2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案新高考專用函數(shù)及其性質(zhì)含解析

解密04講：函數(shù)及其性質(zhì)

【考點(diǎn)解密】

函數(shù)

兩個(gè)集合A,B設(shè)46是兩個(gè)非空數(shù)集

對應(yīng)關(guān)系f:如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,

AT在集合8中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)

名稱稱f：/f6為從集合力到集合8的一個(gè)函數(shù)

函數(shù)記法函數(shù)y=f(x),x^A

2.函數(shù)的三要素

(1)定義域：x的取值范圍：(2)值域：y的取值范圍.(3)對應(yīng)關(guān)系f：AT

3.相等函數(shù)：定義域、對應(yīng)關(guān)系都一致.

4.函數(shù)的表示法：解析法、圖象法和列表法.

5.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)φ挡煌謩e用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

6.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

-一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,區(qū)間生/,如果VM,X0)

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有/、(￡)<翼及),那當(dāng)X\<X2時(shí),都有/、(￡)>/、(矛2),

么就稱函數(shù)/"(X)在區(qū)間。上單調(diào)那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上

定義

遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)/'(X)在它單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)F(x)

的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我

稱它是增函數(shù)們就稱它是減函數(shù)

圖y=f(x)

象而)*2)

。卜,,

描

述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間。

叫做y=Ax)的單調(diào)區(qū)間.

7.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)材滿足

(1)對于VA-GI,都有

(l)Vxei,都有/?(x)W/

條件f(.x)》斷

(2)3使得f(x0)=M

(2)38G/,使得AAO)=M

結(jié)論〃為最大值例為最小值

8.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,

偶函數(shù)如果vxe/,都有一xe/,且/'(一x)=關(guān)于y軸對稱

/?(*),那么函數(shù)/'(X)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,

奇函數(shù)如果VxG/,都有一xG/,且/'(—x)=一關(guān)于原點(diǎn)對稱

fU),那么函數(shù)/'(X)就叫做奇函數(shù)

9.周期性

(1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+7)=f(x),

那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱7為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/'(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做F(x)的最小正

周期.

(3)函數(shù)周期性常用結(jié)論

對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

⑴若f(x+a)-—f(x),則7=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=呆，則T=2a(a)0).

(3)若f(x+a)=一3，則T=2a(a>0).

(4)若F(X+H)+F(x)=c,則7=2a(a>0,c為常數(shù)).

10.對稱性

對稱性的三個(gè)常用結(jié)論

2

(1)若函數(shù)/"(x)滿足f(a+x)=fib—6,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-Q一對稱.

b\

(2)若函數(shù)f(x)滿足/"(a+x)=-f(6—x),則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)后一，0)對稱.

(3)若函數(shù)f(x)滿足Ha+x)+fS—x)=c,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)R-,J對稱.

【方法技巧】

1.求函數(shù)值域的一般方法：

①分離常數(shù)法；②配方法；③不等式法；④單調(diào)性法；⑤換元法；⑥數(shù)形結(jié)合法；⑦導(dǎo)數(shù)法.

2.確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)定義法：利用定義判斷.

⑵導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù).

(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)的

單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時(shí)，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性.

3.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略

(1)比較大小.

⑵求最值.

(3)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將“尸符號去掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

(4)利用單調(diào)性求參數(shù).

①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.

②需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,6］上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào).

③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

4.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題

(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值.

(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出.

(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/?(*)±f(—x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得

方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.

(4)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象.

(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值.

3

【核心題型】

題型一：求函數(shù)的定義域

1.（2012?山東?高考真題（文））函數(shù)/（》）=+"一防的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

l_n（x:+l）、

A.[-2,0）U（0,2]B.（-1,0）U（0,2]

C.[-2,2]D.（-1,2]

【答案】B

x+l>0X>-1

【詳解】x滿足（X+1H1

即“xwO.解得一1<矛<0或0<xW,選B

4-x2>0-2<x<2

2.（2021?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)椋?2,0）,則/（2x-1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（T,0）B.（C）C.（0,1）卜會。）

【答案】C

【分析】由已知函數(shù)定義域求得f（x）的定義域，再由2x-l在〃x）的定義域內(nèi)求得丈的范圍即可得答案.

