高考數(shù)學(xué)（新高考版）一輪復(fù)習(xí)教師用書 第二章 第二講 函數(shù)的基本性質(zhì)

第二講函數(shù)的基本性質(zhì)

1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()

⑴若函數(shù)y=/(x)在口,+8)上是增函數(shù),則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8).

⑵對(duì)于函數(shù)/(x),x￡D,若對(duì)任意X1,X2eD(X1，X2),有(Mx2)\f(X1)/(X2)］>O,則函數(shù)/(X)在區(qū)間D

上是增函數(shù).

⑶若函數(shù)y=〃x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)片“X)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

⑷若函數(shù)片〃x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)片〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.

⑸已知函數(shù)y寸(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若〃刈在(8,0)上是減函數(shù)，則〃x)在(0,+8)上是

增函數(shù).

⑹若7■為函數(shù)片/(x)的一個(gè)周期，那么也是函數(shù)/(x)的周期.

21多選題］下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

11

A.y=%2B.y=2xC.y=logixD.y=-

2*

3.［2019全國(guó)卷II］設(shè)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),/(x)=ex1,貝!］當(dāng)x<0時(shí),/(x)=()

A.ex1B.eX+1

C.ex1D.eX+1

4.［2020河南鄭州高三聯(lián)考］若函數(shù)/(x)=｛，g；(j：；1在(8,Q］上的最大值為4,則a的取

值范圍為)

A.［0,17］B.(8,17］

刀D.［l,+oo)

5.［2020南陽模擬］已知函數(shù)f(x)=x3+lnx,則不等式/(x(x1))</(2)的解集是.

6.［2020四川五校聯(lián)考］已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足〃x+4)=/(x),當(dāng)xG(0,l］時(shí)，(x)=2'+ln

x.則“2019)=.

7.［2020大同市調(diào)研測(cè)試］若函數(shù)/仇)=叱嗇沙在區(qū)間［3,5］上的最大值、最小值分別為p,q,

貝1Jp+q的值為.

考法1確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)

示例h判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:

(l)/(x)=3產(chǎn)(2)/化)=等

(*<0)；

思維導(dǎo)引〉先對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行變形,變成幾個(gè)基本初等函數(shù)的組合形式，再利用各基本初等函數(shù)

的單調(diào)性及單調(diào)性的有關(guān)性質(zhì)來判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可.

解析>(1)/(?=史芳=*2-4+：而函數(shù)y=x2—4及片：在(—8,0)上都是減函數(shù)，則/

(x)=士昔在(8Q)上是減函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)=g^=2x;，且函數(shù)的定義域?yàn)?°°,0)U(0,+°°).........................

而函數(shù)尸2*和，=:在區(qū)間(8Q)上均為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得〃x)=2x|

在區(qū)間(8Q)上為增函數(shù).

同理，可得〃x)=2x(在區(qū)間(0,+8)上也是增函數(shù).............................

故函數(shù)〃?=號(hào)在區(qū)間(8Q)和(0,+8)上均為增函數(shù).

示例2[2017全國(guó)卷0]函數(shù)/仕)=卜化22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.(8,2)B.(8,1)C.(l,+8)D.(4,+8)

解析〉由x?2x8>0海x<2或x>4.因此，函數(shù)/(x)=ln(x22x8)的定義域是(

2)U(4,+8).........................................................................................................

易知函數(shù)y=x22x8在(8,2)上單調(diào)遞減，在(4,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)片Int為(0,+8)上的

增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,

/(x)=ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+8).

答案R

考法2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題角度1比較大小

己知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),/(x)=?4",設(shè)a=/(log30.2),b=/(3°2),c=/(311),

則

A.c>a>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>a>c

思維導(dǎo)引〉利用函數(shù)〃x)為偶函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先把a(bǔ),c對(duì)應(yīng)的自變量的值轉(zhuǎn)

化到(0,+8)內(nèi)，然后比較311,

02

log30.2,3的大小，再判斷〃x)在(0,+8)上的單調(diào)性,即可得a,b,c的大小.

