高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)精講及重點(diǎn)題型訓(xùn)練

4.2指數(shù)函數(shù)

?知識(shí)導(dǎo)圖

(-----------1dMMBMJ

/----------------e指數(shù)幕的運(yùn)aH-

1

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)=

、’(>指數(shù)話(huà)數(shù)的圖像與性質(zhì)—Hffloarma*

H娟敷型后臺(tái)的故)

?知識(shí)點(diǎn)精講

考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)了=。工(。>0且存1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量，函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<Q<1

Pyy=?r尸〃\V

圖象__y=l

oji_*

o]i~~r

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=\

當(dāng)x>0時(shí)，7>1；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)了v0時(shí)，0<y<l當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l

在(-00,+oo)上是增函數(shù)在(-00,+oo)上是減函數(shù)

重點(diǎn)題型

（一）指數(shù)函數(shù)的概念

例1、（1）,（2023秋?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤艉瘮?shù)＞=（蘇-2加-2）.W是指數(shù)函數(shù)，則

加等于（）

A.一1或3B.-1C.3D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)＞=（--2〃?-2）?祝是指數(shù)函數(shù)，

m2—2m-2=1

所以,加＞0=＞機(jī)=3.

故選：C

（2）、（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)〃x）=］；叱3卜，（°＞0,且分1）是指數(shù)函數(shù)，則”

【答案】8

【分析】根據(jù)指函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)〃可=&”3）/是指數(shù)函數(shù)，

所以夭一3=1,所以a=8.

故答案為：8.

【變式訓(xùn)練1-1】、（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的有（）

A.y=x4B.＞=（：）"C.＞=22*D.y=-3X

【答案】BC

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：對(duì)于A,函數(shù)y=x4不是指數(shù)函數(shù)，

對(duì)于B,函數(shù)》=（：『是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于C,函數(shù)了=2?x=4,是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于D,函數(shù)＞=-3”不是指數(shù)函數(shù).

故選：BC.

【變式訓(xùn)練1-2】、（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)〃回=（。2-3）.優(yōu)為指數(shù)函數(shù)，則。=.

【答案】2

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組即可解得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃司=（。2-3）/為指數(shù)函數(shù)，

[/—3=1

所以《An1，解得4=2.

[a＞0且Qw1

故答案為：2

（二）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例2.（1）、（2021?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)（文））函數(shù)〉=優(yōu)-工（。＞0且的圖象可能是

（）

鄴

網(wǎng)學(xué)

盼:工，

您R贏溺'七飛a*%

?W

A.①③B.②④C.④D.①

【答案】c

【分析】分。＞1,0＜。＜1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和圖象平移判斷.

函數(shù)夕=優(yōu)-1.圖象由函數(shù)

【詳解】當(dāng)。＞1時(shí)，0＜-＜1,函數(shù)〉=罐的圖象為過(guò)點(diǎn)（0,1）的上升的曲線(xiàn),

aa

y=a*向下平移:個(gè)單位可得，故①②錯(cuò)誤；

廣-工圖象由函數(shù)＞=優(yōu)向下平

當(dāng)0＜"1時(shí)，-＞1,函數(shù)＞=優(yōu)的圖象為過(guò)點(diǎn)（0,1）的下降的曲線(xiàn)，函數(shù)y

aa

移5個(gè)單位可得，故④正確③錯(cuò)誤；

故選：C

（2）.（2022?全國(guó)）已知函數(shù)/㈤=（工-〃）（％一份（其中a>b）的圖象如圖所示,則函數(shù)g（x）=優(yōu)+6的圖像是

【答案】A

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

/(0)<0[ab<0(1)

由圖象可知:</(I)>0n'(l—a)(l—b)>0(2)因?yàn)樗杂散趴傻茫篴>0>bf由⑶可得:

/(-I)<0[(-1-Q)(-1-b)<0(3)

一1一6>0=6<-1,由(2)可得：1-?>0=>(2<1,

因此有1〉〃>0〉-1〉6,所以函數(shù)g（x）=a"+b是減函數(shù)，g（0）=1+6<0,所以選項(xiàng)A符合，

故選：A

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)①y=優(yōu)；②尸"；③尸④”*的圖象如圖

所示，a,b,c,d分別是下列四個(gè)數(shù)：f,5I，；中的一個(gè)，則a,b,c,d的值分別是（）

432

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】由題圖，直線(xiàn)X=1與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c,d,a,b,而百

故選：C.