【詳解】函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)椋?2,0）,即-2<x<0,

/.-Kx+Kl,則f（x）的定義域?yàn)椋═l）,

由—1<2x—1<1,得0Vx<1.

???/（2x-l）的定義域?yàn)椋?,1）.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域，屬于中檔題.定義域的三種類型及求法：（1）已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造

使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若

已知函數(shù)/.（x）的定義域?yàn)樾?圓，則函數(shù)f（g（x））的定義域由不等式a〈g（x）W〃求出.

3.（2011?河北衡水?三模（理））已知函數(shù)r■6h?<）的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.人>1B.k>\c.0<k<lD,0<k<l

【答案】c

【詳解】本題考查函數(shù)的定義域及恒成立問題的解法.

因?yàn)楹瘮?shù)I、A6h?9的定義域?yàn)镽，則小_6入+920恒成立.

①當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)/（司="2-6"+9是開口向下的拋物線，不符合題意；

4

②當(dāng)&=0時(shí)，函數(shù)/(x)=9恒滿足/(力2底-6米+920,符合題意

③當(dāng)人>0時(shí)，函數(shù)/(司=履2-6米+9滿足〃力2丘2-6米+920恒成立的條件是公=。2-4收40,即

36公_4x%V0,解得0<%41.

由①②③知實(shí)數(shù)k的取值范圍是04%W1

正確答案為C

題型二：求函數(shù)的值域

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(勸=1鳴/8(為=2》+4,若存在占,々€；,2，使得〃占)=8(%)，

則a的取值范圍是()

A.[-5,0]B.("^，一5][0,-K?)C.(—5,0)D.(―8,-5)<J(0,+oo)

【答案】A

【解析】根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合若存在“X2e1,2,使得f(必)=g(X2),等價(jià)為兩個(gè)集合有公

共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng);KxW2時(shí)，logzgwf(x)<log22,即-1WF(X)W1,則f(x)的值域?yàn)閇-L1],

當(dāng);Wx<2時(shí)，2x；+aWg(x)<4+a,即1+aWg(x)<4+a,則g(x)的值域?yàn)閇1+a,4+a],

=

若存在X1,x2G~>2，使得f(Xi)g(x?),

則[1+a,4+a]n[-l,11^0,

若U+a,4+a]n[-1,1]=0,

則l+a>l或4+a<-1,

得a>0或a<-5,

則當(dāng)[1+a,4+a]n[-1,1]￥0時(shí)，-5WaW0,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-5,0],

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合集合元素關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題

的關(guān)鍵.

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用

其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xwR,用㈤表示不超過》的最大整數(shù)，則)，=[幻稱為高斯函數(shù).例如：1-2.1]=-3,

13.11=3,已知函數(shù)=則函數(shù)y="(x)]的值域?yàn)?)

2+1

5

A.{0,1,2,3)B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

【答案】D

【分析】分離常數(shù)法化簡f(x),根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y=[f(x)]的值域.

【詳解】==+_又2，>0,々€(0,2),1+二e(l,3)

八刃2,+11+2、1+2*1+2'1+2*

??.當(dāng)xW(1,2)時(shí)，尸"(X)]=1；

當(dāng)%￡[2,3)時(shí)，y=[f(x)]=2.

二函數(shù)尸[f(x)]的值域是{1,2}.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題.

