答案南通市高三二模數(shù)學模擬試題

南通市2023屆高三第二次調(diào)研測試

數(shù)學模擬試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.B2,B3.A4.B5.B6.B7.B8.C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

9.ACD10.ABD11.ABC12.BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-14.-4215.[Λ-,+∞)16.—

22e26

四、解答題：本題共6小題，共70分.

解：(1)證明：VPA=PC,。為/C中點，LpD,

又?.F4BC是等邊三角形,BA=BC,：.AC1BD,

?;BDCPD=D，BD,尸。U平面尸ZM,二ZC_L平面尸ZM,

?.?ZCu平面P/C,...平面PZC，平面PZM；

(2)?.?AZBC是等邊三角形，4C=2,.?.AN8C的面積為百，

設三棱錐尸一48。的底面/8C上的高為肌則腺，Μ=?lχ百XG=Y1√7=①，解得=’，

PTBC3362

?.?△R4C為等腰直角三角形，PA=PC,AC=2,:.DP=\,.?.ΛPDB=30°>

作Po_LZ)8交于。，則PO=',.?,OO=走，

22

又?.?80=6,二。是的中點，

以。為坐標原點，08所在直線為X軸，在平面/8C中過。作8。的垂線為y軸，

O尸為Z軸，建立空間直角坐標系，

4(一等,一1,0)，B吟,0,0),尸(0,0,；),C(-等,1,0)，

.?./ip?(?,l,?),pfi?(?,θ,-?-),pe?(-?,l,?).

設萬=(x,y,z)是平面PNB的一個法向量,

-VD?/?1

n?AP=——x+γ+-z=Oλ

則，:2,取x=l,↑?π=(l,-√3,√3),

h-PB=~^-x--z=O

22

設平面PBC的一個法向量玩=(a,b,c),

in-PB=-^-a--c=O

22

則<f-,取α=l,得玩=(1,J5,JJ),

m?PC=---—a+b--c=O

I22

--比,萬1.ITT4Λ∕3

二.cos<m,n>=————=—,.?.sin<玩,萬〉=Jl=------.

∣m∣?∣“l(fā)7V77

故二面角4一尸8-C的正弦值為勺m.

7

(〃+l)a“_(2〃+4)a“+i("+l+l)j:1(〃+1)勺

18.(I)M:

〃2(〃+1)2(〃+1)?~~T-nr~

又0+?%=!，數(shù)列｛("[?冊｝是首項為公比為:的等比數(shù)列,

1~2n~22

從而()則巴

(〃；？%=3",.n∈N*

(∕7+l)?2n

n2nnnn

(2)證明:-------------=-----------<—d------

(∕7+1)?2ΛH+12〃TT

設10-+品則口=*尹n

+Fr,

11

1111H?w+1

-2---------n---=?---n--+--2--

兩式相減得/7；=]+尹+…+斤一尹=一],〃+l?z∕+l

h,EC/7+2,,ɑC及+2

從而北=2——>故S,,<2一一—.

19.解：⑴X可取0,1,2：Y可取0,1,2,

則八Λ(>>=0)=?-∣,P(X^>>

2×12

1)P(X≡1)

339

P(X=1,y=2)=P(X=2,y=1)=P(X=2,y=2)=o,

故(X,Y)的聯(lián)合分布列為:

0]2

O

22

1O

99

1

25OO

(2)當左+a〉〃時，P(X=左,y=∕w)=o,

J.一4

于是以=∑P（X=攵，y=加）=∑P（X=k,Y=m）

M=OZW=O

CkCm

―-

ZM=O?ιn=0

因此2帆EyG）電，

設Z服從二項分布可，/），則E517.'.-"

20.證明：（1）由正弦定理一2—=」一，所以"g=2,

sin5sinCsinCc

由余弦定理可得COSB="2+'―"，cosC=a^+b~~c^，

2ac2ah

a2^c2-h2

U--------------1

所以由已知可得------?--=-,即2,八，,一=2（∕√-r?-∣，口，,-,W,-“，

a-?-b-cc

a---------------

2ah

因為b=≠c,所以∕=6+C;

