2024屆湖北省襄陽市高中數學高二年級上冊期末試題含解析

2024屆湖北省襄陽市優(yōu)質高中數學高二上期末經典試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構

成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓Q:尤2+⑶+3）2=9,圓心:（無+4）2+丁=4,圓S：（無一4）2+V=4,若

過原點的直線/與圓L、S均相切，貝！1/截圓。所得的弦長為（）

A3B.2

3

C.-D.1

2

2.等差數列｛%,｝的通項公式4=2〃-1,數列2,其前〃項和為S”，則S3,,等于（）

anan+l

Inn

A.----B.----

2n+l2n+l

6n3n

C.----D.----

6n+l6n+l

3.礦山爆破時，在爆破點處炸開的礦石的運動軌跡可看作是不同的拋物線，根據地質、炸藥等因素可以算出這些拋物

線的范圍，這個范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示.已知某次礦山爆破時的安全拋物線

石:*=—2加+4（。＞0）的焦點為歹（0,-萬），則這次爆破時，礦石落點的最遠處到點R的距離為（）

B.2

5

C.2&D.-

2

4.已知A(—1,1,2),5(1,0,-1),設O在直線AB上，且AD=2DB，設g+31+制，CDLAB,貝!M的

值為()

1111

A.—B.——

66

1

C.—D.-

23

5.已知在一次降雨過程中，某地降雨量V（單位：mm）與時間f（單位：min）的函數關系可表示為y=&5F,則

在/=40min時的瞬時降雨強度為（）mm/min.

11

A.—B.-

24

C.20D.400

6.若復數z滿足z=y-（其中i為虛數單位），則目=（）

+i

1

A.-B

4

C.2D.4

7.將直線2x-y+4=0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓V+/+2X—4尸0相切，貝?。輰崝?值為（）

A.-3或7B.-2或8

CO或10D.1或11

8.在下列函數中，求導錯誤的是（）

A./（x）=x2-1,r（x）=2xB.g(x)=xlnx,g'(x)=ln%+—

C./2（X）=—D.^(x)=xsinx+cosx,0(x)=xcosx

h（X）=--r

9.已知點A、5是拋物線C：/=4x上的兩點，且線段AB過拋物線。的焦點/，若A3的中點到>軸的距離為3,

則|明=（）

A.3B.4

C.6D.8

10.當我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了。

A.三點確定一平面B.不共線三點確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面D.兩條平行直線確定一平面

11.棱長為1的正四面體的表面積是()

C.亨D.石

12.以橢圓二+匯=1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是()

34

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.直線/:如—y—3相+1=0與圓O：x2+y2=i6相交于A,B兩點,則的最小值為.

14.函數/(x)=d+ainx在％=1處的切線與y=2x+3平行，則。=.

15.在等比數列｛4｝中，若%=1,o4=—,則數列｛44+1｝的公比為.

64

16.某班50名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示.根據頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線C：/=4y的焦點為尸，過F的直線與拋物線C交于A,B兩點,點M在拋物線C的準線上,

MF.LAB,SAAFM—^S^BFM

（1）當）=3時,求|A用的值;

（2）當7G[g,2]時，求+的最大值

18.（12分）如圖，正方體A3CD—的棱長為2,點E為8區(qū)的中點.

（1）求直線A/與平面AAE所成角的正弦值；

（2）求點A到平面D.AE的距離.

19.（12分）設數列｛。,｝的前”項和為5“=2〃2,也｝為等比數列，且4=4，4（%一4）=4

（1）求數列｛4｝和也｝的通項公式；

（2）設G=￡，求數列｛g｝的前〃項和7；

r2v21

20.（12分）已知橢圓C：不+2=1（?！?〉0）的左、右焦點分別為八，Fi,離心率為不，橢圓C上點M滿足

|M^|+|M^|=4

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）若過坐標原點。（0,0）的直線/交橢圓C于P,0兩點，求線段尸。長為亞時直線/的方程

21.（12分）已知拋物線。:必=22X（。＞0）的焦點為口，點M在拋物線。上，且加點的縱坐標為4,MF=*

（1）求拋物線C的方程;

(2)過點Q(0,-4)作直線交拋物線。于A,3兩點，試問拋物線。上是否存在定點N使得直線N4與的斜率互為

倒數？若存在求出點N的坐標，若不存在說明理由

22.(10分)在一ABC中，(2b-6"cosA=GacosC

(1)求NA的大??；

(2)若c=-fib，a=2.求ABC的面積

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】設直線/：y=履，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長

【詳解】設過點。的直線八丁=依.由直線/與圓L、圓S均相切，得方14WkI=2,解得左2=13⑴.設點。到直線/的

3

距離為4,則4=(2).又圓Q的半徑度=3直線/截圓。所得弦長4=2*-dj,結合(1)(2)兩式，解得4=3.