6.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x)=^mx2+(m-3)x+\的值域是[。,+8),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】

【詳解】試題分析：設(shè)y=〃￡+(m-3)x+l,由已知條件可知V可取到[(),+?))上的所有值，當(dāng)帆=0時(shí)y=-3x+l

〃?>0rrr\

滿足題意，當(dāng)時(shí)需滿足{4〉。，解不等式得0<〃?41或〃?29,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[0川39，內(nèi))

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)

題型三：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))下列四個(gè)函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是()

A./(力=^^B.f(x)=x3+x2

C./(x)=-x|x|D./(x)=-lg(Jf+l-x)

【答案】I)

【分析】分別判斷四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性與單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】對于A,定義域?yàn)?0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不具奇偶性，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)?⑴=2,/(-1)=0,所以為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)?(1)=-1,/(-1)=1,所以/(x)不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D,定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(_X)=Tg(Jx2+]+x)=lg———=\gUx2+l-x\=-f(X),

6

所以〃x)是奇函數(shù)，

/(x)=-lg(&+1_x)=lg(G+l+x),

令必=Jf+i+x為增函數(shù),

y=lg〃也是增函數(shù)，

所以/(x)=-ig(V?TT-%)是增函數(shù).

故D正確.

故選：D.

8.(2020?寧夏?青銅峽市寧朔中學(xué)高三階段練習(xí)(理))設(shè)函數(shù)/(x)=ln(4+x2)+x2+l,則使得/(x)<〃2x+3)

成立的x的取值范圍是()

A.(—3,+8)B.(—a?,—3)

C.(-3,-1)D.3)(—l,+oo)

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式，可知“X)是R上的偶函數(shù)，且在［0,m)上單調(diào)遞增，從而不等式等價(jià)于N<|2X+3|,

即X2<(2X+3)2,求解即可.

【詳解】當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)y=4+Y為增函數(shù)，且4+犬>0，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知y=ln(4+V)在［0,”。)上單調(diào)遞增，

又函數(shù))，=/+1在［0,y0)上單調(diào)遞增，

所以〃x)=ln(4+Y)+x2+l在［0,內(nèi))上單調(diào)遞增.

函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,/(-x)=ln(4+x2)+x2+l=/(x),

所以/(x)是R上的偶函數(shù)，且在［0,母)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(x)</(2x+3),所以/<|2x+3|,

則X2<(2X+3)2,整理得(X+3)(X+1)>0,解得x<-3或x>—1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

7

9.（2019?福建省長樂第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=log|Sin[2x+?）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

2

f.7i.37r

A.k7r--,k7r+—(Z:GZ)B.k?i-\—,kjrH--(-林-z)

88I88

C.fk7r--,k7r(ZeZ)D.k7t--,k7r+—(kwZ)

88

【答案】D

【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組即可確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)y=log,sin（2x+（1的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：

s加（2工+?）>0

2k7T--<2x+-<2k7T+-

242

則：2人乃<2尤+?wZ）,

據(jù)止匕可彳導(dǎo)：k兀一三<x&kji+Z（kwZ、,

88

故函數(shù)y=log|Sin（2x+?）的單調(diào)遞減區(qū)間為（版■-2,丘（ZeZ）.

故選〃

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解

能力.

題型四：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式

10.（2020?全國?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8）單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿

足/（唾2〃）+，（嚏1“）42”1）,則a的取值范圍是（）

2

A.[L2]B,f0,_C.—',2D.（0,2]

I2」12」

【答案】C

"Sn"log:a）~/'log：-）￡2"）

【詳解】試題分析：函數(shù)」）是定義在火上的偶函數(shù)，.??a,等價(jià)為

/（log2a）+/（-log,o）=2/（k>g2a）￡2/（1））；即/（k>g：a）"（l）?.?函數(shù)/⑴是定義在及上的偶函數(shù)，且

在區(qū)間[a+x）單調(diào)遞增，等價(jià)為/（卜8，4"/（1）.即.?.?[￡陲解

8

-<a<2

得-，故選項(xiàng)為c.

考點(diǎn)：(1)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：(2)對數(shù)不等式.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)

用根據(jù)函數(shù)的奇偶數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng).由偶函數(shù)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則得：『山"：「:二"’，即

Jt卜￡:磯三J,結(jié)合單調(diào)性得：卜。8;司三1將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化一'二陽g.出■1即可得到結(jié)論.

