集合-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題01集合

【命題方向目錄】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

命題方向二：集合元素的三大特征

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

命題方向四：集合與集合之間的關(guān)系

命題方向五：集合的交、并、補運算

命題方向六：集合與排列組合的密切結(jié)合

命題方向七：集合的創(chuàng)新定義

[2024年高考預(yù)測】

1、考查兩個幾何關(guān)系的判定或子集的個數(shù)問題

2、常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合

重點考查集合的交集運算，也可能考查集合的并集、補集運算

【知識點總結(jié)】

1、集合與元素

某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，通常用大寫字母A，3，€?，???表示.集合中的

每個對象叫做這個集合的元素，通常用小寫字母a,6，。，.一表示.

2、集合的分類

集合按元素多少可分為：有限集（元素個數(shù)有限）、無限集（元素個數(shù)無限）、空集（不含任何元素）;

也可按元素的屬性分，如：數(shù)集（元素是數(shù)），點集（元素是點）等.

3、集合中元素的性質(zhì)

對于一個給定的集合，它的元素具有確定性、互異性、無序性.

4、常用集合符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N,ZQR

5、元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間用“e”或“C”連接，元素與集合之間是個體與整體的關(guān)系，不存在大小或相等關(guān)系.

6、集合與集合之間的關(guān)系

（1）包含關(guān)系：如果對任意xeA，都有xeB，則稱集合A是集合8的子集，記作顯然AqA，

0GA;

（2）相等關(guān)系：對于集合人、B，如果同時AR3,那么稱集合A等于集合3,記作4=8；

（3）真包含關(guān)系：對于集合A、B，如果A=并且我們就說集合A是集合5的真子集，

記作AUB;

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本運算

（1）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作4B，

即A8={x|xeA,且re8}?

（2）并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與3的并集，記作AB，

即A3={x|xeA,或xe8}.

（3）補集：對于一個集合A，由全集u中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全

集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作Q4，即QA={x|xeU,且％e4}.

8、集合表示方法：列舉法、描述法、Venn圖.

9、集合之間的運算性質(zhì)

（I）交集：AB=BA，AB=ABcB<AA=A，A0=0，A=30AB=A-

（2）并集：AB=BA，A8=A，AB&B，AA=A，Ai0=A，A=3=4B=B-

（3）補集的運算性質(zhì)：Cy（Q,A）=A>Cv0=U.C〃U=0，A（CyA）=0.A（CuA）=U-

【秒殺總結(jié)】

（1）若有限集A中有八個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空

真子集有2"_2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合6的真子集.

（3）AcB=AoAqa==A.

【典例例題】

命題方向一：集合的表示：列舉法、描述法

【通性通解總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例1.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合A={T0,l,2,3,4,5},B={x|x為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記AcB=M,

則（）

A.leMB.2iM

C.D.4任M

【答案】D

【解析】因為5={刈彳為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}={2,3,5,7},又4={-1,0,123,4,5},

則M=Ac3={2,3,5},對比選項可知，1拓M,2eM,3wM,4任M,即D正確，ABC錯誤.

故選：D.

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4={-1,0,1},則集合B中所有元

素之和為（）

A.0B.1C.-1D.72

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令蘇-1=-1,0」,解得，”=0,±1,士夜，

又加一1任A,所以，"=—1，土0,B=夜},

所以集合B中所有元素之和是T,

故選：C.

例3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合人={*|2<》<6"￡[^},則集合A的子集的個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】集合A={x|2<x<6,xeN}={3,4,5},

則集合A的子集有:0,{3},{4}45},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8個,

所以集合A的子集的個數(shù)為8.

故選：D

變式1.（2023?廣東茂名?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)集合A={2,4},8={1,2},集合

M=[z]z=A,yeB、則M中所有元素之和為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】當(dāng)x=2,y=l時，z=2；

當(dāng)x=2,y=2時，z=l；

當(dāng)x=4,y=l時，z=4；

當(dāng)X=4,y=2時，z=2;

所以例={1,2,4},“中所有元素之和為7.

故選：C.