J1+左2

2、D

V1

【解析】根據裂項求和法求得一再計算邑〃即可.

2n+l

01111

【詳解】解：由題意得S〃=——+-----+------++-------

〃1,02a?,

1111

----------1------------1------------\~+

1x33x55x7(2〃一1)(2〃+1)

11

+(-

2〃一12〃+1

-----)=-----

2n+l2〃+1

3n

所以83“

6n+l

故選：D

3、D

【解析】根據給定條件求出拋物線E的頂點，結合拋物線的性質求出p值即可計算作答.

【詳解】依題意，拋物線E的頂點坐標為(0,一2),則拋物線的頂點到焦點R的距離為￡=一2+彳3，p>0,解得。=4,

p2〃2

于是得拋物線E的方程為爐=-8丁+4,由>=。得，%=±2,即拋物線E與x軸的交點坐標為M(±2,0),

因此，|ME|=J(±2)2+g)2=g,

所以礦石落點的最遠處到點R的距離為°.

2

故選：D

4、B

【解析】設。(X，y，Z),根據AD=2OB求出。d，10)，再根據得/夯力=2?—幻+7—3(—1—2)=0,解

方程即得4的值.

【詳解】設。(x,y,z),貝!]\=(x+Ly—1,z—2),：=(2,—1,—3),*=(1—%,—y,—\—z),

ri

x+l=2(1-x),"3'

???|力=2；,...K-1--~2y,：.<

.,.〃(：，'，0),存尸(’-a,一兒，—1—4),

w=2(—A)+2—3(—1—A)=0,：.

Atl

故選：B

【點睛】(1)本題主要考查向量的線性運算和空間向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推

理能力.(2)。=(%,%,Z]),6=(x2,y2,z2),aLb=+%%+z?=0.

5、B

【解析】對題設函數求導，再求f=40min時對應的導數值，即可得答案.

【詳解】由題設，y'=；.檔，則川川=《.居=%

所以在，=40min時的瞬時降雨強度為工mm/min.

4

故選：B

6、B

【解析】利用復數的除法化簡復數z,利用復數的模長公式可求得結果.

1Gi=3」.

【詳解】z=ZT(V3+i)(73-i)441

故選:B

7、A

【解析】根據直線平移的規(guī)律，由直線2x-y+%=0沿x軸向左平移1個單位得到平移后直線的方程，然后因為此直線

與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出關于人的方程，求出方程的解即可得到人的

值

解：把圓的方程化為標準式方程得(X+1)2+(y-2)2=5,圓心坐標為(-1,2),半徑為遙，

直線2x-y+k=O沿X軸向左平移1個單位后所得的直線方程為2(x+1)-y+k=O,

I人-2|

因為該直線與圓相切，則圓心(-1,2)至!J直線的距離d=y---------------尹=注，

V2+(-1)

化簡得仇-2|=5,即入-2=5或入-2=-5,

解得入=-3或7

故選A

考點：直線與圓的位置關系

8、B

【解析】分別求得每個函數的導數即可判斷.

詳解】尸(x)=(x2j_r=2x;

g[x)=x1nx+x(lnx)'=lnx+x-—=lnx+1；

、(x+2)/-(x+2乂e1x+1

"-----------(4-----------??；

C'(x)=x'sinx+x(sinx)+(cosx)=sinx+xcosx=sinx=xcosx?

故求導錯誤的是B.

故選:B.

9、D

【解析】直接根據拋物線焦點弦長公式以及中點坐標公式求結果

【詳解】設4(王,%)，3(九2,%)，則A3的中點到y軸的距離為生產=3,貝！j|AB|=%+%2+2=6+2=8

故選：D

10、B

【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定，此時自行車與地面的三個接觸點不在同一條線上.

【詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上，所以可以確定一個平面，即地面，從而

使得自行車穩(wěn)定.

故選B項.

【點睛】本題考查不共線的三個點確定一個平面，屬于簡單題.

11、D

【解析】采用數形結合，根據邊長，結合正四面體的概念，計算出正三角形的面積，可得結果

【詳解】如圖

由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1,

所以Sa”A3?AC-sin60^―，所以可知：正四面體的表面積為4sc=6，

/IDVAs

故選：D

12、B

【解析】根據橢圓的幾何性質求橢圓的焦點坐標和長軸端點坐標，由此可得雙曲線的“，b,c,再求雙曲線的標準方

程.

【詳解】???橢圓的方程為二+f=1,

34

...橢圓的長軸端點坐標為(。,2),(0,-2),焦點坐標為(0,1),(0,-1),

?,?雙曲線的焦點在y軸上，且。=1,c=2,

2

:.b=39

y2

二雙曲線方程為丁―、=1,

故選:B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、276

【解析】直線/過定點P(3,l),圓心0(0,0),當P0LA5時，|AB|取得最小值，再由勾股定理即可求解.

【詳解】由/:如一＞一3加+1=0,得根(1—3)—丁+1=。，

x—3=0

由|八，得直線/過定點？(3,1),且尸在圓O：/+y2=[6的內部,

-y+l=0

由圓0:必+丁=16可得圓心0(0,0),半徑r=4,

當P0LA5時，|AB|取得最小值，

圓心0(0,0)與定點P(3,l)的距離為d=732+12=回，

則I|的最小值為24/—屋=2^/16-10=276?

故答案為：2瓜

14、2

【解析】由/(1)=2得出。的值.

【詳解】r(x)=e'(f+@

XX

因為函數〃x)=e+ainx在％=1處的切線與y=2x+3平行

所以/1(1)=2,故。=2

故答案為：2

15、—##0.0625

16

【解析】求出等比數列｛4｝的公比，利用定義可求得數列｛%%+J的公比.

【詳解】設等比數列｛4｝的公比為夕，則"=

因此，數列｛a/z｝的公比為乎詈包=/=2.

anan+liO

故答案為：--

16

16、114.4

【解析】將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，即可得解.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為80x0.08+100x0.32+120x0.4+140x0.2=114.4.

故答案為：114.4.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】（1）由面積之比可得向量之比，設直線A5的方程，與拋物線的方程聯立求出兩根之和及兩根之積，與向量

的關系可得的A,B的橫坐標的關系聯立求出直線的斜率，再由拋物線的性質可得焦點弦的值；

（2）由（1）的解法類似的求出A8的中點N的坐標，可得直線A3的斜率與7的關系，再由7的范圍，求出直線A8

的斜率的范圍，由題意設直線M尸的方程，令y=-1求出M的橫坐標，進而求出|MN|的最大值，而|MA+M3|=2|MNI，

求出IMA+M5I的最大值

【小問1詳解】

當4=3時，即SAAFM=3SABFM,由題意可得AB=3BF,

因為拋物線C：好=包的焦點為尸（1,0）,準線方程為y=-L

設A（xi,ji）,B（X2,yi）,直線A5的方程為

V=KJC+1

聯立〈，，整理可得：x2-4kx-4=0,

顯然A＞。，Xi+X2=4k?,xiX2=-4?,yi+yi=k（X1+X2）+2=4i2+2,

由AF=3BF，則（-xi，1-Ji）=3（X2,yi-1）可得xi=-3M③,

①③聯立可得X2=-2k,xi=6也代入②中可得-12/=-4,

解得標=:,

由拋物線的性質可得|A5|=yi+y2+2=4xg+2=g,

所以|4為的值為g;

