎn)即4

時(shí)割線PP趨近于確定的位

置這個(gè)確定位置的直線

稱為曲線在點(diǎn)處的切線

問(wèn)題：⑴割線PP的斜率后

nn

與■切線的斜率后有什么關(guān)

系？

⑵切線的斜率后為多

少？

圖容易知道，割線PP

n

的斜率是2=當(dāng)點(diǎn)P沿著曲Z近點(diǎn)時(shí),k無(wú)限趨近于切線的斜

-Xn

XX

率k,即k=1咕，(%+—)一""0)=/(x)

A..、，3)Mo

說(shuō)明：()設(shè)切線的傾斜角為a那么當(dāng)△-＞時(shí)割線的斜率稱為曲線在點(diǎn)處的切

線的斜率

這個(gè)概念①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法

②切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)

0

（）曲線在某點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)的位置有關(guān)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷

與求解如有極限則在此點(diǎn)有切線且切線是唯一的如不存在則在此點(diǎn)處無(wú)切線曲線

的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)可以有多個(gè)甚至可以無(wú)窮多個(gè)

（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)（x,f（x））處的切線的斜率，

00

即f（x）-lim---u----------o_=k

°M

說(shuō)明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟

①求出點(diǎn)的坐標(biāo)

②求出函數(shù)在點(diǎn)x處的變化率/'（x）=lim2K上竺二"2=攵，得到曲線在點(diǎn)

°°20M

（尤））的切線的斜率；

00

③利用點(diǎn)斜式求切線方程

（二）導(dǎo)函數(shù)：

由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到當(dāng)時(shí)r（x）是一個(gè)確定的數(shù)，那么當(dāng)

0

變化時(shí)便是的一個(gè)函數(shù)我們叫它為的導(dǎo)函數(shù)記作：/（X）或y,

即f'（x）=y'=lim/CL"*

Ay

Ax—>八0△兒

注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).

（三）函數(shù)/（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)/'（X）、導(dǎo)函數(shù)/（X）、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

00

（）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/'（X）,就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極

0

限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。

）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言的，就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

）函數(shù)/（X）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)/（X）就是導(dǎo)函數(shù)/（X）在x=x處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)

000

在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。

0

三.典例分析

例（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程

（）求函數(shù)在點(diǎn)（1,3）處的導(dǎo)數(shù)

2

々刀/、11[（1+AX）2+1]—（12+1）2Ax+Ax

解：（）/|=hm-------———----=hm---------=2

X=]A-OAxAx

所以，所求切線的斜率為，因此，所求的切線方程為y-2=2（x-l）即2x-y=0

z、H斗3x2-3-123（X2-12）

（）因?yàn)閥I=hm=lim=lim3（x+l）=6

IA->1X—1Xf]X—1XT]

所以，所求切線的斜率為，因此，所求的切線方程為y—3=6(x—1)即6x—y—3=0

()求函數(shù)-》2+苫在苫=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

△），一（一1+Ax）2+（―1+Ax）—2r

解:—=------------------------=3—Ax

AxAx

例.(課本例)如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

//(x)=-4.9x2+6.5x+10,根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲

線//⑺在，、t、t附近的變化情況.

012

解：我們用曲線力⑴在，、r、r處的切線，

0I2

線力Q)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.

()當(dāng)"，時(shí)，曲線力⑺在/處的切線/平

000

行于X軸，所以，在f=t附近曲線比較

0

平坦，幾乎沒(méi)有升降.

()當(dāng)，=，時(shí)，曲線人。)在，處的切線/的斜率〃'Q)<0,所以，在"，附近曲線下降,

11111

即函數(shù)〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在/=，附近單調(diào)遞減.

1

()當(dāng)，=，時(shí)，曲線〃⑺在，處的切線/的斜率〃()<(),所以，在，=/附近曲線下降,

22222

即函數(shù)〃(x)=-4.9x2+6.5x+10在，=/附近單調(diào)遞減.

2

從圖可以看出，直線/的傾斜程度小于直線/的傾斜程度，這說(shuō)明曲線在，附近比

121

在，附近下降的緩慢.

2

例.(課本例)如圖，它表示人體血管中藥物濃度c=/(f)單位：mg1mL

隨時(shí)間r(單位:min)變化的圖象.根據(jù)圖像，估計(jì)f=0.2,0.4,0.6,0.8時(shí),血管中藥物濃

度的瞬時(shí)變化率(精確到0.1).