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4=1,44},集合B=卜,wN*且%-1e4，則8=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】A={x|x2<4}=[-2,2bB={x|xeWKx-leA),

故選：C

變式3.(2023?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)直角坐標(biāo)平面中除去兩點41,1)、8(2,-2)可用集合表示為()

A.{(x,y)|xw1,ywl,xw2,yw-2}

「xw1-fxw2

B.{*,y)|?或J

ITl"-2

c.{(x,y)|[(x-I)2+(y-l)2][(x-2)2+(y+2)2]#0)

D.{(x,y)I[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]*0}

【答案】C

【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點A(l,l)、B(2-2),其余的點全部在集合中，

A選項中除去的是四條線x=l,y=l,x=2,y=-2；

B選項中除去的是A(L1)或除去以2,-2)或者同時除去兩個點，共有三種情況，不符合題意；

C選項{(x,y)|[(x-l)2+(y-l)2][(x-2)2+(y+2)2]#0},則*-1尸+(丫-1尸#0且(x-2/+(y+2尸*0,即除去

兩點A(l,l)、B(2,-2),符合題意;

D選項{(x,y)IKx-1)2+(y-1)2]+Kx-2)2+(y+2尸]#0},則任意點(x,y)都不能

[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0,即不能同時排除A,8兩點.

故選：C

命題方向二：集合元素的三大特征

【通性通解總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性.

2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系.

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))集合A={a,b,c}中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么

這個三角形一定不是()

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

[解析】根據(jù)集合中元素的互異性得a*b,b#c,a*c,

故三角形一定不是等腰三角形.

故選：A.

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義集合A*B={z|z=wxeA,ye3},設(shè)集合A={-1,(U},

8={-1,1,3},則A*8中元素的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因為A={T,O,1},8={T,1,3},

所以4*3={-3,-1,0,1,3},

故4*8中元素的個數(shù)為5.

故選：B.

例6.（2023?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合4={4/,2?,B=,若A=B，則實數(shù)

x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2}

【答案】B

【解析】因為4=3,所以—2eA.

當(dāng)x=-2時，2y=l-y,得y=；；

當(dāng)2y=-2時，貝ljx=2.

故實數(shù)x的取值集合為{-2,2}.

故選：B

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)集合A設(shè)-2,-U,2,3},3=3"1嗎|犬鼻€力，則集合8元素

的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】當(dāng)x=±2時，y=l；

當(dāng)％=±1時，y=0；

當(dāng)x=3時,y=log23.

故集合B共有3個元素.

故選：B.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4={2,-5,3.+1,/},B={a+5,9,l-a,4},若Ac5={4},

則實數(shù)”的取值的集合為（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

【答案】D

【解析】集合A={2,-5,3a+l,〃},8={a+5,9,l-a,4},

又AcB={4}3a+l=4或/=4，解得。=1或4=2或。=-2,

當(dāng)”=1時，A={2,-5,4,1},={6,9,0,4},AcB={4},符合題意；

當(dāng)a=2時，A={2-5,7,4},8={7,9,-1,4},Ac8={7,4},不符合題意；

當(dāng)a=-2時，A={2,-5-5,4},3={3,9,3,4},不滿足集合元素的互異性，不符合題意.

=則實數(shù)“的取值的集合為{1}.

故選：D.

命題方向三：元素與集合間的關(guān)系

【通性通解總結(jié)】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是.

例7.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┘褐?=卜|丫=/一1},7'={（匕丫）|犬+丫=0},下列關(guān)系正

確的是（）

A.-2eSB.（2,-2）gTC.-U5D.（-1,1）GT

【答案】D

【解析】因為S={y|y=x2-i}={），|y*T},

所以A、C錯誤，

因為2+（-2）=0,所以（2,—2）eT,所以B錯誤，

又—1+1=0,所以所以D正確，

故選:D.

例8.（2023?新疆?校聯(lián)考二模）集合4=卜白＞1/€2卜8={x|x為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)},記

Ar＞B=M,則（）

A.IGA/B.C.3&A/D.

【答案】D

Q

【解析】由解得一2＜尢＜6,XxeZ,所以A={-l,0,l,2,3,4,5},

而5={2,3,5,7},則A3={2,3,5},即知={2,3,5},

對比選項可知，D正確，而A、B、C錯誤.

