江蘇省揚(yáng)州市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)摸底考試 數(shù)學(xué) 含答案

2022?2023學(xué)年高三年級(jí)模擬試卷

數(shù)學(xué)

（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）

2023.2

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)Z滿足i（z+i）=2+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知α,?∈R,則''αVb"是ua<b-Γ的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知數(shù)列｛斯｝滿足2a“=a,i+a“+i（〃22）,6+的+/+恁+劭=1。。，則其前9項(xiàng)和等

于（）

A.150B.180C.300D.360

4.若平面向量α,B滿足α+B=（3,-2）,?—?=（1,x）,且α?b=0,則X的值為（）

A.B.-∣C.±2√3D.±2√2

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字

塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿足黃金比例，即比值約為嚀」，則它的側(cè)棱與底面所成角的正

切值約為（）

AE_&R小-^]r小+1n

z??2D?22Lx?2

6.已知α,βR（0,方）,2tanα=sjn，則tan（2α+4+]）=（）

A.~yβB.一坐C.坐D.yf3

7.已知一組數(shù)據(jù)XI，x2,X3,X4,X5的平均數(shù)是2,方差是3,則對(duì)于以下數(shù)據(jù)：

2x∣+1,2Λ?+1,2冷+1，2J?+1,2J?+1,1>2>3,4>5

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.平均數(shù)是3,方差是7B.平均數(shù)是4,方差是7

C.平均數(shù)是3,方差是8D.平均數(shù)是4,方差是8

8.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，X軸正半軸上從左至右四點(diǎn)4,B,C,。橫坐標(biāo)依次為α

-c,a,a+c,2a,y軸上點(diǎn)M,N縱坐標(biāo)分別為m,-2m（m>0）,設(shè)滿足PA+PC=2a的

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,滿足QN=2。M的動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線F,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在y軸正半軸

上時(shí)，。。交曲線E于點(diǎn)Po（異于點(diǎn)。），且OPo與BQ交點(diǎn)恰好在曲線廠上，則a：c=（）

A.√2B.√3C.2D.3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分.共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的有（）

Ae=CW

Be+d=Cg

1

C.C,1,+d+d+-+Q=2"

D.(1+x)4展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)

10.已知實(shí)數(shù)”，?>0,2a+?=4,則下列說法正確的有()

A.?+1有最小值IBd+〃有最小值與

C.4"+2”有最小值8口.1110+1116有最小值比2

11.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)x∈R,用國(guó)表示不超過X的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).例

如[―3.5]=-4,[3.5]=3.已知函數(shù)於)=COSX+1CoSX函數(shù)g(x)=[∕(X)],則下列說法正確的

有()

A.函數(shù)4r)在區(qū)間(O,n)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)大x)圖象關(guān)于直線X=EoI∈Z)對(duì)稱

C.函數(shù)g(x)的值域是｛0,1,2｝

D.方程g(x)=x只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

12.在四面體ABC。的四個(gè)面中，有公共棱AC的兩個(gè)面全等,AO=1,CD=√5,ZCDA

=90。，二面角BAC。大小為仇下列說法正確的有()

A.四面體ABCD外接球的表面積為3π

√3

B.四面體ABCD體積的最大值為半

C.若AD=AB,ADlAB,則6=120。

D,若AO=BC,6=120。，則Bf)=勺

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.記&為等比數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)和.若S3=%S6=12,則％=.

14.已知雙曲線，--=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F2,且右支上有一點(diǎn)P(p,1),則

COS∕F1PF2=.

15.某個(gè)隨機(jī)數(shù)選擇器每次從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)字中等可能地

選擇一個(gè)數(shù)字，用該隨機(jī)數(shù)選擇器連續(xù)進(jìn)行三次選擇，選出的數(shù)字依次是“，b,C,則概率

P(a<b<c)=.

16.已知函數(shù)負(fù)X)=Ov2+x,若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，IAX+l)∣Wα+l恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”?i=2,Sn=an+?~2.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)令-=log2斯.

①C"=6"?a"：②C"=4/『_[:③。"=(-1)"(b,l)^.

從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列｛c,,｝的前n項(xiàng)和Tn.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

18.(本小題滿分12分)

9jr

已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,h,c,A=y,6=10,c=6,AABC的

內(nèi)切圓/的面積為S.

(1)求S的值；

(2)若點(diǎn)。在AC上，且B,/,。三點(diǎn)共線，求彷BC的值.

