第11章 三角形（培優(yōu)卷）（解析版）

第11章三角形（培優(yōu)卷）一．選擇題（每小題3分，共24分）1.若長度分別是a、2、6的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】C【解析】當(dāng)6是最大邊時(shí)，a+2>6，a>4，當(dāng)a是最大邊時(shí)，a<2+6，a<8，∴4<a<8．故選：C．2.如圖，△ABC的面積是24，點(diǎn)D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是（

）A．9 B．9.5 C．10.5 D．10【答案】A【解析】解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的中線，∴△ABD的面積＝△ADC的面積＝×△ABC的面積，同理得：△AEF的面積＝×△ABE的面積＝×△ABD的面積＝×△ABC的面積＝×24＝3，△AEG的面積＝3，△BCE的面積＝△BDE的面積＋△CDE的面積＝△ABD的面積＋△ADC的面積＝×△ABC的面積＝12，連接BG，又∵F、G分別是BE和CE的中點(diǎn)，∴△EFG的面積＝△BGE的面積＝××△BCE的面積＝△BEC的面積＝×12＝3，∴△AFG的面積＝△AEF的面積＋△AEG的面積＋△EFG的面積＝3＋3＋3＝9，故選：A．3.如圖是某小區(qū)花園內(nèi)用正邊形鋪設(shè)的小路的局部示意圖，若用塊正邊形圍成的中間區(qū)域是一個(gè)小正方形，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：正方形的一個(gè)內(nèi)角是，正邊形的一個(gè)內(nèi)角，正邊形的一個(gè)外角，，故選：C．4.如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【解析】已知4條木棍的四邊長為3、4、6、8；選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長距離為8；選4+6、8、3作為三角形，則三邊長為10、8、3，，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長距離為10；選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為11、4、6；，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；故選：B．5.如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點(diǎn)，如果設(shè)∠BAC＝n°，那么用含n的代數(shù)式表示∠BOC的度數(shù)是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【答案】D【解析】解：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90，又∵∠BAC＝n，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n．故選：D．6.一副三角板如圖放置，則的度數(shù)為（

）A．；B．；C．；D．【答案】B【解析】延長BE交AC于D∵是的外角∴①在中，②由①②得：故：故選：B7.有公共頂點(diǎn)A，B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放，連接AC交正六邊形于點(diǎn)D，則∠ADE的度數(shù)為（）A.144° B.84° C.74° D.54°【答案】B【解析】正五邊形的內(nèi)角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六邊形的內(nèi)角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故選B．8.如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于，交于，下列說法正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】解：①∵∠CAB=90°，AD是高，∴∠AEG=90°?∠ABE，∠DGB=90°?∠DBG，∵BE是角平分線，∴∠ABE=∠DBE，∴∠AEG=∠DGB，∵∠DGB=∠AGE，∴∠AEG=∠AGE，故該說法正確；②因?yàn)镃F是中線，BE是角平分線，得不到∠HCB=∠HBC，故該說法錯(cuò)誤；③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAG=∠DBA，∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故該說法正確；④根據(jù)中線平分面積，可得S△ACF=S△BCF，故該說法正確．故選：C．二．填空題（每小題2分，共16分）9.已知a，b，c是的三邊長，則______．【答案】【解析】∵a，b，c是的三邊長，∴a+c＞b，b+c＞a，∴==，故答案為：．10.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為___________．【答案】6【解析】解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，∴內(nèi)角和是720度，，∴這個(gè)多邊形是六邊形．故答案為：6．11.等腰三角形的周長為，若有一邊長為，則等腰三角形的其他兩邊長分別是____________．【答案】9cm、1cm或5cm、5cm．【解析】解：①當(dāng)9cm為腰長時(shí)，則腰長為9cm，底邊=19-9-9=1cm，因?yàn)?+1＞9，所以能構(gòu)成三角形；②當(dāng)9cm為底邊時(shí)，則腰長=（19-9）÷2=5cm，因?yàn)?+5＞9，所以能構(gòu)成三角形．則等腰三角形其他兩邊長分別為9cm、1cm或5cm、5cm．故答案為：9cm、1cm或5cm、5cm．12.如圖正八邊形ABCDEFGH中，延長對角線BF與邊DE交于點(diǎn)M，則______°．【答案】22.5【解析】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠DEF=（8-2）×180°÷8=135°，∴∠FEM=45°，∴∠DEF=∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB=∠BFG=∠EFG=67.5°，∵∠BFE=∠FEM+∠M，∴∠M=∠BFE-∠FEM，∴∠M=22.5°．故答案為：22.5．13.如圖，分別是的邊上的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，的面積為，設(shè)的面積為，的面積為，則_______．【答案】2【解析】解：∵D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，AC上的中點(diǎn)，∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，∴△BDG的面積=△ADG的面積，△CFG的面積=△AGF的面積，△BEG的面積=△ECG的面積．∵AG=2GE，∴△ABG的面積=2△BEG的面積，△ACG的面積=2△ECG的面積，∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面積相等，∴S1+S2=?S△ABC=2，故答案為：2．14.已知AD、AE分別是△ABC的高和中線，若，，則DE的長為______．【答案】0.5或1.5【解析】解：AD、AE分別是△ABC的高和中線，，，如圖，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，，不合題意，故答案為：或15.如圖，已知兩塊三角板如圖擺放，點(diǎn)和點(diǎn)分別在兩塊三角板的邊上，一塊三角板的頂點(diǎn)在另一塊三角板的邊上，且，，，則________．【答案】68【解析】解：延長BE交AC于D，延長CF交BD于G，故答案為：16.如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A＝α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…，以此類推得到∠A2022，則∠A2022的度數(shù)等于____．【答案】【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α，∴∠A1=；同理可得∠A2=∠A1=，∴∠An=，∴∠A2022=，故答案為：．三．解答題（共60分）17.（6分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過一次平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′，利用網(wǎng)格點(diǎn)畫圖：（1）補(bǔ)全△A′B′C′；（2）畫出△ABC的中線CD與高線AE；（3）△A′B′C′的面積為.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）8【解析】（1）（2）如圖，（3）S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC=×4×4=8.故答案為8.18.（8分）如圖，在中（），，邊上的中線把的周長分成和兩部分，求和的長．【答案】，【解析】由題意知，，∵，D為BC中點(diǎn)∴∴即則BC=24，CD=BD=12則且28＞24符合題意．19.（8分）如果一個(gè)多邊形的各邊都相等且各角也都相等，那么這樣的多邊形叫做正多邊形，如下圖所示就是一組正多邊形．（1）觀察上面每個(gè)正多邊形中的∠a，填寫下表：正多邊形邊數(shù)456...n∠a的度數(shù)