故選：D.

例9.（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）設(shè)全集U={2,4,6,8},若集合M滿足aM={2,8},則（）

A.4aMB.C.41MD.6走用

【答案】C

【解析】由題意可得：加={4,6},

顯然4是M中的元素，故ABD錯誤，C正確.

故選：c

變式6.（2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測）已知4={4/-6+1<0},若2e/,且3WA,則。的取值

范圍是（）

（5\（510"|「510、（10-

a-i2'+o°jb-匕旬c-d-a司I

【答案】B

【解析】由題意，22-2a+l<0且32-3a+120，

解得

23

故選：B

變式7.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）已知集合4={-2,-1,1,3,5},集合

B={R-d+5>0,XGZ},則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{-2,-1,1}B,{0,3,5}

C.{0,1}D.{0,2}

【答案】D

【解析】因為8=5|+5<0,xeZ}={x[—石<x<z}={-2,-1,0,1,2),

易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合為{xlxeB且xeA}={0,2},選項D正確，

故選：D

變式8.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①;iR；②近iR；③3|eN；④3|eQ.其中

正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】g是有理數(shù)，也是無理數(shù)，均為實數(shù)，①正確，②錯誤；

|-3|=3,為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.

故選：C.

命題方向四：集合與集合之間的關(guān)系

【通性通解總結(jié)】

I、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2,判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

（1）定義法進行判斷

（2）數(shù)形結(jié)合法進行判斷

例10.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）若非空集合A7,MP滿足：McN=N,MS=P,則（）

A.P三MB.MlP=M

C.N2P=PD.MMN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：N^M,\\]MP=P,可得MqP,則推不出P=故選項A錯誤；

由A/aPuJ■得MlP=M,故選項B正確；

因為Nq〃且M=所以NqP,則=故選項C正確；

由NqMuJ得：Mc與N不一定為空集，故選項D錯誤；

故選：BC.

例11.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4=3-14》<7},B={x|a+2<x<2a-\],若使

8aA成立的實數(shù)。的取值集合為M,則M的一個真子集可以是（）

A.（-8,4]B.（-a）,3]C.（3,4]D.[4,5）

【答案】BC

【解析】由題意集合4={xl-lVx<7},B={x|a+2<x<2a-\],

因為8=A,所以當(dāng)3=0時，a+2>2a-\,即a<3；

當(dāng)8W0時，<-l<a+2<2a-l<7,解得34〃W4,

故M=（-8,4].則M的一個真子集可以是（TO,3]或（3,4],

故選：BC.

例12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合M=k|6W-5x+l=0},集合尸={x|ar=l},若

McP=P,則實數(shù)。的取值可能為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】ACD

【解析】由6V_5x+]=0得（2x—l）（3x_l）=0,解得*=；或彳=：,故"

因為McP=P，所以P=A7,

當(dāng)P=0時，得4=0,滿足題意；

當(dāng)Pw0時，得QWO,則尸={Har=i}={xx=1},

所以，=:或，=）,得a=2或.=3；

a2a3

綜上：a=0或。=2或。=3.

故選：ACD.

變式9.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)Z表示整數(shù)集，且集合M={時機=54-2,AeZ},

N={H”=l（R+8,/eZ},貝lj（）

A.MuN=MB.McN=0

C.電M）-N=ZD.（顓）u（zN）

【答案】AD

【解析】?."=100+8=5x22+5x2-2=5（22+2）-2,由keZ,則2左+2eZ,

即N中元素都是M中元素，有NjM；.

而對于集合M，當(dāng)A=1時，7n=3,故3eM,但3eN,NU"

由NUM,有〃uN=例，A選項正確；VcN=N,B選項錯誤；

由NO",有（顓）0（zN）,.?.（“％）N=Z,（d,M）NHZ,C選項錯誤，D選項正確.

故選：AD.