（2）由已知得，SinB=sin2C=2SinCCoSC,

bc

又由正弦定理-----=-----可得，b=IccoiC,

sinBsinC

因為COSC<1，所以b<2c,

b+C

由（1）知，Q2=6+C,則Q=------，

a

又由正弦定理一L可得，

sιn4sin5SinC

sinZ/÷sinCNinU÷sinCsinD÷κinC

sin.4=M∏(∕i+C)=sin?CONC+con/ysinC

_2winCco?C+sinCSiilC(2∞βC+1)1

2sinCcobCCaBr+{2ΓOA2C—l)rinC(?kx?sC—I)HiIIr2<x*C—I

h

又b=2ccosC,則C=--------，

2cosC

將α=~~J以及C=代入∕=b+c可得，

2cosC-12cosC

(-JY="±=∕+2呼)

?2COH(?β1/2coHC\2conC/

整理可得，fc=(π≡?)?2cosC

I÷2n*iC)?t'

4I

因為8=2C,A+B+C=π,所以O<C<一，則一<cosC<1,令/=2CoSC,則1<∕<2,

22

當1<∕<2時，/"n恒成立，所以Ifl在，：1.2ι上單調(diào)遞減.所以/s?/2i;，即6>一.

33

21.解：(1)由題意得，2獷了^=4,26=4,解得〃=4，/=8,

22

所以橢圓E的方程為—x+?v-=1;

84

(2)由題意得，工(2,0),顯然/的斜率不為0,

y

設直線/的方程為X=)+2,M(xi,yi),N(x2,y2),

￡+Zi=I

聯(lián)立184,消X整理得(『+2)/+4卬-4=0,

X=W+2

4/4

?M/+UiH+2)“，弘+為=-771'y,y2=~~tr+2,

由題意知，M,N不在X軸上，則分別作E在點M,N上的兩條切線的斜率存在,

'xyx+2yyy=8y

聯(lián)立過M,N的切線方程整理得<l2l22

x2ylx+2yly2y=8yl

z

相減可得（XM-X2凹）x=8（%-弘）,即[（0l+2）%一?2+2）y,]x=8（%-弘），

化簡可得X=4,代入遼+$上=1,可得丁="生=上迎!上0=-2人故尸(4,一2。.

84

設MN的中點為。(qj°),則y°="12=-工，々=_三+2=號，

4-2t

故。(-『5—+2，7-+-2，)，

-It

因為k°Q=，[2=_Q"，k0p=-^~=-3,所以%。0=自戶，所以。，Q>P三點共線，

Z2+2

又過用作平行于/的直線分別交尸M,PN于A,B,易得APMNs&PAB,

取/8中點R,根據(jù)三角形的性質(zhì)有R,O,0,尸四點共線,

向+函2|函2|而I2x2

結(jié)合橢圓的對稱性有Q=?

I函-?OP?~?OP?XPt2+2n

?OA+OB?

當且僅當f=0時取等號,所以∈（0,l]

?OP?

22.解：⑴/(x)定義域為(0,+8)，/"⑴的導函數(shù)廣⑶一」，

X

當α,0時，/(x)=α-L<0,故/(x)在(0,+8)單調(diào)遞減；

X

當α〉0時，由/'(x)=α—>0得：X>—;由_/'(.])=?！?lt;0得0<x<一;

XaXa

于是Ax)在(0,工)單調(diào)遞減，在(工,+8)單調(diào)遞增，

aa

綜上，當40時，/(x)在(0,+8)單調(diào)遞減;

當?！?時，f(x)在(0,L)單調(diào)遞減，在(工,+8)單調(diào)遞增.

aa

(2)∕(x)是χ∈[e2,+oo)上的幾何上凸函數(shù)，證明如下：

由(1)可知，當α=e時，f(x)在(02)單調(diào)遞減，在(I+8)單調(diào)遞增.

ee

故/(X)…fd)=e?1-ln1=2>0,故/(x)為連續(xù)正值函數(shù)，

eee

由于/(JXIX2)=eJxvTnJXlX2，/(xι)-f(x2)=(exι-?nxι)(ex2-ln?x2)，

要證/(x)是[e2,+□o)上的幾何上凸函數(shù).

2

需證/(歷E)…歷了7區(qū)7,spffi[∕(√v^^)]..∕(χ1)?∕(χ2)，

r,r

(eJx]X?-InJXlX2)2=e-χ∣X2-2ey∣X?X2In加也il???∣■∣''.r∣In.r∣:■In..ι-

2

ex↑x2-β(xlInx2+x2Inxl)+Inx1?Inx2,

則」、j1，「一：?、，1,H、11,*11j.'，1In>i..i?Iin1-β(xInx+xInx),

4