解：血

管中某一

時(shí)刻藥物

濃度的瞬

時(shí)變化

率，就是

藥物濃度

/(，)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線/⑴在此點(diǎn)處的切線的斜率.

如圖，畫(huà)出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)

刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值.

作”0.8處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),則它的斜率為:

0.48-0.91

k?-1.4

1.0-0.7

所以((0.8)。―1.4

下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:

藥物濃度瞬時(shí)變化率/()

四.課堂練習(xí)

.求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線;

.求曲線卜=?在點(diǎn)(4,2)處的切線.

五.回顧總結(jié)

.曲線的切線及切線的斜率；

.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

六.教后反思：

§幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

.使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見(jiàn)函數(shù)＞=。、y=x、y=x2、=1的

X

導(dǎo)數(shù)公式；

.掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù))，=c、y=x、y=x2、)，=_L的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用

X

教學(xué)難點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)y=c、y=x、y=m、y=L的導(dǎo)數(shù)公式

X

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某

一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.那么，對(duì)于函數(shù)y=/(x),如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，所

以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，為了能夠較快地求出某

些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡(jiǎn)捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個(gè)常用的函

數(shù)的導(dǎo)數(shù).

二.新課講授

.函數(shù)y=/(x)=c、的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)轶肑(x+?)/(x)===0

AxzkxAx

)，'=0表示函數(shù)y=c圖像(圖)上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為.若y=c表示路程關(guān)

于時(shí)間的函數(shù)，則y'=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài).

.函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)榻z=/(x+&)-/(x)=x+Ar-x=]

AxAxAJV

所以y'=lim—=lim1=1

AA->0AA->0

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y'=l表示函數(shù))，=x圖像(圖)上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為.若)，=x表示路程關(guān)

于時(shí)間的函數(shù)，則)，'=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為的勻速運(yùn)動(dòng).

.函數(shù)y=/(x)=x2的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)轶?/(x+Ax)-/(x)=(X+AX)2-X2

AxAxAx

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

ADX41To

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y'=2x表示函數(shù)y=x2圖像(圖)上點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率都為2x,說(shuō)明隨著x的

變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，表明:

當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y=心減少得越來(lái)越慢；當(dāng)x>0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)y=式2

增加得越來(lái)越快.若>=尤2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y=2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)

動(dòng)，它在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.

.函數(shù)y=/(x)=l的導(dǎo)數(shù)

x

1_1

因?yàn)閍=/(x+Ar)/(x)=7T^一,

AxAxAx

所以y=lim—-=lim(------!-----)=-J_

oAxA-oX2+x-AxX2

.函數(shù)y=f(x)=y/x的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)閍=/(x+Ax)-/(x)=Jx+Ax-?

AvAxAx

.課本探究

.課本探究

四.回顧總結(jié)

五.教后反思：

§

教學(xué)目標(biāo)：

.熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；

.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

教學(xué)難點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

（常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

三.典例分析

例.假設(shè)某國(guó)家在年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價(jià)p（單位：元）與時(shí)間f（單

位：年）有如下函數(shù)關(guān)系p?）=p（1+5%），,其中p為"0時(shí)的物價(jià).假定某種商品的p=1,

000

那么在第個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少（精確到）？

解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有pH）=LO5"nl.O5

所以夕(10)=1.051。lnl.05ao.08(元年)

因此，在第個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約為元年的速度上漲.

例.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

()y=x3-2x+3

()下—匚下

()y=x-sinx-In%；

縱

/、1一Inx

(Jy=----------

1+lnx

()y=(2x2-5x+1)-ex；

/、smx-xcosx

()y=-----------------

cosx+xsinx

解：()y=(%3-2x+3)=(工3,-(2x)，+(3)，=3x2-2,

y-3x2-2o

()I」).=(1+后_(1-/

1+y/x1—yfx(1+(1—^X)2

()y=(x-sinx-lnx)'=[(x-ln%)?sinx\

/x、x-4x-x?(4t)'_1?4-v-x-4AIn4_l-xln4

)y=(L)'

4A(4A)2(4x)24x

l-xln4

1

/、4-lnx、/12、?I、cT2

()y=(--------)=(-1+---------)1=2(--------)?=2-————=--------------

1+lnx1+lnx1+lnx(1+Inx)2x(l+lnx)2

()y=(2x2-5x4-1),-ex+(2x2-5x+l)?(e。

=(4x―5)-+(2x2-5x4-1)-ex=(2x2-x-4)-ex,

y-(2x2-x-4)e。

/、/sinx-xcosx、

()y=(-------------：-),

cosx+xsinx

X2

(cosx+xsinx)2

【點(diǎn)評(píng)】

①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實(shí)行的.