【變式訓(xùn)練2-2】.(2023?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)〃對(duì)=優(yōu)+6的圖象如圖所示，則函數(shù)

g(x)=(x-a)(x-6)的大致圖象為()

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合函數(shù)〃對(duì)=優(yōu)+6的圖象可求得。力的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖

象即可得解.

【詳解】函數(shù)/(X)=優(yōu)+6的圖象是由函數(shù)V=優(yōu)的圖象向下或向上平移網(wǎng)個(gè)單位得到的,

由函數(shù)/。)=罐+6的圖象可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，貝。

令x=0得6+le(-l,0),則be(3-1),

則函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)的大致圖象為A選項(xiàng).

故選：A.

《三）定點(diǎn)問(wèn)題

例3.（1）、（2021?上海市建平中學(xué)高一期中）函數(shù)＞=。1（4＞0,。/1）恒過(guò)定點(diǎn).

【答案】（T1）

【分析】利用指數(shù)型函數(shù)的特征，求解函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】當(dāng)x+l=0,即x=-l時(shí)，y=a°=1,

所以y=ax+l（a＞0,aH1）恒過(guò)定點(diǎn)（-1,1）.

故答案為：（Tl）

（2）.（2021?玉溪第二中學(xué)高二月考（理））函數(shù)了=優(yōu)一2+1（°＞0,且的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)

【答案】（2,2）

【分析】

指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)（。＞0且awl）的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,由此計(jì)算即可.

【詳解】

令x-2=0,解得x=2,當(dāng)x=2時(shí)y=a°+l=2,

所以函數(shù)V=ax-2+1（。＞0,且a*1）的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2）.

故答案為：（2,2）

【變式訓(xùn)練3-11（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)/（x）=0522+2023（。＞0且a*1）所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)

為.

【答案】（2022,2024）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，令x-2022=0即可求得定點(diǎn).

【詳解】令x-2022=0,即x=2022,則/（2022）=+2023=2024,

\/（x）所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（2022,2024）.

故答案為：（2022,2024）.

【變式訓(xùn)練3-2】、（2022?寧夏?銀川二中高二期末（理））函數(shù)/（無(wú)）=.1+2（。＞0,awl）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)

【答案】（1,3）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】令x-l=0,可得x=l,

所以/⑴=“°+2=3,即/(x)圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,3).

故答案為：(1,3)

（四）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例4.（1）、（2022?北京八中高二期末）已知。6=0.5",c=—,則a,b,c按從小到大排列為

2

【答案】b<c<a

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.

【詳解】1.205>1,

所以6<C<Q.

故答案為：b<c<a.

（2）、（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知。=2°/=。-。=0.3°」，則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

【詳解】?.?y=0.3"是減函數(shù),3>0.1>0,所以0.33<0.3°」<1,

又

--b<c<a.

故選：C.

221.

【變式訓(xùn)練4-1】、（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若c=gj,則a、b、c的大小關(guān)系是

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】利用事函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【詳解】因?yàn)槭?，在（?+功上單調(diào)遞增，且

22

所以即a>b,

因?yàn)閥=在R上單調(diào)遞減，且

2]_

所以即c>a,

所以C>Q〉6,§9b<a<c

故選：A

【變式訓(xùn)練4-2】、（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知°力，6=，c="，則（）,

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定這三個(gè)數(shù)的范圍，可比較大小.

【詳角星1°C=1,即

小滬1,

g=-6<0,即c<0.

所以有c<0<a<l<6.

故選：B.

(五)求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

例5.(1)、(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y27的定義域是()

A.[-2,+oo)B.[-l,+oo)

C.(—00,—1]D.(—8,-2]

【答案】C

【分析】由偶次方根的被開(kāi)方數(shù)必須大于等于零，建立不等式可解.