【小問2詳解】

由(1)可得AB中點N(2?,2k2+2),由則XI=-笈2④,

同(1)的算法：①②④聯立4版=(1-.1)2,因為[1,2],

2

所以4好.2,

2

A11c

令7=2+彳，幺￡[不2],

42

則函數y先減后增，所以4=2或;時，y最大且為2+g,此時4〃最大，且為

所以產的最大值為：

8

直線的方程為：--x+1,令y=-L可得x=2h

k

即M(2左，-1),

113

因為IMA+MBl=2|MNI，而WM=|2*2+2+l|=2A;2+3<2x-+3=一，

84

13

所以IM4+M5I的最大值為萬

2

18、(1)一

3

⑵：

【解析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面RAE的一個法向量及的，利用向量的夾角公式即可得解;

(2)直接利用向量公式求解即可

【小問1詳解】

解：以點A作坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(2,0,0),E(2,2,1),2(0,0,2),4(2,0,2),

設平面的一個法向量為根=(x,y,z),又AR=(-2,0,2),AE=(0,2,l),

m-AD.=-2x+2z=0,

則<i,則可取機=(2,—1,2),

m-AE=2y+z=Q

4_2

又A4,=(0,0,2),設直線AA,與平面D.AE的夾角為0,則sin6=|cos<m,AA>|=|"二人

tIm|||74+l+4x^-3

2

二直線A4與平面D,AE的正弦值為-；

【小問2詳解】

解：因為A&=(0,0,2)

所以點A到平面3AE的距離為畢生=-1——=i,

\m\J4+1+43

4

???點A到平面D】AE的距離為-

2,255

19、(1)a=4n—2,b=——r；(2)T=(—n—)?4"+一

NN4〃T399

S、，n=l

【解析】(1)由已知利用遞推公式:。、.，

[Sn-Slt_t,n>2

可得4,代入分別可求數列4的首項偽，公比夕，從而可求么.

(2)由(1)可得C"=(2W-1).4"T,利用乘“公比”錯位相減法求和

【詳解】解：(1)當時，

2

an=S-S^=2n2—2(〃-I)=4〃—2,

當”=1時，4=5=2滿足上式，

故｛an｝的通項式為an=4〃-2

設也｝的公比為9,

由已知條件仇(。2-q)=4知，

,7b.11

偽=2,b=------所以q=——=1,

2%—424

12

.qz=2x行，即么=正

n1

c=^=^-^=(2w-l)4-

4〃T

12,11

T=q+c2+...+cn=[l+3x4+5x4+...+(2n—1)4]

47；=[1x4+3X42+5X42+...+(2〃-3)4”T+(2“一1)4"]

兩式相減得：

37；=-1-2(4*+42+43+...+4”T)+(2〃一1)4"=(2zi-|)-4"+|

255

二片(zf)4+§

【點睛】本題考查等差數列、等比數列的求法，錯位相減法求數列通項，屬于中檔題.

22

20、(1)土+二=1

43

⑵y=±^-x

2

c1

e=—=一

a2

【解析】（1）依題意可得21=4,即可求出。、b,即可求出橢圓方程;

c2=a2-b2

⑵首先求出直線斜率不存在時弦歸。|顯然可得直線的斜率存在，設直線方程為y=依、「（如弘）、。（程必），

聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，再根據弦長公式得到方程，求出左，即可得解;

【小問1詳解】

C1

e=-=—

a2

解：依題意[2。=4〃=222

，解得所以橢圓方程為工+乙=1;

屏百'43

c2=a2-b2

【小問2詳解】

解：當直線的斜率不存在時，直線/的方程為x=O,此時|尸。|=26，不符合題意；所以直線的斜率存在，設直線方

[22

三+二=]

程為,=6，貝（I43一，消元整理得（3+4左2）f_12=0,設P（XQJ,。（%，%），則%+々=。，

，=丘

玉光2=一^Tj~29所以|尸。|=J1+=」+元2）2-4%1%2-A/14，即,1+左2\]-4乂,解得k=，

3+4ky3+4左2

所以直線/的方程為y=

2

21、(1)/=4x

⑵存在，(4,4)

【解析】(1)利用拋物線的焦半徑公式求得點M的橫坐標，進而求得〃，可得答案；

(2)根據題意可設直線方程，和拋物線方程聯立，得到根與系數的關系式，利用直線附與的斜率互為倒數列出

等式，化簡可得結論.

【小問1詳解】

(1)設M(x0,4)

則IW=x°+5M

2

:.x0=2p,4/2=16,

p>0,:.p=2,

故C的方程為：y2=4x；