2

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)f(x)為定義在A上的奇函數(shù)，當(dāng)x2O時(shí)，/(x)=log2(x+l)+ar-?+l

常數(shù))，則不等式/(3%+5)>-2的解集為()

A.(-00,-1)B.(-1,+oo)C.(TO,-2)D.(-2,+8)

【答案】D

【分析】根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì),(0)=0求出〃的值，即可得到當(dāng)x上0時(shí)函數(shù)解析式，再判斷其單調(diào)性，

最后根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；

【詳解】解：，(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

2

因?yàn)楫?dāng)xNO時(shí)，/(x)=log2(x+l)+ax-?+1,

所以7(0)=1-。=0,

故a=l,/(x)=log2(x+l)+x2在［0,+O上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知/")在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(1)=2,所以=

由不等式/(3x+5)>-2=/(-1)可得，3x+5>-1,解可得，x>-2,

故解集為(-2,^0)

故選：D.

12.(2022?湖南師大附中高三階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)滿足x)=-/(x),且對任意的大，電目。,小藥,西工々，

都有/(土卜/>2/(1)=2020,則滿足不等式/@一2020)>2(》-1011)的龍的取值范圍是()

X2-Xl

A.(2021,田)B.(2020,+oo)C.(1011,+e)D.(1010,”)

【答案】A

【分析】"%)一/S'>2可化為D(三)-2'」一［/(芭)3J>0,構(gòu)造函數(shù)/(x)-2x,再結(jié)合奇偶性可知該函數(shù)

迎一百x2-x1

y

在R上單調(diào)遞增，又將所求不等式變形，即可由單調(diào)性解該抽象不等式.

【詳解】根據(jù)題意可知，/(當(dāng))一/(為)>2

馬一玉

可轉(zhuǎn)化為卜伍)-2臼-卜(再)-2旬>0,

々一玉

所以/(x)-2x在[0,+8)上是增函數(shù)，又/(-x)=-/(x),

所以/(x)-2x為奇函數(shù)，所以2x在上為增函數(shù)，

因?yàn)?(%-2020)>2(x7011),/(I)=2020,

所以f(x-2020)-2(x-2020)>/(I)-2,

所以x-2020>1,

解得x>2021,

即x的取值范圍是(2021,4w).

故選：A.

[關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是將不等式J(內(nèi))>2化為[/仇)-29[-[“'-2、>0,從而構(gòu)造函數(shù)

-X,X2-X,

fM-2x,再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式.

題型五：奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用

13.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且〃2-x)=〃x),當(dāng)OVxVl時(shí)，

f(x)=x,設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-logsN,則g(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由題設(shè)知g(x)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為/(x)與logsW的交點(diǎn)問題，而〃x)€[0,ll且周期為2,關(guān)于y軸對稱的函

數(shù)；logsN且關(guān)于F軸對稱，當(dāng)-54x45時(shí)有l(wèi)og5|x|e(9,l],畫出(0,+8)的草圖即可確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對稱

性確定總交點(diǎn)數(shù).

【詳解】由題意知：/。)關(guān)于x=l對稱，而g(x)的零點(diǎn)即為〃x)=bg5|x|的根，

又???Ax)在R上的偶函數(shù)，知：/(x)e[0,l]且周期為2,關(guān)于y軸對稱的函數(shù)，而-5Wx45時(shí)國e(—1]且關(guān)

于y軸對稱

/.fw與logsW在(0,-H?)的圖象如下，

10

，共有4個(gè)交點(diǎn)，由偶函數(shù)的對稱性知：在(-8,0)上也有4個(gè)交點(diǎn)，所以共8個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，由函數(shù)的周期性、奇偶對稱

性判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

14.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)/(x)為定義在"上的函數(shù)，函數(shù)/(x+1)是奇函數(shù).對于下列四個(gè)結(jié)論：

①“1)=0;

②/(l-x)=-/(l+x)；

③函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

④函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱；

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】令g(x)=/(x+l),①:根據(jù)g(0)=。求解出/⑴的值并判斷;②:根據(jù)g(x)為奇函數(shù)可知g(-x)=-g(x),

化簡此式并進(jìn)行判斷；根據(jù)y=〃x+l)與y=的圖象關(guān)系確定出/(x)關(guān)于點(diǎn)對稱的情況，由此判斷出③④是

否正確.