1111

解析〉因?yàn)楹瘮?shù)〃x)為偶函數(shù)，所以a=/(log30.2)=y(log30.2),c=/(3)=/(3)...

值轉(zhuǎn)化到同i個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)去研究)

因?yàn)閘ogj1<Iog30.2<log3a所以2<log30.2<1,

2

所以1<Iog30.2<2,所以3丄1>3>log30.2>l>3°.

因?yàn)槠?0,+8)上為増函數(shù)，*4"在(0,+8)上為増函數(shù)，所以“X)在(0,+8)上為増函數(shù),

所以〃3丄1)>/(log30.2)>/(3。2),所以c>a>b.

答案〉A(chǔ)

命題角度2求解不等式

晶海I⑴[2017全國(guó)卷I]函數(shù)/(刈在(8,+8)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若〃1)=1,則滿足

l</(x2)41的X的取值范圍是

A.[2,2]B.[1,1]C.[0,4]D.[l,3]

⑵已知函數(shù)〃x)=x|x|,xe(1,1),則不等式/(Im)</(W1)的解集為.

解析》(1)：函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，且〃1)=1,

??■/(1)=/⑴=1,由Mx2)q得/⑴9(x2)</(1),

又函數(shù)/化)在(8,+8)上單調(diào)遞減，

1<X241,，1女§.故選D.

2卜1<1-巾<1，

⑵由已知得〃刈=儼則〃?在(1,1)上單調(diào)遞減,.斗1<m2-l<1,解得

l-XZ,0<X<1,211

(m/-l<1-m,

所求解集為(0,1).

命題角度3求參數(shù)的值或取值范圍

示例B已知函數(shù)y=logl(6ax+x2)在[1,2]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

2

解析〉設(shè)u=6ax+x2(u>0),

y=logia為減函數(shù)，

2

???函數(shù)u在口,2]上是減函數(shù)，

???u=6ox+x2,其圖象的對(duì)稱軸為直線x三，

.,?発2,且￡7>0在[1,2]上恒成立.

.?.爐2,解得44<5,

(6-2。+4>0,

二實(shí)數(shù)。的取值范圍為[4,5).

(-x^~cix~S%v1

s拓展變式1(1)函數(shù)〃x)=a"、1'-'是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為________.

\-tX>1

(2)[2016天津高考]己知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(8Q)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)

滿足/⑵。il)>/(夜)，則a的取值范圍是.

考法3求函數(shù)的最值(值域)

x2%<1

6已知函數(shù)f(x)=工;二6；>1則〃x)的最小值是

人I。，人丄f

思維導(dǎo)引〉結(jié)合已知分段函數(shù)，先分別由二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求得各段的最小值，再

進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.

解析〉因?yàn)閥=x2在(-8,0)上單調(diào)遞臧，在0+8)上單調(diào)遞增，所

以當(dāng)X<1時(shí)J(X)min=/(0)=0.............................................................................................................................

...............................................................................................................................................

當(dāng)X>1時(shí),y=X622遅，當(dāng)且僅當(dāng)*=遅時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)f(x)min=2遙6......

又2^66<0........................................................................................................................

所以/(X)min=2遅6.

點(diǎn)評(píng)〉求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最

大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值.

因勤若x引E氫則函數(shù)片4siMx12sinx1的最大值為________最小值為________.

63

令t=sinx,確定t的取值范同乖化為關(guān)于t的二次函數(shù)|T利用單調(diào)性法求解二次函數(shù)的最值

解析〉令tsinx,因?yàn)閤可常］,

所以te［1,1］,................................................................................................................

所以y=/(t)=4t212t1.

因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線t=|,所以當(dāng)te［提1］時(shí)，函數(shù)/⑴單調(diào)遞減,

所以當(dāng)t=決寸,ymax=6；當(dāng)t=l時(shí),Vmin=9.