變式10.（多選題）（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）已知條件p：{x|/+x-6=0},條件q：

{x|xm+l=0},且p是q的必要條件，則機的值可以是（）

A.gB，gC.D.0

【答案】BCD

【解析】設(shè)A={x，+x_6=0}={-3,2},B={x\xm+l=0},

因為〃是4的必要條件，所以

當(dāng)8=0時:山g+1=0無解可得加=0,符合題意；

當(dāng)3工0時，B={2}或3={-3},當(dāng)3={2}時，由2m+1=0解得機=-；，

當(dāng)5={-3}時,由-3m+l=0解得陽=；.

綜上，機的取值為0,-1,1.

故選：BCD

變式11.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)集合

M={x\x=6k+2,keZ],N={x|x=6k+5,keZ\,P={x|x=3k+2,keZ},貝lj（）

A.McN手0B.MDN=PC.M=PD.*pM=N

【答案】BD

【解析】A/={x|x=6fcj+2,kxeZ},N={x\x=6k2+5,k2eZ},P={x\x=3k3+29JeZ},

對A,由6Al+2=6&+5=K=&+耳，等式不成立，故McN=0,A錯；

對BCD,當(dāng)％3為奇數(shù)時，可令。=2&+1,則女3+2=6左2+5；當(dāng)A3為偶數(shù)時，可令出3=2%,則

3%+2=6年+2.

故〃3%=尸，且N=O，M,BD對C錯；

故選：BD

變式12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列關(guān)系式錯誤的是（）

A.0e{O}B.{2}G{1,2}C.&三QD.OeZ

【答案】AC

【解析】A選項由于符號e用于元素與集合間，0是任何集合的子集，所以應(yīng)為0G{0},A錯誤;

B選項根據(jù)子集的定義可知正確；

C選項由于符號G用于集合與集合間，C錯誤；

D選項Z是整數(shù)集，所以O(shè)eZ正確.

故選：AC.

變式13.（多選題）（2023.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)4=卜9_"+14=0},B={x|ar-l=0},若

AB=B,則實數(shù)”的值可以為（）

A.2B.—■C.—D.0

27

【答案】BCD

【解析】集合4={x|*2—9x+14=0}={2,7},B={x|ar-l=0},

又月B=B,

所以3=

當(dāng)a=O時，B=0?符合題意，

當(dāng)"0時，則8={1},所以1=2或4=7,

aaa

解得”=g或八；，

綜上所述，。=0或g或3，

故選：BCD

變式14.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4={xeR|f-3x-18<0},

B=|%eR|x2+ax+tz2-27<0|,則下列命題中正確的是（）

A.若A=B,則。=—3B.若A=3,則a=—3

C.若3=0,則或D.若BUA時，則一6<a?—3或

【答案】ABC

【解析】A={xeR|-3<x<6},若4=5，則。=一3,且°2-27=-18,故A正確.

。=一3時，A=3‘故D不正確.

^AaB,WlJ(-3)2+a-(-3)+a2-27<0Ji62+6a+a2-27<0.解得a=-3,故B正確.

當(dāng)8=0時，/-4(/-27)40,解得。4-6或“26,故C正確.

故選:ABC.

變式15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合4={-1,1,3},8={&+2,a},BaA,則實數(shù)a的值是

【答案】1

【解析】因為A={-l,l,3},B={&+2,a},且BqA,

所以后+2e4,a&A,

因為G+2W2,?>0,

所以々+2=3,解得a=l.

當(dāng)a=l時，8={1,3},滿足要求.

所以a=l.

故答案為：1.

變式16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合〃=卜,2+》-6=0},N={x|/nr-1=0},若NqM,則實

數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為.

【答案】梏4}

【解析】???集合〃={#2+》-6=0},

集合/={2,-3},

,:NqM,N={H/nr-1=0},

:,N=0,或川={2},或'={-3}三種情況,

當(dāng)N=0時，可得機=0；

當(dāng)"={2}時，VN=[x\mx—\=0),/.x=-i-=2,/w=—；

1;m2

當(dāng)"={-3},x=—=-3,/.m-；

「nt3

實數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為,

故答案為：

命題方向五：集合的交、并、補運算

【通性通解總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

例13.(2023?安徽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合A={x|l〃(x-2)<0},

B={x|5-2x)O}(則4B=()

A.|x|2<x<!|B.|x||<x<3!C.jx|l<x<-||D.{x|l<x<2)

【答案】A

【解析】由題意得，ln(x-2)<0=2<x<3,5-2x>0=x<|,

所以A={x[2<r<3},B={x|x<|},

所以AcB={x|2<x<|}.