【詳解】令g(x)=/(x+l),

①因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(O)=/(O+l)=O,所以/⑴=0,故正確；

②因?yàn)間(x)為R上的奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),所以/(-x+l)=-/(x+l),即=故正確;

因?yàn)閥=〃x+l)的圖象由y=/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的，

又y=/(x+l)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故③錯(cuò)誤④正確，

11

所以正確的有：①②④，

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對稱性的常見情況：

(1)若"X+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

(2)若〃x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(”,0)成中心對稱.

15.(2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試)已知“X)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足/(X+1)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]

時(shí)，=(a>0且〃工1).若〃-1)+〃4)=12,則/(等卜()

A.-8B.8C.4D.-4

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可得/(X)的對稱中心(0,0)，對稱軸x=l,可得4為f(x)的一個(gè)周期，由

穴4)=-〃2)=/(0)=0、=⑴以及〃-1)+〃4)=12列關(guān)于。泊的方程組,進(jìn)而可得x?l,2]時(shí)，外”的

解析式，再利用周期性即可求解.

【詳解】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，

因?yàn)?(X+1)為偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

根據(jù)條件可知f(x+2)=/(—x)=—,f(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即4為f(x)的一個(gè)周期，則/(4)=—〃2)=/(0)=0,

又因?yàn)?(-1)=-/(1)=~(a+份，/(-1)+八4)=12,

所以匚解得上；或『1(舍)，

+/>=0也=-16[b=-9

所以當(dāng)xw[l,2]時(shí)，/(x)=4'-16,

所以《等卜喝"㈢7圖=8,

故選：B.

題型六：函數(shù)周期性的應(yīng)用

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，滿足〃x+2)=/(x),當(dāng)工40,1]時(shí),

/(x)=cos-^x,則函數(shù)y=/(x)TH的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

12

【答案】A

【分析】函數(shù)y=/(x)-W的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化條件為函數(shù)/")周期7=2,當(dāng)

xe[O,l]時(shí)，/(x)=cos]x,根據(jù)周期性可畫出它的圖象，從圖象上觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】V/(x+2)=/(%),則函數(shù)“X)是周期7=2的周期函數(shù).

又???函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且90,1]時(shí)，〃司=3臥，

.?.當(dāng)XG[-1,0)時(shí)，/(x)=/(-x)=cos(-]x)=cos]x,

令/(X)-|A|=0,則函數(shù)y=/(x)—W的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=〃x)和g(x)=W的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

分別作出函數(shù)y=/(x)和g(x)=N的圖象，如下圖，

顯然“X)與g(x)在上有1個(gè)交點(diǎn)，在[0,1]上有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)岡>1時(shí)，g(x)>l,而

所以X>1或X<-1時(shí)，f(X)與g(x)無交點(diǎn).

綜上，函數(shù)y=〃x)和g(x)=|x|的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,即函數(shù)y=〃x)TM的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

故選：A

17.(2019?全國?高三專題練習(xí)(文))定義在R上的偶函數(shù)/(*)滿足：對任意的實(shí)數(shù)x都有/(l-x)=/(x+l),

且/(一1)=2,〃2)=-1.則川)+/(2)+/(3)++八2017)的值為()

A.2017B.1010C.1008D.2

【答案】B

【分析】由偶函數(shù)可得〃r)=/(x),結(jié)合/(l-x)=/(x+l)可得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，于是

/(-1)=/(1)=2,由周期性可得所求的值.

【詳解】因?yàn)?*)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(-幻=/(幻,

因?yàn)閒(1-x)=因x+1),所以/(-x)=/(x+2)=f(x),

f(x)是周期為2的周期函數(shù)，

13

/(-D=/(l)=2,

又/(2)=-1,

于是f⑴+f(2)=l,

/./(1)+/(2)+/(3)++/(2017)=1008(/(1)+/(2))+/(2017)=1008+/(1)=1010.