⑴片懸；(2)y=V-x2-6x-5;

(3)y=x+VTx2;⑷片:骼；

(5?於;(6?島

思維導(dǎo)引噸據(jù)函數(shù)解析式的特征選擇適合的方法求值域.

解析〉⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(cosx,sinx),定點(diǎn)P(2,l),則丫=提的幾何意義是直線PM的斜率.而

動(dòng)點(diǎn)M在單位圓x2+y2=l上.如圖221,當(dāng)直線PM和圓相切時(shí)斜率取得最

值,卜”』=0水岫「=3?所以函數(shù)的值域?yàn)椤尽惆?/p>

圖221

(2)因?yàn)閥=V-x2-6x-5=y/^x4-3)24-4<V4=2,y>0,所以片，%2.645的值域?yàn)?/p>

[0,2].

⑶因?yàn)?*220,所以1仝41,所以可設(shè)x=cosa,a￡[0,n],

貝ijy=cosa+sina=V2sin(a+》

因?yàn)閍￡[0,n],

所以*可評(píng)，

所以sin(*)口y,l],

所以伝in(aq)G[1,V2],

所以原函數(shù)的值域?yàn)閇1,V2].

31313

3J

⑷1分卷常整喈合紡22x+l2'

所以所求函數(shù)的值域?yàn)閧y|ydR且戸|}.

(5)由原函數(shù)整理得(1y)x2+4x+ly=0.

當(dāng)1y=0,即y=l時(shí),x=0；

當(dāng)1庁0,即ywl時(shí),4=164(1，尸20,即(1y)2<4,

解得14”3,所以l<y<3且戸1....................................................

綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,3].

(6)由可得*2=甘?，且y<l...................

由x2zo,知苫々0,解得1斗<1,故所求函數(shù)y=U的值域?yàn)閇1,1).

1-yx+1

自拓展變式匕(1)[2019鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)]高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之

一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)"為:設(shè)XCR,用岡表示不超過x的最大

整數(shù)，則，=岡稱為高斯函數(shù).例如：[2.1]=3,[3.1]=3.已知函數(shù)/(x)=

百言,則函數(shù)y=［T(x)］的值域?yàn)?/p>

A.(1,3)B.(0,2］C.{0,l,2}D.{0,1,2,3}

sin型

x2x>0

(2)已知函數(shù)/()=2X-I+2X+I()'則函數(shù)/(x)的最大值是—

考法4判斷函數(shù)的奇偶性

S)9判斷下列各函數(shù)的奇偶性：

⑴4)山1)后；⑵〃x)=鑑；

%2+%(%<0),

0(%=0),

(-%2+x(x>0).

求函數(shù)的定義域H判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱H判斷"X)與/(X)的關(guān)系門下結(jié)論

解析》(1)由f20得函數(shù)的定義域?yàn)椋?,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(X)為非奇非偶函數(shù).

1-X

(2)由得函數(shù)的定義域?yàn)?l，°)U(0，l)，

〃x)=2^L="

J2

'1-(X2-2)-2x

所以/(x)=號(hào)竽=竽蟲X),

所以/(X)為偶函數(shù).

⑶當(dāng)X<0時(shí)，X>0廁f(x)=(x)2x=(x2+x)=/(x);

當(dāng)x>0時(shí)，x<0,貝?。輋(x)=(x)2x=(x2+x)=f(x).

又〃0)=0,故對(duì)任意的xd(8,+8),都有/(x)=f(x)?

所以/(x)為奇函數(shù).

匂.拓展變式過設(shè)函數(shù)〃x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中

正確的()

A./(x)g(x)是偶函數(shù)B.7(x)|g(x)|是奇函數(shù)

C.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)D.V(x)g(x)|是奇函數(shù)

考法5函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

示例也。⑴［2020湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高三測(cè)試］已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)/

(x)=log2(x)+m/(9二夜,則實(shí)數(shù)m=

A4B.當(dāng)C.V2+1D.V2+l

⑵已知函數(shù)〃x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí)J(x)=x+1,則/(x)的解析式為.