故選：A.

例14.(2023?寧夏銀川?銀川一中?？级?已知集合人={414x43},B={x|y=ln(4-x2)},則

AD8=()

A.(―8,—1]D[2,+OO)B.[-1,2)

C.[-1,3]D.(-2,3]

【答案】D

【解析】由題意可得：4-x1>0^>B=(-2,2)=>AB=(-2,3]

故選：D

例15.(2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末)已知U=R,集合A={—3,-1,0,1,3},B={x||x-l|>1},則

AIq/=()

A.{—1,0,1}B.{-3,3}C.{-3,—1,3}D.{0,1}

【答案】D

【解析】因為8=卜|k一力1}={》|》<0或x>2),

所以a/8={x|0VxV2},又4={—3,T,0,l,3}

所以AI&B={0,l}.

故選：D.

變式17.(2023?江西吉安?統(tǒng)考一模)已知全集。=R.設(shè)集合A={即。氏。+2)41},8=bJ<1,則

（4A）B=（）

A.{x|-2<x<0}B.{小4-2或x>l}

C.{x[x<-2或x>0}D.{X|XNO}

【答案】D

【解析】由不等式k）g2（x+2）41n0<x+242,

解得A={R-2<x40}.

^,,A=1x|x<-2ngx>0）；

由不等式21\-x

xx

解得8={x|x<（）或x>l}.

”）口8={巾.0}.

故選:D.

變式18.（2023.內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考二模）設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AI^B={1,3},?（AB）={2,4},

則集合B為（）

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】因為全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},

由心（A8）={2,4}知,2eB,4eB；

由AIg3={l,3}知，1/5,3任8,

則集合B={5,6,7,8},

故選：C.

變式19.（2023?貴州?校聯(lián)考二模）已知全集。=1^,集合A={x|kgxM2},3={疝<工<5},則圖中陰影

部分表示的集合為（）

A.{x|x45}B.{x|0<x<l}C.{x|x44}D.{x|l<x<5}

【答案】B

【解析】由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為(a5)riA,

因為Iog2x42=log24,所以A={x[0<x44},

因為3={x[l<x<5},所以年8={小41或xN5},

所以（68）cA={x|0<x41}.

故選：B.

變式20.（2023?全國?高三專題練習(xí)）我們把含有有限個元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集

合A中元素的個數(shù).例如,A={a,b,c},則card（A）=3.容斥原理告訴我們，如果被計數(shù)的事物有A,B,C三

類，那么，card（A_B_C）=

cardA+cardB+cardC-card（/IB）-card（J?C）-card（AC）+card（ABC）.某校初一四班學(xué)生46人，

寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游

泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？（教材閱讀與思考改編）

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】設(shè)集合A={參加足球隊的學(xué)生},

集合8={參加排球隊的學(xué)生.},

集合C={參加游泳隊的學(xué)生},

則card（A）=25,card（3）=22,card（C）=24,

card（A5）=12,card（8C）=8,card（AC）=9

設(shè)三項都參加的有x人，即card（ABC）=x,card（AlBC）=46,

所以由card（ABC）=cardA+card/?+cardC-card（AB）-card（BC）-card（AC）+card（ABC）

即46=25+22+24-12-8-9+x,

解得x=4,

三項都參加的有4人，

故選：C.

變式21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，/為全集，M、P、S是/的三個子集，則陰影部分所表示的

集合是（）

A.{MP)SB.(MP)S

C.(McP)cSD.(McP)uS

【答案】C

【解析】由Venn圖可得，集合表示M,P的交集與S的補集的交集，即(McP)cK

故選：C

命題方向六：集合與排列組合的密切結(jié)合

【通性通解總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法

例16.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知集合X={1,2,3},匕={1,2,3,,”},(〃eN*),設(shè)S?={(?,/?)1a

整除匕或〃整除a，aeX,heYn},令/(?)表示集合5“所含元素的個數(shù)，則“2022)=

【答案】3709

【解析】/(2022)表示集合Sm2所含元素的個數(shù)，

其中aw{l,2,3},Z>e{1,2,3,,2022},

b整除。的有(1,力(2,1),(3,1),(2,2),(3,3)共5個.