【詳解】由題意得-27>0

所以>27,

d

又指數(shù)函數(shù)＞=II為R上的單調(diào)減函數(shù),

所以2x-lV-3,解得xV-1.

故選：C.

(2)、(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)＞=，3工-27的定義域?yàn)?)

A.卜8,6]B.卜℃,百)C.[3,+co)D.(3,+co)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方式非負(fù)，列出不等式，求解不等式可得答案.

【詳解】由題意得3,-2720,即3*233,解得xZ3.

故選：C.

【變式訓(xùn)練5-1】、(2021秋?廣西河池?高一校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=7^手，則函數(shù)/的定義域

為()

A.(-8,4]B.(-?,!]C.(0,4]D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求出的定義域，再令搭滿(mǎn)足〃X)的定義域范圍求出X的范圍即可得了的定義域.

【詳解】由9-3*20即3,49可得XV2

所以/(x)的定義域?yàn)閧x|xV2},

41<2,可得xV4,所以函數(shù)/的定義域?yàn)?e,4］,

故選：A.

【變式訓(xùn)練5-2】、(2023秋?廣東廣州?高一嶺南畫(huà)派紀(jì)念中學(xué)?？计谀?函數(shù)/■(均=萬(wàn)］+」匚的定義域

x-1

為.

【答案】［0,l)U(l,+8)

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合限制條件，解指數(shù)不等式，即可求解.

(2%—］>0

【詳解】根據(jù)題意，由，一，解得xNO且xwl,因此定義域?yàn)椋?1)U(l,+oo).

XW1

故答案為：［0,1)U(i,+8).

(六)求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域與單調(diào)區(qū)間

例6、(1)、(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)〃》)=9'-4*3，+9的值域?yàn)?

【答案】［5,+⑹.

【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.

【詳解】設(shè)1=3*>0,則〃x)=(3，y-43+9,

換兀得g(f)=尸一4/+9=—2)+5,t>0,

顯然當(dāng)f=2時(shí),函數(shù)g⑺取到最小值g(。=5,

所以函數(shù)/3=9，-4、3，+9的值域?yàn)椋?,+8).

故答案為：［5,+oo).

(2).(2022?上海師大附中高一期末)函數(shù)/(x)=5，g-3的單調(diào)減區(qū)間是.

【答案】(-8,1)##(-叫1］

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性"同增異減"，即可求解.

［詳解］令y=5，/=x?-2x-3=(x-1)-4,,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，內(nèi)層函數(shù)在xe(-co,l)上單調(diào)遞減，在xe(l,+oo)上單調(diào)遞增，

外層函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)#在xe(-co,l)上單調(diào)遞減，在xe(l,+⑹上單調(diào)遞增.

故答案為：(-8,1).

(3).(2022秋?高一單元測(cè)試)函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.1一13B.(fjC.1,+jD.Q,2

【答案】C

【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)y=是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，

因?yàn)槎魏瘮?shù)'=--+無(wú)+2的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=g,

所以二次函數(shù)y=*+x+2在（-哈時(shí)單調(diào)遞增，在*+，|時(shí)單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)＞"+"2的單調(diào)遞增區(qū)間是

故選：c

（4）.（2023秋?廣東江門(mén)?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)/（x）=*W，則（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/（x）的值域?yàn)椋?1,1）D.函數(shù)〃x）是減函數(shù)

【答案】AC

【分析】求函數(shù)/（X）的奇偶性可判斷AB；分離參數(shù)可得/（x）=l-仃，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域可判斷C；

根據(jù)單調(diào)性的定義可判斷D.

【詳解】的定義域?yàn)镽,=則〃一x）=3j=—|^=-/（x），

所以/（X）為奇函數(shù)，/（X）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),A正確，B錯(cuò)誤；

〃耳=怎=1一用，因?yàn)樗?＜1,。（亦＜2，

/十1N十1N十1/十，

所以-1＜1-5T＜1,故“X）的值域?yàn)椋═1）,C正確；

設(shè)馬＞網(wǎng),貝

2______2_2（2七-2）

2A,+12%+1一（2.+1乂2%+1），

因?yàn)椤網(wǎng)，所以2*2-2皆＞0,2皆+1＞0,2泡+1＞0,

所以/。2）-/（不）＞0,即/（尤2）＞/（再）,

所以函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選:AC.