故選：B.

18.(2009?山東?高考真題(理))已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足f(x-4)=-/(尤)，且在區(qū)間［0,2］上是增函

數(shù),若方程/(x)="(〃?>0)在區(qū)間卜8,8］上有四個(gè)不同的根，則%+々+$+%=一.

【答案】-8

【分析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.

【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)Ax),所以-f(x)=f(-x),/(0)=0,

又/(x-4)=-f(x),所以,f(x)=-/(x-4)=f(x-8),8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，

所以f(x-4)=/(—)=f(x+4),所以x=-2是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)的對稱軸是x=4A-2(keZ),根據(jù)以上

有圖像知，X1+X2=4,X3+X4=-12,所以占+々+七+匕=-8,

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】把函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與方程的根的個(gè)數(shù)結(jié)合起來考查，中檔題.

題型七：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)

19.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(耳=2/_2-+1,滿足〃3+x)=〃3_x),則/T=()

9

A.-B.9C.18D.72

2

【答案】D

【分析】由二次函數(shù)f(x)=2x2-2“x+l的對稱性求出2“=12,即可求出4W.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X)滿足/(3+x)=/(3-x),所以對稱軸為工=曰=3,即2"=⑵

14

故選：D

20.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y=〃x),滿足對任意的feR都有/(f)=〃lT),且

0'(時(shí)，f(x)=-x2,則〃3)+/(

當(dāng)XW的值等于()

1D.-1

A.—B.——c.-4

2345

【答案】C

【分析】利用函數(shù)y=/(x)的奇偶性和對稱性可分別求得“3)和的值，相加即可求得結(jié)果.

【詳解】由于函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)，滿足對任意的feR都有/(f)=/(lT),

則/(3)=/(1-3)=/(-2)=-/(2)=-/(1-2)=-/(-I)=/(I)=/(O)=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與對稱性求函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足/(x+l)+f(3-x)=O,且當(dāng)xw(2,4)

時(shí)，/(x)=-log；(x-l)+〃?，若〃2。；1)-1=〃_]),則旭=()

4343

A.-B.-C.一一D.--

3434

【答案】C

【分析】由/(x+l)+/(3—x)=O和奇函數(shù)推出周期，根據(jù)周期和奇函數(shù)推出了⑴=g,根據(jù)解析式求出/⑴

由-1-，〃=；解得結(jié)果即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以/*)為奇函數(shù)，

因?yàn)閒(x+l)=-f(3-x)=f(x-3),

故函數(shù)/(x)的周期為4,則/(2021)=/(1)；

而/(-!)=一/⑴，所以由八2。：)二1=/(_1)可得/(1)=1；

15

而/(D=-/(3)=logl(3-1)-/?/=-,

23

4

解得m=-].

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

題型八：不等式恒(能)成立問題

22.(2021?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=Vi二7+㈤二，則是恒成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分不必要條件

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出Ax)的最小值，然后可判斷出答案.

【詳解】因?yàn)?。)=/匚7+"^，其定義域?yàn)椴?』

-1+1_Jl-x-Jl+x

所以/'(》)=

2,1-x2jl+x2jl+x->/1-x

所以當(dāng)xe(TO)時(shí)，-。)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(x)<0,/*)單調(diào)遞減

因?yàn)?⑴=/(-1)=及，所以/(X)min=夜

所以由/(X)2a恒成立可得a<72,所以是/?>a恒成立的必要不充分條件

故選：B

-花二，若對于任意的實(shí)數(shù)人不等式

23.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)

4/(x-+恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

3

A.，+B.C.—,+00D.

2°°-?14-?1

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，易知/")單調(diào)遞增且關(guān)于(0,1)對稱，再將不等式轉(zhuǎn)化為

“x-a)4/結(jié)合單調(diào)性求參數(shù)范圍.

(x-l)2,x>1

【詳解】由題設(shè)，f(x)=圖象如下:

16

所以/(》一°)4；/(/+1)=/(5+1),

又/(x)是R上的增函數(shù)，所以上+12x-a對xeR恒成立,

2

所以V—2x+2a+2Z0,則4=4-8(4+1)40,即

故選：A.