。整除b的：

(1)1整除匕的有2022個；

2022

(2)2整除b的有不二=1011個；

(3)3整除人的有20笠22"=674個.

重復(fù)的有。，1)，(2,2),(3,3)共3個.

所以“2022)=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案為：3709

例17.(2023?上海?高三專題練習(xí))設(shè)非空集合。aM,當(dāng)。中所有元素和為偶數(shù)時(集合為單元素時和

為元素本身)，稱。是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7},則其偶子集。的個數(shù)為.

【答案】63

【解析】集合。中只有2個奇數(shù)時，則集合Q的可能情況為：{L3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、

{5,7},共6種，

若集合。中只有4個奇數(shù)時，則集合Q={1,3,5,7},只有一種情況，

若集合Q中只含1個偶數(shù)，共3種情況：

若集合Q中只含2個偶數(shù)，則集合Q可能的情況為{2,4}、{2,6}、{4,6},共3種情況；

若集合Q中只含3個偶數(shù)，則集合Q={2,4,6},只有1種情況.

因為。是M的偶子集，分以下幾種情況討論：

若集合。中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合。的個數(shù)為7；

若集合。中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，共7種；

若集合Q中的元素是2個奇數(shù)1個偶數(shù)，共6x3=18種；

若集合。中的元素為2個奇數(shù)2個偶數(shù)，共6x3=18種；

若集合Q中的元素為2個奇數(shù)3個偶數(shù)，共6x1=6種：

若集合。中的元素為4個奇數(shù)1個偶數(shù)，共1x3=3種；

若集合。中的元素為4個奇數(shù)2個偶數(shù)，共1x3=3種；

若集合。中的元素為4個奇數(shù)3個偶數(shù)，共1種.

綜上所述，滿足條件的集合。的個數(shù)為7+7+18+18+6+3+3+1=63.

故答案為：63.

例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))對任何有限集S,記p(S)為S的子集個數(shù).設(shè)例={1,2,3,4},則

對所有滿足AUBUM的有序集合對(A,B),p(A)p(B)的和為

【答案】2401

【解析】當(dāng)8為〃(0<n<4)元集時，則p(B)=2”，且B集合的個數(shù)為

又AU8

則①A為〃元集時，則0(A)=2〃且A的個數(shù)為黑

②A為〃-1元集時，則P(4)=2"，且A的個數(shù)為CM

以此類推

③A為。元集時，p(A)=2。且A的個數(shù)為

則p(A)p(/?)=C：2〃(C：2°+C,2+...+C'：2")

=Cf2"(l+2)”

=C：6"

當(dāng)〃依次取0,1,2,3,4時

p(A)p(5)的和為C；6°+C：6+...+C：64=2041

故答案為：2401.

變式22.(2023?高三課時練習(xí))從集合M={1,2,3,,10}選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)的任兩個

數(shù)之和都不等于11，則這樣的子集有個.

【答案】32個;

【解析】集合{1,2,…,10}中和是11的有：

1+10,2+9,3+8,4+7,5+6,

選出5個不同的數(shù)組成子集，就是從這5組中分別取一個數(shù)，而每組的取法有2種，

所以這樣的子集有：

2x2x2x2x2=32

故這樣的子集有32個

故答案為：32

命題方向七：集合的創(chuàng)新定義

【通性通解總結(jié)】

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意.讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方

法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”,

要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.