【變式訓(xùn)練6-1】、（2023春?黑龍江雙鴨山?高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃X）=4"-2-2-1,^e[0,3],則

其值域?yàn)?

【答案】15,31]

【分析】令f=2Z將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間［1,8］上的值域問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】令f=2*,vxe[0,3],1<Z<8,

.?.g(f)=產(chǎn)一4t-l=(t-2)2-5,Ze[1,8]

又昨g（。關(guān)于f=2對(duì)稱(chēng)，開(kāi)口向上，所以g（。在口,2）上單調(diào)遞減，在（2,8］上單調(diào)遞增，且

|8-2|>|2-1|,

.」=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，即g⑺出=-5,/=8時(shí)，函數(shù)取得最大值，即g"L=31,

.?./（x）e［-5,31］.

故答案為：［-5,31］.

【變式訓(xùn)練6-2】、（2022?安徽?歙縣教研室高一期末）若函數(shù)在區(qū)間［T/上為增函數(shù)，則實(shí)

數(shù)小的取值范圍為.

【答案】m<~］

【分析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)判斷得y=—+2"x-l在［-1,1］上單調(diào)遞減，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間邊界

值建立不等式即可求解.

【詳解】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，了=/+2/^-1在［-1,1］上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為％=-加

所以一加21,BPm<-1

故答案為：m<—\

【變式訓(xùn)練6-3】、（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）求函數(shù)y=（￡|［81g1+17的單調(diào)區(qū)間.

【答案】增區(qū)間為［-2,+8）,減區(qū)間為（-巴-2）

【分析】由換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】設(shè)>°，又>=/-8+17=。-4）2+1在（0,4］上單調(diào)遞減，在（4,+功上單調(diào)遞增.令<4,

得應(yīng)一2,令>4,得x<—2.而函數(shù)/=［￡|在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)^=&）-8-^+17的增區(qū)間

為[-2,+功，減區(qū)間為（-%-2）.

故答案為：增區(qū)間為[-2,+8）,減區(qū)間為（-8,-2）

/[\x2+4x+3

【變式訓(xùn)練6-4】、（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)/（x）=仁，則（）

A.函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽B.函數(shù)〃x）的值域?yàn)椋?,2]

C.函數(shù)在[-2,+動(dòng)上單調(diào)遞增D.函數(shù)〃x）在卜2,+動(dòng)上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【分析】由函數(shù)的表達(dá)式可得函數(shù)的定義域可判斷A；令w=/+4x+3,則,結(jié)合指

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域，可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷C、

D.

【詳解】令〃=/+4x+3,則^

對(duì)于A,/（x）的定義域與〃=—+4x+3的定義域相同，為R,故A正確；

對(duì)于B,y=gj，"目-1，+動(dòng)的值域?yàn)椋?,2],所以函數(shù)〃X）的值域?yàn)椋?,2],故B正確；

對(duì)于C、D,因?yàn)椤?/+4x+3在12,+⑹上單調(diào)遞增，且＞=在定義域上單調(diào)遞減，所

以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)/（x）在卜2,+⑹上單調(diào)遞減，所以C不正確，D正確.

故選：ABD.

(七)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合問(wèn)題

例7、(2023?浙江溫州?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知定義在R上的函數(shù)-2X+1+l-m(meR).

⑴當(dāng)〃7=1時(shí)，求/(X)的值域；

⑵若函數(shù)/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑶若函數(shù)y=g(x)的定義域內(nèi)存在X。，使得g(a+Xo)+g(a-Xo)=26成立，則稱(chēng)g(x)為局部對(duì)稱(chēng)函數(shù)，其

中(%6)為函數(shù)g(x)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).若(1,0)是Ax)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(l)[T+s)

(3)(0,1]

【分析】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得了(無(wú))的值域.

(2)利用換元法，對(duì)加進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得機(jī)的取值范圍.

(3)由〃l+x)+/(l-x)=0分離參數(shù)機(jī)，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得機(jī)的取值范圍.