3

19.(本小題滿分12分)

在三棱柱ABaIBICl中，側(cè)面ACCA是菱形，ZA∣AC=60o,AAl=2,AClΛ∣β.

(1)求證：BA=BC;

(2)已知AB=√5,48=2,求直線4B與平面AIBIC所成角的正弦值.

4

20.(本小題滿分12分)

云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國(guó)云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng).據(jù)調(diào)查可

知，我國(guó)2017年至2021年云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

_______W______20_17年2018年2019年2020年2021年

年份代碼J]2345

云計(jì)算市場(chǎng)規(guī)模W億元692962133420913229

Xlnyi=36.33,￡(?rjnW)=112.85.

經(jīng)計(jì)算得-1'

AA4A

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),建立y關(guān)于X的回歸方程y=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(2)云計(jì)算為企業(yè)降低生產(chǎn)成本、提升產(chǎn)品質(zhì)量提供了強(qiáng)大助推力.某企業(yè)未引入云計(jì)

算前，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差ε-N(0,^),其中m為單件產(chǎn)品的成本(單位:元)，

且P(―l<e<l)=0.6827;引入云計(jì)算后，單件產(chǎn)品尺寸與標(biāo)準(zhǔn)品尺寸的誤差￡-N(0,?).

若保持單件產(chǎn)品的成本不變，則P(—將會(huì)變成多少？若保持產(chǎn)品質(zhì)量不變(即誤差的

概率分布不變)，則單件產(chǎn)品的成本將會(huì)下降多少？

參考公式和數(shù)據(jù)：

對(duì)于一組數(shù)據(jù)(χι,yi),(X2,y2),…，(xn，yj,其回歸直線y∕?=p八χ+α八的斜率和截距

，工必一〃1y

S=三----------.￡=7一陀

y2_-2

的最小二乘估計(jì)分別為W

若X?N(μ,a2),則P(∣X-μ∣<σ)=0.6827,P(∣X-μ∣<2σ)=0.9545,P(∣X-μ∣<3σ)=0.997

3.

5

21.(本小題滿分12分)

已知AB為拋物線G：y2=2px(p>0)的弦，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線1上.當(dāng)AB過拋物線

焦點(diǎn)F且長(zhǎng)度為8時(shí)，AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為3.

(1)求拋物線G的方程；

(2)若NACB為直角，求證：直線AB過定點(diǎn).

22.(本小題滿分12分)

TrTr

s

已知函數(shù)f(x)=d2,x∈R.g(χ)=cosx,X∈(-',2).(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e==≈2,718).

(1)若函數(shù)貼)=%)一g(x)在區(qū)間(甘，f)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(2)是否存在直線/同時(shí)與y=∕(x),y=g(x)的圖象相切？若存在，判斷/的條數(shù)，并證明

你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6

2022?2023學(xué)年高三年級(jí)模擬試卷（揚(yáng)州）

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1.D2.B3.B4.C5.A6.B7.D8.A9.ABD10.BC11.BCD12.ACD

1331

13.2814.§15.石16.[―?,一1]

17.解：(1)VSn=an+↑-2r???1=斯一2(〃22),

兩式相減得斯+1=2%(〃22).(2分)

?。]=2,。2=4,??Q2=2α∣?(3)

?αw+ι=2^w(n∈N*).

*/^ι=2≠0,包」=2(n∈N*).

.?.數(shù)列｛斯｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

斯=2".(5分)

說明:結(jié)果%=2"對(duì)，但漏掉。2=20的扣1分.

π

(2)由(1)可知bn—log2fl,l=Iog22-n.

若選①：c,1=bn-an=n-2",

：.7],=1?2I+2?22+3?23H------Fn?2n,

2η(=l?22+2?234------∣-(n-l)?2,,+n?2,,+l(7分)

2—2rt+1

兩式相減得一7],=2+22+23+…+2"-"?2"I=十、--∏-2n

所以7],≈(n-l)?2,,+l+2.(10分)

若選②：以=4居—1=4"2-l=(2〃+1)=5(2〃-1~2n+?)'(7分)

Tn=3(14)+24V)+2(I-J)+-+2(+^?)=；(L?T)=

年7。。分)

若選③：C"=(-l)"?(b")2=(—1產(chǎn)洛

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，l2+22)+(-32+42)H-----F[-(n-l)2+n2]≈1+2H-------H?=

n(〃+1)八

-2—：(7分)

“上大皿Q(/1+1)(n+2)9n("+1)

T〃為奇數(shù)時(shí)，Tn-Tn+1-cfl+\—2-5+1)=-2?