解析，⑴解法一令x>0,則x<0,所以/(x)=log2X+m,因?yàn)椤▁)是R上的奇函數(shù)，所以/(x)=

/W，

所以x>0時(shí),/(x)=/(x)=log2xm,因?yàn)?(；)=&,所以&二log21m,解得m=加+1,故選

D.

解法二因?yàn)?(x)是R上的奇函數(shù)/(；)=&,所以/(1)=企,因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),/(x)=log2(x)+mt

所以V2=log2[(；)]+m,所以m=&+1,故選D.

⑵因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以〃x)=/(x).

當(dāng)x=0時(shí)，有/(0)=/(0),所以/(0)=0.

當(dāng)x<0時(shí)，x>O.f(x)=/(x)=(x+l)=x1.

x4-l,x>0,

所以/(x)=0,x=0,

x-l,x<0.

s拓展變式％[2020陜西省部分學(xué)校摸底測(cè)試]若函數(shù)〃x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、

奇函數(shù)，且滿足〃x)+2g(x)=e*,則()

A./(2)</(3)<g(1)B.g(1)</(3)</(2)

C./(2)<g(1)</(3)D.g(l)<f(2)</(3)

考法6函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用

Kill已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x+3)=六，當(dāng)l<x<3時(shí)J(x)=cos9則/(2

f\.x)3

020)=.

思維導(dǎo)弓小先由已知條件求出函數(shù)的周期，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，把/(2020)轉(zhuǎn)化為/(4),進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為〃2),把x=2代入即可.

解析〉由已知可得/(x+6)=/((x+3)+3)=-i-=：=/(x),故函數(shù)/(x)的周期為6,

,)7W

：.f(2020)=/(6x336+4)=/(4).

???/(x)為偶函數(shù)，.寸⑴=/(1),則〃4)=/(1+3)=去=六寸⑵=cosg=i.V(2020)=

工

2

s拓展變式k5.［2016山東高考］已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),/(x)=x31;當(dāng)1<X<1

時(shí)〃x)=/(x)；當(dāng)x*時(shí)，

〃x*)=/(xJ.則〃6)=()

A.2B.1C.0D.2

考法7函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

風(fēng)112(1)(2019全國(guó)卷H口設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，則

3223

A./(log3i)>/(2-2)>/(2-3)B./(log3i)>/(2-3)>/(2-2)

3223

C./(2-2)>/(2-3)>/(log3；)D./(2-3)>/(2-2)>/(log3i)

(2)(2018全國(guó)卷H］已知/(x)是定義域?yàn)?8,+8)的奇函數(shù)，滿足/(1x)=/(l+x).若/⑴=2,則

/⑴+/⑵+/⑶+...+/(50)=

A.50

解析%1)根據(jù)函數(shù)/(x)為偶函數(shù)可知,/(log3；)=/(log34)=/(log34),V0<2'z<2-3<2%log34,且

函數(shù)〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

.V(2-5)>/(2-5)>/(log3；).

⑵解法一.../(x)是定義域?yàn)?8,+8)的奇函數(shù)，

???/(x)=/(x),fi/(0>0.V/(lx)=/(l+x),

/?/(x)=f(2+x),.'.f(2+x)=f(x),.*./(4+x)=/(2+x)=f(x),.,./(x)是周期函數(shù),且一個(gè)周期為

4,.,./(4)=y(0)=0/(2)=/(1+1)^(11)=

/(0)=0/(3)=^(1+2)=/(12)=/(1)=2,."⑴4/⑵<⑶+7⑷+...4/(50)=12x0+/(49)+〃50)=/

⑴+"2)=2.

解法二因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足/(Ix)=/(l+x),可知〃x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

又/(x)是定義域?yàn)?8,+8)的奇函數(shù)，所以"0)=0,且已知/⑴=2,計(jì)算可得:

/(2)=f(0)=0,

/(3)=/(1)=/(1)=2,

fW=f(2)=/(2)=0,

/⑸=/(3)=/⑶=2,

/(6)=/(4)=/(4)=0,

/(7)=/(5)=/(5)=2,

/(8)=/(6)=/(6)=0......