...

（2）是否存在正n邊形使得∠a＝12°？若存在，請求出n的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，15【解析】解：（1）正多邊形的每一個(gè)外角都相等，且等于則正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)題意，正多邊形的每一條邊都相等，則所在的等腰三角形的頂角為：，另一個(gè)底角為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：（2）存在．設(shè)存在正n邊形使得，∴，解得．20.（8分）如圖，在中，、分別是的高和角平分線，．(1)若，求的度數(shù)；(2)試用、的代數(shù)式表示的度數(shù)_________．【答案】(1);(2)【解析】(1)解：，，是的平分線，．是高線，，，．(2)解：，;，是的平分線，．是高線，，，．21.（10分）如圖，中，，，，．若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)______時(shí)，把的周長分成相等的兩部分？(2)當(dāng)______時(shí)，把的面積分成相等的兩部分？(3)當(dāng)為何值時(shí)，的面積為？【答案】(1)6;(2)6.5;(3)當(dāng)t為2或6.5時(shí)，的面積為【解析】(1)解：在中，，的周長為，∴當(dāng)CP把的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，此時(shí)．∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm，解得故當(dāng)t為6時(shí)，CP把的周長分成相等的兩部分．(2)解：∵當(dāng)點(diǎn)P在AB中點(diǎn)時(shí)，CP把的面積分成相等的兩部分，此時(shí)AP==5cm∴，解得，故當(dāng)t為6.5時(shí)，CP把的面積分成相等的兩部分．(3)解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，，，∴點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，解得．當(dāng)t為2或6.5時(shí)，的面積為．22.（10分）如圖，在中，是邊上的高，是邊上的高，、交于點(diǎn)，平分(1)若，①求的度數(shù)．②若平分，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)設(shè)，則______（用含的代數(shù)式直接表示）．【答案】(1)①∠CFG；②FG∥AH；(2)180°-α【解析】(1)解：①∵BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，∴∠CEA=∠ADB=90°，∵∠BAC=56°，∠ACB=70°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=54°，∴∠ABD=90°-∠BAC=34°，∠ACE=90°-∠BAC=34°，∴∠FBG=∠ABC-∠ABD=20°，∠FCG=∠ACB-∠ACE=36°，∴∠BFC=180°-∠DBC-∠FCG=124°，∵FG平分∠BFC，∴∠CFG=；②∵AH平分∠BAC，∴∠BAH=，∴∠BHA=180°-∠HAB-∠ABH=98°，在?BGF中，∠FGB=180°-∠FBG-∠BFG=98°，∴FG∥AH；(2)∵BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，∴∠CEA=∠ADB=90°，∵∠BAC=α，∠ABC+∠ACB=180°-α，∴∠ABD=90°-∠BAC=90°-α，∠ACE=90°-∠BAC=90°-α，∴∠FBG+∠FCG=∠ABC+∠ACB-∠ABD-∠ACE=180°-α-(90°-α)-(90°-α)=α，∴∠BFC=180°-∠FBG-∠FCG=180°-α，故答案為：180°-α．23.（10分）如圖1，AB與CD相交于點(diǎn)O，若，，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：（1）的度數(shù)；（2）設(shè)，，，，其他條件不變，如圖2，試問與、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用、表示），直接寫出結(jié)論．【答案】(1)33°；(2)．