例19.（2023?湖南長沙?高三校聯(lián)考期中）若一個非空數(shù)集F滿足：對任意.力€F，有a+b,a-b,

cibeF,且當(dāng)bwO時，有fwF,則稱尸為一個數(shù)域，以下命題中：

b

（1）0是任何數(shù)域的元素；（2）若數(shù)域P有非零元素，則2021CF；

（3）集合P=*|x=3匕ZeZ｝為數(shù)域；（4）有理數(shù)集為數(shù)域；

真命題的個數(shù)為

【答案】3

【解析】（1）當(dāng)時，。一。=0屬于數(shù)域，故（1）正確，

（2）若數(shù)域尸有非零元素，則?=leF,

b

從而l+l=2wR2+lwf,2020+1=2021GF,故（2）正確；

（3）由集合P的表示可知得x是3的倍數(shù)，當(dāng)a=6,力=3時，？=。=2史P,故⑶錯誤，

b3

（4）若尸是有理數(shù)集，則當(dāng)。，bwF,貝!la+b,a-b,而eF,且當(dāng)。#0時，feF”都成立，故（4）

b

正確，

故真命題的個數(shù)是3.

故答案為：3

例20.（2023?全國?高三專題練習(xí)）對于非空集合A=?…20,i=l,2,3,ri）,其所有元素的

幾何平均數(shù)記為E（A）,即E（A）=&/出??%.若非空數(shù)集8滿足下列兩個條件：①BA：②

￡（B）=E（A）,則稱B為A的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合｛1,2,4,8,16｝的“保均值真子集”有一個.

【答案】6

【解析】因為集合A=｛1,2,4,8,16｝,則E（A）=01x2x4x8xl6=4,

所以,集合｛124,8,16｝的“保均值真子集”有：｛4｝、｛1,16｝、｛2,8｝、｛1,4,16｝,

｛2,4,8｝,｛1,2,8,16｝,共6個.

故答案為：6.

例21.(2023?全國?高三專題練習(xí))非空集合G關(guān)于運算十滿足：(1)對任意a、b\G,都有a十力eG；

⑵存在eeG,使得對一切aeG,都有。十e=e十a(chǎn)=a,則稱G關(guān)于運算十為“融洽集”.現(xiàn)給出下列

集合和運算：

①G=｛非負(fù)整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；

②。：｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法：

③G=｛平面向量｝,十為平面向量的加法；

@G=｛二次三項式｝,十為多項式的加法；

⑤G=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法

其中G關(guān)于運算十為“融洽集”的是.(寫出所有“融洽集''的序號)

【答案】①③

【解析】對于①，G=｛非負(fù)整數(shù)｝,十為整數(shù)的加法；當(dāng)。，6都為非負(fù)整數(shù)時，。，方通過加法運算還是

非負(fù)整數(shù)，且存在-整數(shù)OeG有0+a=a+0=a,所以①為“融洽集”；

對于②，G=｛偶數(shù)｝,十為整數(shù)的乘法，由于任意兩個偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿足條件(1),但不存在偶數(shù)

。，使得一個偶數(shù)與e的積仍是此偶數(shù)，故不滿足條件(2),故不滿足“融洽集”的定義；

對于③，G=｛平面向量｝,十為平面向量的加法；若",匕為平面向量，兩平面向量相加仍然為平面向量，

且存在零向量通過向量加法滿足條件(2)；所以③為“融洽集”：

對于④，G=｛二次三項式｝,十為多項式的加法；由于兩個二次三項式的和不一定是二次三項式，如

火2+法+c與-以2一法+c的和為2c，不滿足條件(1),故不滿足“融洽集”的定義；

對于⑤，G=｛虛數(shù)｝,十為復(fù)數(shù)的乘法；兩個虛數(shù)相乘得到的可能不是虛數(shù)，例如：=故不滿足“融

洽集''的定義；

故答案為：①③

變式23.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)集合A±R,如果/€尺滿足：對任意。>0,都存在xeA,使得

0<|x-^|<?,那么稱%為集合A的聚點，則下列集合中：

n1

(l)Z+uZ-;Q)R*2R-;(3)｛-~\neN*｝-(4)｛一

〃+1n

以0為聚點的集合有(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號)

【答案】(2)(4)【解析】對于(1)：當(dāng)。=1時，0Vx-0|<lo-l<x<0或0<x<l,

顯然｛x|-1<XV0或O<x<l｝c(ZPZ-)=0,

即不存在XG(Z+DZ-),使得0vx-0|<l,故⑴錯誤；

對于(2)：：0小-0|<。=-。<》<0或0cx<4,

此時令｛x|一"x<0或0cxea｝=(R',

故對任意a>0,都存在xe(TuR-),使得0<|x—q<a成立，故(2)正確;