所以/(1)+/(2)+/(3)+...+f(49)+/(50)=(2+02+0)xl2+2+0=2.

答案1"(DC(2)C

總拓展變式七.已知定義在R上的函數(shù)〃x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x有〃+x4)=〃x)+2&,若函數(shù)/(x1)

的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱/(5)=2,則/(2021)=.

1.B對(duì)于(1),函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)是不同的，故⑴錯(cuò)誤;對(duì)于(2),對(duì)任意

D

X1,X2GD(X1HX2),(X1X2)[f(Xl)/或猊：)“3(%2)，所以,在區(qū)間

上是增函數(shù)，故⑵正確;對(duì)于⑶，若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則/(x+o)=/(x+a),則函數(shù)y=/(x)的

圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故⑶正確;對(duì)于⑷，若函數(shù)y=/(x+b)是奇函數(shù)，則/(x+b)=/(x+b),貝U

函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱，故⑷正確;對(duì)于(5),根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，偶函數(shù)在

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，故⑸正確;對(duì)于⑹，當(dāng)n=0時(shí),仃=0,此時(shí)卄不是函數(shù)”X)

的周期，故⑹錯(cuò)誤.故⑵⑶⑷⑸正確，故選B.

2.BCD對(duì)于幕函數(shù)y=x0\當(dāng)a>0時(shí),y=x0在(0,+8)上單調(diào)遞增，當(dāng)a<0時(shí),y=x0在(0,+8)上單調(diào)遞

減，所以選項(xiàng)A不符合題意，選項(xiàng)D符合;對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且療1),當(dāng)0<a<l時(shí)片爐在

(8,+8)上單調(diào)遞減,當(dāng)。>1時(shí)看爐在(8,+8)上單調(diào)遞增,而選項(xiàng)B中的函數(shù)y=2，可轉(zhuǎn)化

為片(；戶,因此函數(shù)y=2'在(0,+8)上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)B符合題意;對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logox(a>0

且"I),當(dāng)0<a<l時(shí),y=log°x在(0,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>l時(shí),y=log°x在(0,+8)上單調(diào)遞增，因此

選項(xiàng)C中的函數(shù)片logy在(0,+2上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)C符合題意.故選BCD.

2

3.D解法一依題意得，當(dāng)x<0時(shí),/(x)=/(x)=(ex1)=e*+l,選D.

解法二依題意得/(1)=/(1)=(e11)=1e,結(jié)合選項(xiàng)知，選D.

4.C易知/(刈在(8』上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)?⑴=4,/(17)=4,所以。的取值

范圍為[1,17].

5.(1,0)U(1,2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且y=x3與片Inx在(0,+河上都是增函數(shù)，故/

(x)=x3+lnx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則0<x(x1)<2,解得l<x<0或l<x<2.

6.2由/仕)=/々+4)得/(*)是周期為4的函數(shù),故/(2019)=/(4、5051)=/(1),又f(x)為奇

函數(shù)，所以/(1)=/(1)=(2+ln1)=2.

7.6由〃x)=5警=3等,x冃3,5],可得/(x+l)=3翼x口4,4],令g(x)=/(x+l)3=

弟,xG[4,4],可得9仕)為奇函數(shù)雙刈的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)9(?在[4,4]上的最大值為M,

最小值為m,則M+m=0.易知p=M+3,q=m+3,所以p+q=6.

氏1,

1.(1)3<a<2由題意，得|a<0,解得3"42.

(a>-l-a-5,

(2)(1,|)因?yàn)?(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(8Q)上單調(diào)遞增，所以/(x)在區(qū)間

(0,+8)上單調(diào)遞減.又/⑵。%>/(仮)，且/(企)=/(煙，所以/⑷。應(yīng)，則|a