【詳解】⑴當(dāng)加=1時(shí)，/(x)=4r-2I+1=(2X)2-2-2X=(2J-1)2-1,

由于2工＞0,所以〃x)=(2*-1)2-12-1,當(dāng)2工=l,x=0時(shí)等號(hào)成立,

所以/(x)的值域?yàn)閇T+⑹.

(2)依題意，函數(shù)/⑴在(1,+8)上單調(diào)遞增，

“X)=m-41-2I+1+1-=加?(2"-2-2”+1-加，

當(dāng)x＞l時(shí)，令t=2"＞2,貝1]?=加〃+①，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，y=-2t+l,在(2,+co)上單調(diào)遞減，

即/(x)在(1,+co)上單調(diào)遞減，不符合題意.

—21

當(dāng)加＞0時(shí)，①的對(duì)稱(chēng)軸"-二一=一＞0,

2mm

要使/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則＞=〃/_+1-機(jī)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

m＞0

所以1/.，解得加

—21

當(dāng)加vo時(shí)，Q）的對(duì)稱(chēng)軸/=———=—<o,

2mm

函數(shù)歹=加/—2/+1—加的開(kāi)口向下，在區(qū)間+s]上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上所述，加的取值范圍是:+②].

(3)根據(jù)局部對(duì)稱(chēng)函數(shù)的定義可知，/(l+x)+/(l-x)=o,

即機(jī)?41+x-21+x+1+l-m+m-4修-21-x+1+l-m=0,

4m-4%+4m-4-x-2m-4-2x-4-2-x+2=0,

2“4'+2”4一”一加—2?2'—2?2一"+1=0,

22+2-2-”一1人I---------------

加二一xrLX1'令5=2?2'+2?2一”-122A/2?2'?2?2一芯-1=3，

24+2-4“-I

當(dāng)且僅當(dāng)2?2、=2?2二尤=0時(shí)等號(hào)成立，

則s?=4-4*+4?47+l+2(4—2-2,-2-2f)=4-4,+4-4T+9-4-2X-4-2T

=44+4-4T-2-(2-2,+2-2T-1)+7=44+44*-2S+7,

c2+?c_Q

所以24+2?4一、-1=^———,

2

s2s2

"1—-------------=--------------=------------

則s?+2s-952+25-99,

S---------rZ

2s

函數(shù)〉=S_2+2在區(qū)間[3,+8)上單調(diào)遞增，所以y=s_2+233-g+2=2,

ss3

所以機(jī)

s---1-2

s

所以加的取值范圍是(0,1].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：形如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題，無(wú)論是單調(diào)性還是值域(最值)，都可以考慮利

用換元法，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.研究含參數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討

論，結(jié)合二次函數(shù)的開(kāi)口方向、單調(diào)性、值域等知識(shí)可將問(wèn)題解決.

例8、(2020?廣西?興安縣第二中學(xué)高一期中)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃幻=匕二是奇函數(shù).

2+a

(1)求a、6的值；

⑵證明/(x)在卜8,+8)上為減函數(shù)；

⑶若對(duì)于任意feR，不等式/(/-2。+/(2/_4)<0恒成立，求人的范圍

【答案】⑴。=1,6=1;

(2)證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)由特殊值求得參數(shù)值，然后驗(yàn)證結(jié)論成立.

(2)由單調(diào)性的定義證明；

(3)由奇偶性變形，由單調(diào)性化簡(jiǎn)后求解.

(1)

]1_

由已知/(0)=；-----=0,6=1,/(x)=--------，

1+a2"+1

1_1__i

/(%)=----，此時(shí)/(x)定義域是R,/(-x)=---------=-7=-/(幻，為奇函數(shù).

2+12+11+2

所以q=l,6=1；

(2)

由⑴〃無(wú))=

設(shè)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)*，z，Xt<x2,則0<2為+1<2*+1,

，所以-1+，即/a)>/(>2),

T'+12J1

所以/(x)是減函數(shù)；

(3)

不等式f(t2-2?)+/(2/—后)<0化為f(t2-2Z)<-file-k),

fM是奇函數(shù)，則有f(t2-2t)<