Yl||

對于⑶：因為/一加萬

所以當(dāng)a=5時，0<|x-0|<—<=>--<x<O?JcO<x<^,

1In

此時{x|——vx<0或0vx<—}c{------1neN*}=0,

22n+l

n1

即不存在xH—MeN*},使得OVx-OK；；,故(3)錯誤；

對于(4)：；0<|x-0]<ao-a<x<0或0<x<a,

故當(dāng)時、即">1時，總有2e(x|-a<x<0或0<x<a},故(4)正確.

nan

故答案為：(2)(4).

變式24.(2023?全國?高三專題練習(xí))給定數(shù)集M,若對于任意a、beM,有a+b?M,且

則稱集合〃為閉集合，則下列所有正確命題的序號是：

①集合"={-2,-1,0,1,2}是閉集合；

②正整數(shù)集是閉集合；

③集合M=刨"=3七ZeZ}是閉集合；

④若集合4、4為閉集合，則AU4為閉集合.

【答案】③

【解析】對于①，一2+(-1)=-3,—3生所以錯誤；

對于②，因為正整數(shù)減正整數(shù)可能不為正整數(shù)，所以錯誤，

對于③，當(dāng)〃={"|"=3匕AeZ}時，設(shè)”=3匕,匕=3區(qū),匕,42wZ,

則a+)=3(K+e)eM,a—b=3(%—&)eM,所以集合〃是閉集合，所以正確；

對于④，設(shè)A={〃>?=3發(fā),keZ},A?={n]〃=2%,左eZ},

由③可知，集合4,4為閉集合，2,3?4。4),而(2+3)近4口4),故不為閉集合，所以錯

誤.

故答案為：③.

變式25.(2023?全國?高三專題練習(xí))在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為

因，即因={4〃+布eZ},無=0,1,2,3.給出下列四個結(jié)論.

①2021叩]；②—1?1]；③Z=[0]31]32]33]；④“整數(shù)屬于同一“類””的充要條件是““一6?0]”.

其中正確的結(jié)論是(填所有正確的結(jié)論的序號).

【答案】①③④

【解析】對于①，?,2021=4x505+1,則2021e[l],①正確;

對于②，-l=4x(-l)+3,則一le[3],②不正確；

對于③，任意整數(shù)除以4,余數(shù)可以且只可以是01,2,3四類，

則2=網(wǎng)51]52]。[3],③正確；

對于④，若整數(shù)4、b屬于同一“類”，

則整數(shù)。、b被4除的余數(shù)相同，可設(shè)。=4%+%，b=4n2+k,其中勺、n2eZ,Ae{0,l,2,3},

則a-Z?=4(〃]一〃2),故a-bw[0],

若。-爪[0],不妨令。=4〃|+勺力=4〃2+42(4，々eZ,kt,k2e(0,1,2,3)),

貝|」“一。=4(4_%)+(4—七),

顯然％2GzM-4e{0,1,2,3},于是得/一周=0，?4=&，即整數(shù)地屬于同一“類”，

「整數(shù)仍屬于同一“類””的充要條件是“。e網(wǎng)”，④正確.

???正確的結(jié)論是①③④.

故答案為：①③④.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)集合A={(x,y)k，ywN",y。},8={(x,y)|x+y=8},則集合Ac8

中元素的個數(shù)為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】因為集合A={(x,y)k，yeN",y2x},B={(x,y)|x+y=8},

所以集合ACS中元素為(4,4),(3,5),(2,6),(1,7)，共4個.

故選：C

2.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模)已知集合人={30<*<16},8={田-4<4丫<16},則Au3=()

A.(-1,16)B.(0,4)C.(-1,4)D.(-4,16)

【答案】A

【解析】因為A=(0,16),8=(-1,4),所以AUB=(T,16).

故選:A.

3.(2023.新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合4=卜2,-3,—1,0,1},B={x|x>0),則4B=()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】由人={-2,-3,-1,0,1},B={小20}知48={0,1}.

故選：D

4.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知集合5={心=2〃+1,〃€2},T={x\x2-x-6<0