H

綜上，得.=(7)"""2’-?.(10分)

2TT

18.解：(1)在AABC中，由余弦定理得"2=/+/-26CCoS亍,

Λa2=100+36+60=196,即〃=14.(3分)

設(shè)內(nèi)切圓/的半徑為r,則SAABC=/?(α+Z>+c)?r=;besiny,

r=√5,.-.S=πr=3π.(6分)

7

（2）（解法1）在AABC中，由⑴結(jié)合余弦定理得CoSNABe=,,

：B。平分NA8C,點(diǎn)。到AB,BC的距離相等，故學(xué)2=聚，

'△CBD

Fjsl∕?A8DAjD.A8Az）3.7—*.3-?,八、

+BC

llll5?CβD=而,,,BC=而=7',?BD=T5BA7O'（9分）

.?.BDBC??BABC+?BC2=?X6X14X∣∣+?X⑷=105.（12分）

（解法2）在AABC中，由⑴結(jié)合余弦定理得cosZAβC=H,

依題意可知/為內(nèi)心，故8。平分/4BC,設(shè)NABD=NCBD=。,

貝IJCoS/A8C=2cos2。-1=*,.,.co,/.sin.（8分）

思路1：在AABO中，AADB=I-θ,由正弦定理得~?=——竽——，

sin—sin（?-0）

...zπ4亞°1.0-J2L

?SIn（Q-θ）=^CoSe-5sιnθ=^j~,

?'?BD=------W------sinγ=親.坐=3巾，（10分）

Sin（F）與

.,.BDBC=∣BD∣?∣BCICOs。=105.（12分）

思路2：,.*SAABC=SAABD+S4CBD，9Cicsin20=2c?3Z）?sine+/QNQsin仇

2X6X14X智

2acCOS0

BD==3√7,（10分）

a+c6+14

BDBC=麗∣?∣BCICoS6=105.（12分）

AB

思路3：；8。平分NABC,點(diǎn)。到A8,BC的距離相等，故”一=

OΔCBD=就'

S3AB∣）_AD.世=C

而,==VAC=10,ΛAD=3.

SACBD~CD?~BCCD14

在AABO中，由余弦定理得BD2=AU+4）—2AO?A8cos至=63,（10分）

BDBC=|彷∣?∣fiCIeoSd=Io5.（12分）

19.解：（1）連接AC,在三棱柱ABCAiBlCl中，側(cè)面ACCA是菱形，NAlAC=60。,

則4AAC為正三角形，取AC的中點(diǎn)為O,則4CJLAQ,

XAC±A∣B,A/CAιO=A∣,A,B,AIOU平面AiBO,

所以AeL平面AlBo.（3分）

因?yàn)锽oU平面A山。，所以AC_L8。，

因?yàn)椤Ｊ茿C的中點(diǎn)，所以AB=BC.（5分）

8

(2)在邊長(zhǎng)為2的正三角形A4C中，Λ,0=√3,

在aABC中，AB=BC=P,AC=2,則Bo=1,又A∣8=2,

所以AIo2+802=AlB2,所以AIO_LBO,(7分)

所以。4ι,OB,OC兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，OB,OC,OAl分別為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。肛z,如圖.

則A(0,-1,0),8(1,O,O),C(0,1,O),A∣(0,O,√3),

=最=(1,1,0),

AlB=(1,O,-√3),Λ,C=(O,1,-√3),A∣Bl

設(shè)平面A山IC的法向量為"=(x,y,z),

jA∣8r"=x+y=0,_

則V'r令Z=1,則〃=(—s,√3,1),(10分)

lA∣C?n=>-√3z=0,

設(shè)直線AiB與平面AlBC所成角為θ,

則Sind=ICoS<A∣B,n)I=CII=當(dāng)?，

所以直線AiB與平面AlC所成角的正弦值為浮

.(12分)

20.

IK=(I)因?yàn)榻?科十°.所以In夕=的+合.(1分)

S_5

?(?Jny)—jr?Iny

￠=WiWi112?85-3X36?333.86”

ττ=—-=0.386.(4分)

≡一1+4+9+16+25-5X3zIO.........

2Λ??—w?*

?*1J

i_?

所以2=FXIn.V,-^=-Z-×36.33-0.386×3=6.I()8.