②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細(xì)心、耐心.

例日常生活中的飲水通常是經(jīng)過(guò)凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷

增加.已知將噸水凈化到純凈度為X%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為

求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：()90%()98%

解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

()因?yàn)閏(90)=5284=52.84,所以，純凈度為90%時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是

(100-90)2

元噸.

()因?yàn)閏(98)=…5284_=]32i,所以，純凈度為98%時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是

(100-90)2

元噸.

函數(shù)/(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知，

。(98)=25。(90).它表示純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，大約是純凈度為90%

左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍.這說(shuō)明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，

而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.

四.課堂練習(xí)

.課本練習(xí)

.已知曲線：=一一+,求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的切線方程；

(=—+)

五.回顧總結(jié)

()基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

()導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

六.教后反思：

§

教學(xué)目標(biāo)理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

教學(xué)重點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的

導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之積.

教學(xué)難點(diǎn)正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，做到不漏，不重，熟練，正確.

.創(chuàng)設(shè)情景

(-)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

匕(X)土g(x)]=/(x)土g，(x)

卜(*?(x)]=f(x)g(x)±f(x)g(x)

?

'f(x)'.=/(x)g(：)—；x)g(x)(g(x)HO)

_g(x)_Lg(x)Jp

()推論：L/(x)]=^y,(x)

(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

二.新課講授

復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/(M)和“=g(x),如果通過(guò)變量“，y可

以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)>=/(〃)和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作

>=/(g(x))。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù))，=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/(，，)和，，=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的

關(guān)系為即)，對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)〃的導(dǎo)數(shù)與〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

XUX

若y=/(g(x)),則y'=[/(g(x))]'=/'(g(x)>g'(x)

三.典例分析

例(課本例)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

()y=(2x4-3)2；()y=e-oo5x+i；

()y=sin(兀x+(p)(其中兀,<p均為常數(shù)).

解：（）函數(shù)y=（2x+3”可以看作函數(shù)），=〃2和〃=2x+3的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)法則有

y=yr-uf(W2)(2X4-3),=4W=8X+12。

（）函數(shù)y=e“5x+i可以看作函數(shù)y=e“和M=-0.05X+1的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)法則有

y'-y'-u'（e，，）（-0.05x+1）,--0.005=一（）.OO5e~og+i。

XUX

（）函數(shù)y=sin（兀x+（p）可以看作函數(shù)y=sin“和M=7tx+（p的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函

數(shù)求導(dǎo)法則有

y'=y'-u'（sin〃）'（兀x+（p）'=ncosu=7tcos（Kx+（p）0

XItX

例求y=sin（tan心）的導(dǎo)數(shù).

解:y-[sin（tanxi）]'-cos（tanx2）-sec2（x2）-2x

【點(diǎn)評(píng)】

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層

逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時(shí)應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果.

例乘:。的導(dǎo)和

y/x2-2ax

1?J尤2-2奴-(x-a)-—二2a

解：y=2正—26

X2-2ax

-a2_42“2-2ax

X2-2axyJxz—2ax(x2~

【點(diǎn)評(píng)】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡(jiǎn)整理.

例求=+的導(dǎo)數(shù).

__1

【解法一】=+=+=

2

【解法二】'='+，+

=+

【點(diǎn)評(píng)】

解法一是先化簡(jiǎn)變形，簡(jiǎn)化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確.解法二是利用復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步.

例曲線=（+）（一）有兩條平行于直線=的切線，求此二切線之間的

距離.

【解】=一++'=—++

令，=即__=,解得=_1或=.

3

于是切點(diǎn)為(，)，(一1,

327

過(guò)點(diǎn)的切線方程為，一=—即一+=.

顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)到此切線的距離，故所求距離為

四.課堂練習(xí)

.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；()y=sm2*iog(m-2)

2x-l?

求ln(2x2+3x+l)的導(dǎo)數(shù)

五.回顧總結(jié)

六.教后反思：

§

教學(xué)目標(biāo)：

.了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次；

教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

教學(xué)過(guò)程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的

快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的.通過(guò)研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們

可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解.下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體

會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用.