24.（2022?廣西?桂電中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù),f（x）滿足/（x-l）=/（3-x）,且Vx?x2e［l,+a>）,

3片々，都有/"“）一、'（?）>0,"3）=3.若對Vxe（l,3）,/（2x—。）—3>0恒成立，則a的取值范圍是（)

西一電

A.(-1,9)B.[-1,7]

C..(9,+oo)D.y,-l][7,+00)

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)單調(diào)性和對稱性的定義可得/.（X）在［l,”）上單調(diào)遞增，在（-」］上單調(diào)遞減且

/（-1）=/（3）=3,由此可將恒成立的不等式化為2x-a>3或2x-a<-l,分離變量后，根據(jù)函數(shù)最值可得。的范

圍.

【詳解】x產(chǎn)乙，都有"'［）二"）>0，'/（X）在［1,依）上單調(diào)遞增；

/(x-l)=/(3-x),\/(x)圖象關(guān)于x=l對稱，\/(x)在(f,l]上單調(diào)遞減;

〃3)=3,"(-1)=/(3)=3；

由/(2x—a)—3>0知：/(2>。)>/(3)或/(2>。)>/(—1),

2x-a>3或2x-aV-1,av2x-3或a>2x+\,

XG（1,3）,.?“4一1或。27,即。的取值范圍為（e,—1］［7,+x）.

故選：D.

25.(2023?全國?高三專題練習(xí))若玉e1,2，使2/一人+1<0成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是

【答案】(2^,+oo)

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求相應(yīng)最值即可得到結(jié)論.

【詳解】由2/-〃+1<0可得，Ax>2x2+1,

因?yàn)閤e《2],所以％>2X+L根據(jù)題意，A>(2X+-|即可，

L2」x【xjmin

設(shè)/(x)=2x+J,易知f(x)在號與單調(diào)遞減，在(孝，2單調(diào)遞增,

所以〃北「彳￥卜20，

所以；1>2&，

故答案為：(2夜,+8)

9

26.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=x+--a(ael?),xe[1,9],則g(x)的值域是.設(shè)函數(shù)

x

f(x)=lg(x)|,若對于任意實(shí)數(shù)“，總存在[1,9],使得成立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是—

【答案】[6—a,10—句(田,2]

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)即可判斷出g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值;

(2)討論。的范圍求出“X)的最大值，即可求出，的范圍.

【詳解】(1)8，(力=]_?=("+3]/),

當(dāng)xe[l,3],g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x?3,9],g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

x=3=6fl

?■?^(Ln-?()->

又g(l)=10—a,g(9)=10—a,，g(x),1m=10-a,

故g(x)的值域是[6-a,10-a].

(2)/(x)=|g(x)I,

當(dāng)|6-同20-4,即心8時(shí)，〃x)gx=|6-a|=a-恒成立，則Y2,

當(dāng)即a<8時(shí),/(力厘=|10-a|=10-亙成立,則Y2,

18

綜上，實(shí)數(shù)，的取值范圍是(-8,2].

故答案為：[6-a,10-a]；(-8,2]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，考查了不等式的能成立問題,

解題的關(guān)鍵是討論。的范圍得出了(x)最大值.

27.(2020?全國?高二課時(shí)練習(xí)(文))已知f(x)=x2,g(x)=(#-，〃，若對“e[-1,3],叫e[0,2],/(占)2g(x?),

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】曰，+8)

4

【分析】根據(jù)％e[-l,3],叫e[0,2],/⑷》&⑷,由/(x)min>g(x)mi?求解.

【詳解】因?yàn)閷Γ[-1,3],3x2e[0,2],/(護(hù)g5),

所以只需/。)?血48(幻*即可，

因?yàn)?(》)=/，g(X)=(g)"-%,

所以/Wmin=/(0)=0>g(X)min=g(2)=；-%

由021-,解得m>-

44

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒能成立問題以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.

【高考必刷】

一、選擇題