所以夕=J?q=<a?g+"β?.(6分)

4=*，

(2)未引入云算力輔助前，￡~N(0,—),所以μ=0,σ

XP(-1<ε<1)=0.6827=P(∣ε-μ∣<σ),所以=1,所以m=4.(8分)

引入云算力輔助后，e~N(O,?).所以μ=0,σ=Λ∕?，

若保持產(chǎn)品成本不變，則m=4,ε~N(O,；),σ=y/i=9

所以P(-1<ε<l)=P(∣ε-μ∣<2σ)=0.9545,(10分)

若產(chǎn)品質(zhì)量不變，則需=1,所以m=l,

所以單件產(chǎn)品成本可以下降4-1=3(元).(12分)

9

AB=XA+XB+P=8,

21.解：（1）設(shè)A（XA,yA），B（XB,yB），則由題意得（XA+XB故p=2,

所以拋物線的方程為y2=4x.（4分）

（2）直線AB過定點(diǎn)（1,0）,證明如下：

y∣).B(斗,y),直線AB的方程為x=ty+n(n>0),

設(shè)C(T,c),A(E2

將x=ty+n(n>O)代入y2=4x得y2-4ty—4n=0,

則A>0,所以yι+yz=4t,yiyz=-4n,(6分)

所以H=(￥+Lyι-c)?CB=(牛+1，丫2—c).

2

因?yàn)镹ACB=90。，所以(5λCB=0,即喑^+∑L?-+1+y1y2-c(yι+y2)+c=0,

BPn2+4t2+2n+l-4n-4tc+c2=0,(8分)

即(n—lp+(2t-c)2=0,所以n=l,

所以直線AB過定點(diǎn)(1,0).(12分)

22.解：(1)h(x)=af(x)—g(x)=aex2—cosx,hl(x)=a^x*2÷5∕7?x.

因?yàn)閔(x)=af(x)-g(x)在(一],與)上單調(diào)遞減，

所以Vx∈(-],?),IV(X)=ae''2+s%xW0恒成立,

L/兀萬(wàn)、JsmXL-?小八、

?x∈（-2，2）'2這一戶5怛成立.（2分）

/、sinXTr…cosχ-sinX

設(shè)M(X)=—，x≡(-2力,則Mf(x)=~———

當(dāng)XW（甘，今）時(shí)，M,（x）＜0,當(dāng)x∈q,）時(shí)，M,（x）＞0,

所以M（X）在（甘，f）上單調(diào)遞減，在/，W）上單調(diào)遞增，（4分）

π2√2二一2

所以M(X)加=Mq)=——

ZM一十o2e4

所以aW—乎el7。分)

(2)存在且僅有一條直線同時(shí)與y=f(x),y=g(x)的圖象相切.(6分)

設(shè)直線與y=f(x),y=g(x)的圖象分別相切于點(diǎn)P(xι,yι),Q(x2,y2),

j+2f

其中xι∈R,X2≡(-2'?%且X1≠x2,/(x)=e,g(x)=-sinχf

則在P處的切線方程為y—exι+2=exι+2(χ一乃)，即y=e%ι+2x+(l-x】)ex1+2；

在Q處的切線方程為y—cosx2=-sin%2(χ一元2)，即y=-XSinX2+cos?Y2+x2sinx2?

所以exi+2=—sinx2,…①

(1—xι)ex∣+2=cosX2÷-V2sin為，…②

10

Tr

因?yàn)橐籹inMW(—1,1),所以O(shè)VeXl+2V1,則及￡(—g，0).

可得Xl=-'2÷ln(—sin及)，于是有[3—In(—sinX2)](—sin及)=CoSx2+x2Sin忿，

整理得(x2+3)sinX2÷cos%2-sinx2∣n(-sinx2)=O.(8分)

(解法1)兩邊同除以SinX2得(及+3)+器詈-ln(-sinx2)=O,

要證有且僅有一條直線同時(shí)與y=∕(x),y=g(x)的圖象都相切，

只需證函數(shù)M(X)=X+3+霏T-In(―sinx),在χC(一與，0)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

,-Sin2X-Cos2X—cos%—cosx(sinx÷cosx)

()sin2x—sinxsin2x

一mCOSXSin(x÷^)

sin2%

JTTTJT

當(dāng)X∈(-2,—1)時(shí)，Λf(x)>O;當(dāng)a，。)時(shí)，M'(X)<O,

所以Ma)在(冶,-≡)上單調(diào)遞增，在(一；，0)上單調(diào)遞減，(10分)

M(—)>M(-)=~2+3>。，所以M(X)在(甘，一個(gè))內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

取Sin沏=一e、，w∈(-：,0),則COSXO=]1—屋6，

Mao)=XO+3+：,'°-In(—sin