二.新課講授

.問(wèn)題：圖(),它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高

度"隨時(shí)間r變化的函數(shù)

h(分-4A49的圖像，5圖10()表

示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間f變化的函數(shù)

v(0=h?)=-9.St+6.5的圖像.

運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這

兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？

通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：

()運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的

高度力隨時(shí)間，的增加而增加，即〃⑴是增函數(shù).相應(yīng)地，v(r)=/i(z)>0.

()從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度〃隨時(shí)間，的增加而減少，即〃⑴是減函

數(shù).相應(yīng)地，v(z)=/z(r)<0.

.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

如圖，導(dǎo)數(shù)/(x)表示函數(shù)/(幻在點(diǎn)(x,)，)處的切線的斜率.

000

在x=x處，/(x)>0,切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)/(X)在X附近單調(diào)遞

000

增；

在x=x處，/(x)<0,切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)/a)在X附近單調(diào)遞

101

減.

結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

在某個(gè)區(qū)間(。力)內(nèi)，如果廣(幻>0,那么函數(shù))，=/*)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

/(x)<0,那么函數(shù)>=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

說(shuō)明：()特別的，如果/(x)=O,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù).

?求解函數(shù)y=/(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

()確定函數(shù)y=/(x)的定義域；

()求導(dǎo)數(shù)y=f(x)；

()解不等式/〈幻〉。，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

()解不等式/〈?〈O,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

三.典例分析

例.已知導(dǎo)函數(shù)尸。)的下列信息：

當(dāng)l<x<4時(shí)，/,(%)>0；

當(dāng)x>4,或x<l時(shí)，/(X)<0；

當(dāng)x=4,或x=l時(shí)，/(X)-0

試畫(huà)出函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀.

解：當(dāng)l<x<4時(shí)，f(x)>0,可知y=/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>4,或x<l時(shí)，/(x)<0；可知y=/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)x=4,或x=l時(shí)，「(x)=0,這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”.

綜上，函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀如圖所示.

例.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.

()f(x)=%3+3x；()/(x)=x2-2x-3

()/(x)=sinx-xxe(0,7i)；()/(x)=2x3+3x2-24x+l

解：()因?yàn)?(x)=爐+3x,所以，

因此，/(x)=x3+3x在上單調(diào)遞增，如圖()所示.

()因?yàn)?(x)=尤2-2x-3,所以，/(X)=2x—2=2(x—1)

當(dāng)/(x)〉0,即x>l時(shí),函數(shù)/(x)=X2-2x-3單調(diào)遞增；

當(dāng)/,(x)<0,即x<l時(shí)，函數(shù)/(x)=x2-2x—3單調(diào)遞減；

函數(shù)/(x)=x2-2》-3的圖像如圖()所示.

()因?yàn)?(x)=sinx-xxe(0,7t),所以，/(x)=cosx-1<0

因此，函數(shù)/(x)=sinx-x在(0,兀)單調(diào)遞減，如圖()所示.

()因?yàn)?(x)=2x3+3x2—24x+l,所以.

當(dāng)f'(x)>0,即時(shí),函數(shù)/(x)=X2-2x-3；

當(dāng)/,(x)<0,即時(shí)，函數(shù)/(x)=x2-2x-3；

函數(shù)/(x)=2x3+3x2—24x+l的圖像如圖()所示.

注：()、()生練

例.如圖，水以常速(即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積

相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度力與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系圖像.

分析：以容器()為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開(kāi)始階段高度增

加得慢，以后高度增加得越來(lái)越快.反映在圖像上，()符合上述變化情況.同理可知其

它三種容器的情況.

解：(1)一(8),(2)f(A),(3)->(O),⑷->(C)

思考：例表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快

慢.結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的

快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

如圖所示，函數(shù)y=/（x）在（0,外或Q,0）內(nèi)的圖像“陡峭”，

在伉+00）或Jo,內(nèi)的圖像“平緩”.

例.求證：函數(shù)y=2x3+3x2-12x+l在區(qū)間（一2,1）內(nèi)是減函數(shù).

證明：因?yàn)閥=6尤2+6x-12=6（T2+X-2）=6（X-1）Q+2）

當(dāng)xe（—2,1）即一2<X<1時(shí)